Fie \(I\) un interval şi \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie.
Definiţii. Spunem că funcţia \(f\) admite primitive pe intervalul \(I\) dacă există o funcţie 
\(F:I\rightarrow \mathbb{R}\) astfel încât:

• \(F\) este funcţie derivabilă pe \(I\)
• \(F\)

Funcţia \(F\) se numeşte primitiva funcţiei \(f\). 
Observaţie. Dacă există o primitivă \(F\), atunci există o infinitate de primitive care diferă de \(F\) printr-o constantă.

Definiţie. Fie \(I\) un interval şi \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie care admite primitive pe \(I\). Mulţimea tuturor primitivelor funcţiei \(f\) se numeşte integrala nedefinită a funcţiei \(f\) şi se notează astfel: \(\int f(x)dx\).
Observaţie. Primitiva este o funcţie, iar integrala nedefinită este o mulţime de funcţii.
 

1. Orice funcţie continuă pe un interval admite primitive pe acel interval.
2. O funcţie care are discontinuităţi de prima speţă nu admite primitive.
3. Dacă \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) nu are proprietatea lui Darboux pe \(I\), atunci \(f\) nu admite primitive pe \(I\).

Fie \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii care admit primitive pe \(I\) şi \(\alpha \in \mathbb{R}\). Atunci:

1. Funcţia \(f+g\) admite primitive pe \(I\) şi \(\int \left [ f(x)+g(x) \right ]dx= \int f(x)dx+\int g(x)dx\).
2. Funcţia \(\alpha f\) admite primitive pe \(I\) şi \(\int \alpha f(x)dx= \alpha \int f(x)dx\).

1. \(\int dx=x+C,x\in \mathbb{R}\)
2. \(\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,x\in \left ( 0,+\infty \right ),\alpha \neq -1\)
3. \(\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C,x\in \mathbb{R}\)
4. \(\int e^{x}dx=e^{x}+C,x\in \mathbb{R}\)
5. \(\int \frac{1}{x}dx=ln\left | x \right |+C,x\in I\subset \mathbb{R}^{*}\)
6. \(\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{x-a}{x+a} \right |+C, x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ \pm a \right \},a\neq 0\)
7. \(\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C,x\in \mathbb{R},a\neq 0\)
8. \(\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C,x\in \left ( -a,a \right ),a\neq 0\)
9. \(\int sinxdx=-cosx+C,x\in \mathbb{R}\)
10. \(\int cosxdx=sinx+C,x\in \mathbb{R}\)
11. \(\int \frac{1}{sin^{2}x}dx=-ctgx+C,x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi \right \}\)
12. \(\int \frac{1}{cos^{2}x}dx=tgx+C,x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ \left ( 2k+1 \right )\frac{\pi }{2} \right \}\)
13. \(\int tgxdx=-ln\left | cosx \right |+C,x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ \left ( 2k+1 \right ) \frac{\pi }{2}\right \}\)
14. \(\int ctgxdx=ln\left | sinx \right |+C,x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi \right \}\)

Fie \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii derivabile pe \(I\) cu derivatele continue. Are loc relaţia:
\(\int f(x)g\)
(Formula de integrare prin părţi).

Fie \(I,J\) două intervale şi \(f:I\rightarrow J,g:J\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii cu proprietăţile:

• \(f\) este derivabilă
• \(g\) admite primitive.

Dacă \(G\) este o primitivă a funcţiei \(g\) atunci funcţia \(\left (g\circ f \right )\cdot f\) admite primitive pe \(I\) şi 
\(\int g(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = G(f(x)) + C\)
(Formula de schimbare de variabilă).
Dacă \(u:I\rightarrow J\) este o funcție derivabilă pe intervalul I, atunci se obțin următoarele formule de integrale nedefinite:
\(1. \int u^{n}(x) \cdot u'(x) \, dx = \frac{u^{n+1}(x)}{n+1} + C, \quad n \neq -1\)
\(2. \int u^{r}(x) \cdot u'(x) \, dx = \frac{u^{r+1}(x)}{r+1} + C, \quad r \neq -1\)
\(3. \int a^{u(x)} \cdot u'(x) \, dx = \frac{a^{u(x)}}{\ln a} + C\)
\(4. \int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln |u(x)| + C\)

\(5. \int \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^{2}(x)}} \, dx = \arcsin(u(x)) + C\)

\(6. \int \frac{-u'(x)}{\sqrt{1 - u^{2}(x)}} \, dx = \arccos(u(x)) + C\)
\(7. \int \sin(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = -\cos(u(x)) + C\)
\(8. \int \cos(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \sin(u(x)) + C\)

\(9. \int \tan(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = -\ln |\cos(u(x))| + C\)
\(10. \int \cot(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \ln |\sin(u(x))| + C\)
\(11. \int \frac{u'(x)}{1 + u^{2}(x)} \, dx = \arctan(u(x)) + C\)
\(12. \int \frac{-u'(x)}{1 + u^{2}(x)} \, dx = \text{arcctg}(u(x)) + C\)
\(13. \int \frac{u'(x)}{\cos^{2}(u(x))} \, dx = \tan(u(x)) + C\)
\(14. \int \frac{u'(x)}{\sin^{2}(u(x))} \, dx = -\cot(u(x)) + C\)
\(15. \int \frac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x) \pm a^{2}}} \, dx = \ln |u(x) + \sqrt{u^{2}(x) \pm a^{2}}| + C\)