Tabel de integrale nedefinite
4 vizualizări · 3 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
- \(\int dx=x+C,x\in \mathbb{R}\)
- \(\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,x\in \left ( 0,+\infty \right ),\alpha \neq -1\)
- \(\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C,x\in \mathbb{R}\)
- \(\int e^{x}dx=e^{x}+C,x\in \mathbb{R}\)
- \(\int \frac{1}{x}dx=ln\left | x \right |+C,x\in I\subset \mathbb{R}^{*}\)
- \(\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{x-a}{x+a} \right |+C, x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ \pm a \right \},a\neq 0\)
- \(\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C,x\in \mathbb{R},a\neq 0\)
- \(\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C,x\in \left ( -a,a \right ),a\neq 0\)
- \(\int sinxdx=-cosx+C,x\in \mathbb{R}\)
- \(\int cosxdx=sinx+C,x\in \mathbb{R}\)
- \(\int \frac{1}{sin^{2}x}dx=-ctgx+C,x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi \right \}\)
- \(\int \frac{1}{cos^{2}x}dx=tgx+C,x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ \left ( 2k+1 \right )\frac{\pi }{2} \right \}\)
- \(\int tgxdx=-ln\left | cosx \right |+C,x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ \left ( 2k+1 \right ) \frac{\pi }{2}\right \}\)
- \(\int ctgxdx=ln\left | sinx \right |+C,x\in I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi \right \}\)
În calculul derivatelor un rol foarte important l-a avut tabelul derivatelor funcțiilor elementare
pentru că ne-am putut folosi de niște formule de derivare pe care nu era necesar să le demonstrăm de fiecare dată, se considerau cunoscute.
Și în cazul integralelor nedefinite avem niște formule, toate incluse într-un tabel de integrale nedefinite,
formule pe care le vom putea utiliza în calculul integralelor.
În acest videoclip voi prezenta acest tabel al integralelor nedefinite și vom discuta câteva aspecte care sper să vă ajute să rețineți aceste formule de integrare.
Înainte de a discuta tabelul integralelor nedefinite, să vedem, să ne reamintim de fapt care este legătura dintre operația de integrare și derivare.
Dacă avem un interval de numere reale și o funcție f mic definită pe i cu valori în R care admite primitive pe i
și f mare este o primitivă a lui f, f mare evident definită tot pe i cu valori în R
atunci avem următoarele două relații
f mare derivat de x este egal cu f mic de x pentru orice x din i
Ne reamintim că o primitivă trebuie să fie o funcție derivabilă
și integrala din f mic de x de x este egal cu f mare de x plus c
Aș puncta aici faptul că atunci când discutăm despre f mare trebuie să avem în vedere că este vorba de o singură funcție
Iar când discutăm despre integrala nedefinită avem o mulțime de funcții pentru că integrala nedefinită a funcției f mic este mulțimea tuturor primitivelor funcției f mic
Adică dacă noi avem funcția f mic și funcția f mare
atunci de la f mic se poate ajunge la f mare prin operația de integrare
Iar de la funcția f mare se poate ajunge la funcția f mic
prin operația de derivare
Ceea ce înseamnă că dacă noi avem integrală din f mare derivat de x de x
Această integrală va fi egală cu funcția f mare de x plus c
Deci operațiile de integrare și derivare se anulează reciproc
Adică dacă noi avem integrală din derivata unei funcții
aceasta integrală va fi egală cu funcția f mare
mă rog, va fi egală aproape cu funcția f
pentru ca să nu uităm de mulțimea constantelor
Este aceeași idee ca la ridicarea la putere și radical
Dacă noi aveam radical de ordin n din a la n
atunci asta era egală cu a
Operația de ridicare la putere și de extragerea radicalului sunt operații inverse
se anulează reciproc
Integrarea și derivarea sunt operații inverse
adică se anulează și ele reciproc
Acest lucru înseamnă că dacă noi știm că derivata lui x pătrat este 2x
atunci integrală din 2x de x va fi egală cu x pătrat plus c
Dacă știm că derivata lui sin de x este cos de x
adică integrală din cos de x de x va fi egală cu sinus de x plus c
sau arctangentă de x derivat este 1 supra 1 plus x pătrat
adică integrală din 1 supra 1 plus x pătrat de x este egală cu arctangentă de x plus c
Am putea lua tot tabelul derivatelor și apoi să scriem formulele de integrare care ne rezultă
Acesta este modul în care vă și puteți verifica dacă ați reținut corect o formulă sau nu
Atunci când nu sunteți siguri pe corectitudinea formulei
derivați funcția din membrul drept al egalității
și verificați dacă ceea ce obțineți este funcția de subintegrală
Dacă nu obțineți funcția de subintegrală și ați derivat corect înseamnă că ați reținut greșit formula
Și acum să vedem integralele nedefinite ale unor funcții uzuale
Aici avem mai multe integrale scrise, toate au treabă cu funcția putere
În prima integrală avem x la n, unde n este număr natural
În a doua integrală este x la alfa, unde alfa este un număr real diferit de minus 1
Și evident, în această situație x trebuie să fie doar din un interval inclus din 0 plus infinit
pentru ca să existe x la alfa
A treia formula are treabă cu integrala din 1 supra x de x
adică atunci când alfa este egal cu minus 1, să vedem ce se întâmplă
A patra formula este doar un caz particular al primei formule
În această situație când avem integrală din dx
ne putem uita la ea ca la integrală din x la 0 de x
0 fiind un număr natural, spuneam este un caz particular
Ce este de reținut?
Pentru primele două formule merită să rețineți că întotdeauna
exponentul lui x se regăsește și la numitor
Vedem că la exponent aici avem n plus 1
Avem n plus 1 și la numitor
Aici la exponent avem alfa plus 1
Avem și alfa plus 1 la numitor
Operația de integrare este asociată cu împărțirea
Vedem că aici avem raportul lui x la n plus 1
supra n plus 1 sau raportul lui x la alfa plus 1
supra alfa plus 1
spre deosebire de operația de derivare
care este asociată cu înmulțirea
La operația de derivare avem de exemplu
x la n derivat
egal cu n ori x la n minus 1
Aici avem operație de înmulțire
Înseamnă că pentru integrare va trebui să avem operație de împărțire
Integrarea și derivarea, cum spuneam, fiind operații inverse
Observăm că dacă la derivare
exponentul lui x scade
avem n minus 1
la integrare, exponentul lui x crește
Când am învățat eu formulele de integrare
ca să le pot reține mai ușor
am legat acest lucru de prima literă de la operație
Deci, dacă este vorba de integrare
aia începe cu i
de la integrare
iar puterea crește
și atunci, fiindcă creșterea în limba engleză e încris
e tot cu i
La derivare, derivarea începe cu d
exponentul de screște
care în limba engleză e decris
și atunci e tot cu d
Deci, acesta a fost modul meu de a le reține
Poate că vă ajută pe voi
Poate că găsiți o altă variantă de a le reține mai simplu
Pentru integrala din 1 pe x de x
Acum, noi știm că logaritm din x derivat ne dă 1 pe x
Deci, e clar că de aici vine formula
Avem nevoie de modul pentru că, vedeți, x-ul poate să fie
negativ sau pozitiv, oricum nu poate fi 0
deoarece fracția asta există dacă x este diferit de 0
Ce este important să reținem?
Că întotdeauna, dacă luăm x-ul
trebuie să fie dintr-un interval de numere
fie negativ, fie pozitiv
Nu vom putea avea x definit pe
minus 2, 2
cu excepția lui 0
pentru că atunci, de fapt, nici nu mai discutăm de un interval
Ar fi o reuniune de intervale
minus 2, 0
reunit cu 0, 2
Trecem acum la integrala funcției exponențiale
Pe caz general, avem că integrala din a la x de x
este egală cu a la x supra logaritm natural din a plus c
x-ul poate să fie real, dar avem condiția supra lui a
pentru că este baza exponențialei
și argumentul logaritmului
deci a trebuie să fie mai mare decât 0 și diferit de 1
Din nou, putem folosi aceeași regulă
ca și la integrala funcției putere
pentru a reține
Când e vorba de integrare
atunci avem împărțire
Deci pe a la x îl împărțim
la logaritm natural din a
Când aveam derivare, era înmulțire
Pentru că la x derivat rămâne la x
integrala din e la x va fi egală cu e la x
logaritm natural din e fiind egal cu 1
Continuăm acum cu nou set de integrale
integralele unor funcții trigonometrice
Dacă ne uităm la aceste șase formule
constatăm că ele pot fi împărțite în două categorii
În toate aceste trei integrale
ne apare sub integrală funcția sin x
sub o formă sau alta
aici chiar sin x
aici 1 supra sin x
și aici tan
care știm că la numărător are funcția sin
În partea dreaptă a egalității
ne apare cos
tot sub o formă sau alta
aici chiar cos
aici cotangentă de x
care este cos de x pe sin de x
deci la numărător avem cos
și aici avem logaritm din modul de cos de x
Observăm că la aceste trei formule
ne apare la toate semnul minus
și este exact invers decât la derivare
dacă funcția sin x derivat era plus cos
la integrare, sin x integrat
va fi minus cos x
Acordați un pic de atenție
și domeniului de existență
integralei nedefinite
trebuie să ne asigurăm că funcția există
deci sin x este diferit de 0
sau cos x este diferit de 0
în această situație
și la această formulă
iarăși țineți cont că
pentru că avem logaritmul
trebuie să ne asigurăm că expresia
la care aplicăm logaritmul este pozitivă
deci este obligatoriu de pus modulul
Pentru celelalte trei integrale
avem niște formule analoge
de data asta sub integrală
ne apare funcția cos x
sub o formă sau alta
și în membrul drept al legalității
apare sin x
tot sub o formă sau alta
Din nou acordați atenție
domeniului de existență
integralelor nedefinite
aici cos x trebuie să fie diferit de 0
din cu acest sin x
trebuie să fie diferit de 0
și da, am uitat să spun
în cazul acestor trei formule
în membrul drept avem semnul plus
Și am ajuns la
ultimele formule de integrare
integralele unor fracții
Ultimele trei formule
de fapt pot fi calculate relativ ușor
ca aplicația operațiilor cu funcții
care ar mit primitive
Nu merită insistat asupra
încă unor formule ce trebuie memorate
dar dacă doriți să le memorați
evident puteți să o faceți
Atenție la domeniile de integrare
Trebuie să vă asigurați că
numitorul este nenul
și atenție dacă este egal cu 0
ajungem la funcție putere
Iar în acest caz
numitorul trebuie ca să fie nenul
în plus expresia de subradical pozitivă
La primele două formule
dacă în loc de A ați fi avut 1
probabil că le-ați fi recunoscut foarte ușor
arc tangent de x derivat
ne dă 1 supra x pătrat plus 1
iar arc sin de x derivat
ar fi 1 supra radical din 1 minus x pătrat
Verificația aceste două formule
e un exercițiu bun
derivați această mulțime de funcții
și vedeți dacă obțineți funcția de subintegrală
La fel pentru a doua formulă
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.
