Proprietăţile integralei definite
P1. (Proprietatea de liniaritate). Fie \(f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii integrabile pe [a,b] şi \(\alpha \in \mathbb{R}\). Atunci:
P2. (Proprietatea de aditivitate la interval). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(c\in \left ( a,b \right )\) astfel încât \(f\) să fie integrabilă pe intervalele [a,c] şi [c,b]. Atunci \(f\) este integrabilă pe [a,b] şi are loc relaţia \(\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\).
P3. (Pozitivitatea integralei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie integrabilă pe [a,b] astfel încât \(f(x)\geq 0,\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci \(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq 0\).
P4. (Monotonia integralei). Fie \(f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) funcţii integrabile pe [a,b] astfel încât \(f(x)\leq g(x),\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci \(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx\).
P5. (Inegalitatea mediei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie integrabilă pe [a,b] şi \(m,M\in \mathbb{R}\) astfel încât \(m\leq f(x)\leq M,\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci are loc relaţia \(m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)\).
P6. (Modulul integralei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie continuă. Atunci \(\left | f \right |\) este funcţie integrabilă pe [a,b] şi are loc inegalitatea \(\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left |f(x \right |dx\).
- funcţia \(f+g\) este integrabilă pe [a,b] şi \(\int_{a}^{b}\left [ f(x)+g(x) \right ]dx= \int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)
- funcţia \(\alpha f\)este integrabilă pe [a,b] şi \(\int_{a}^{b}\left (\alpha f \right )(x)dx= \alpha \int_{a}^{b}f(x)\).
P2. (Proprietatea de aditivitate la interval). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(c\in \left ( a,b \right )\) astfel încât \(f\) să fie integrabilă pe intervalele [a,c] şi [c,b]. Atunci \(f\) este integrabilă pe [a,b] şi are loc relaţia \(\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\).
P3. (Pozitivitatea integralei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie integrabilă pe [a,b] astfel încât \(f(x)\geq 0,\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci \(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq 0\).
P4. (Monotonia integralei). Fie \(f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) funcţii integrabile pe [a,b] astfel încât \(f(x)\leq g(x),\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci \(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx\).
P5. (Inegalitatea mediei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie integrabilă pe [a,b] şi \(m,M\in \mathbb{R}\) astfel încât \(m\leq f(x)\leq M,\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci are loc relaţia \(m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)\).
P6. (Modulul integralei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie continuă. Atunci \(\left | f \right |\) este funcţie integrabilă pe [a,b] şi are loc inegalitatea \(\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left |f(x \right |dx\).