Problema existenţei primitivelor

În acest videoclip vom aborda problema existenței primitivelor.

Avem o definiție a funcției care admite primitive pe un interval, dar nu știm dacă există anumite categorii de funcții, adică funcții care au anumite proprietăți, care admit primitive.

Vom considera următorul exercițiu.

Avem funcția f definită pe r cu valori în r, f de x egal cu e la x când x este mai mare sau egal cu 0, și 2x plus m dacă x este mai mic decât 0, m fiind un parametru real.

Ce ne propunem este să studiem existența primitivelor funcției f.

Observăm că această funcție are legea de corespondență dată pe două ramuri, de aceea vom considera două funcții, fiecare funcție fiind corespunzătoare unei ramuri a funcției f.

Considerăm funcția f1

f1 definită pe interval închis 0 plus infinit cu valori în r, f1 de x egal cu e la x

și funcția f2

definită pe interval închis minus infinit 0 cu valori în r, f2 de x egal cu 2x plus m când m este un parametru real.

Funcția f1 admite primitive pentru că există funcția f1 definită pe 0 plus infinit cu valori în r,

f1 de x egal cu e la x plus c1 unde c1 este un număr real.

Această funcție f1 este de fapt o primitivă a funcției f1

și acum vom chiar verifica că f1 este o primitivă a funcției f1

Adică vom verifica dacă f1 este derivabilă pe intervalul închis 0 plus infinit

și f1 este derivabilă pe acest interval pentru că este o sumă de două funcții elementare

funcția e la x și funcția c1

Ambele funcții sunt derivabile

și mai mult verificăm și condiția a doua din definiția unei funcții care admite primitive

f1 de x derivat este egal cu e la x plus c1 derivat

adică este e la x

e la x fiind egal cu f1 de x

și acest șir de egalități este adevărat pentru orice x din intervalul închis 0 plus infinit

și funcția f2 admite primitive

și aici arătăm că această funcție admite primitive

punând în evidență o primitivă a funcției f2

această primitivă va fi f2 definită pe minus infinit 0

primitiva trebuie să aibă același domeniu de definiție ca funcția

cu valori în R

f2 de x egal cu x pătrat plus mx plus c2

unde c2 este o constantă reală

Verificăm și pentru f2 cele două condiții pe care o primitivă trebuie să le îndeplinească

prima condiție f2 derivabilă pe domeniul ei de definiție

adică pe minus infinit 0

este îndeplinită pentru că f2 este o funcție de gradul al doilea

este o funcție elementară și este derivabilă

și condiția a doua f2 derivat de x

trebuie să fie egală cu f2x pentru orice x din minus infinit 0

și această condiție este verificată

pentru că derivata lui x pătrat plus mx plus c2

este egală cu 2x plus m

iar f2 este tocmai 2x plus m

acest șir de egalități este adevărat pentru orice x din intervalul minus infinit 0

deci până la acest moment am arătat că cele două funcții f1 și f2

care sunt de fapt cele două ramuri din legea de corespondență a funcției f

admit fiecare din ele primitive

am arătat că cele două funcții admit primitive

punând în evidență o primitivă a fiecărei funcții

și am verificat că această primitivă chiar verifică cele două condiții

din definiția primitivei unei funcții

putem deduce din ceea ce am obținut până acum

că dacă f admite o primitivă

atunci primitiva trebuie să aibă această formă

prima ramură trebuie să fie o primitivă a funcției f1

și a doua ramură trebuie să fie o primitivă a f2

c1 și c2 fiind ambele constante reale

pentru ca f să fie o primitivă a funcției f

trebuie să verifice cele două condiții

din definiția primitivei unei funcții

adică f trebuie să fie derivabilă pe R

și f derivat de x egal cu f mic de x pentru orice x din R

pentru că f1 este o primitivă a funcției f1

și f2 este o primitivă a f2

înseamnă că de fapt f verifică cele două condiții

pentru x aparținându-i R stelat

sau pentru x diferit de 0

deci ambele condiții

h și p sunt verificate

pentru orice x din R stelat

deci ne rămâne să verificăm cele două condiții

a și b în x egal cu 0

prima condiție

f derivabilă în 0

presupune de fapt verificarea a două aspecte

în primul rând știm că dacă o funcție este derivabilă într-un punct

atunci ea trebuie să fie continuă în acel punct

deci vom verifica continuitatea lui f în 0

f este continuă în 0

dacă și numai dacă limitele laterale în 0

sunt egale cu valoarea funcției în 0

limita la stânga lui 0 din f de x

se calculează după a doua ramură a legii de corespondență

pentru că x este mai mic decât 0

și atunci această limită va fi egală cu 0 plus 0 plus c2

adică c2

limita la dreapta lui 0

se calculează după prima ramură a funcției f mare

și această limită va fi egală cu e la 0 plus c1

adică 1 plus c1

care este egală și cu f de 0

pentru că f de 0 se calculează după aceeași lege de corespondență

aici avem egalitatea

deci pentru ca funcția să fie continuă în 0

este necesar ca 1 plus c1 să fie egal cu c2

înseamnă că nu mai are rost să păstrăm cele două constante

pentru că vom nota constanta c1 cu c

în aceste condiții c2 va fi egal cu 1 plus c

și atunci putem rescrie legea de corespondență a funcției f mare de x

ca fiind egală cu e la x plus c

când x mai mare sau egal cu 0

și x pătrat plus mx plus 1 plus c

când x mai mic decât 0

c fiind o constantă reală

funcția este derivabilă în 0

dacă derivata la dreapta lui 0

este egală cu derivata la stânga lui 0

derivata la dreapta lui 0

este de fapt derivata funcției f1

derivata funcției f1 este e la x

atunci când x tinde la 0

e la x va fi egală cu e la 0

care este 1

derivata la stânga lui 0

este de fapt egală cu f2 derivat

adică 2x plus m

și atunci când x tinde la 0

derivata la stânga lui 0 este

2 ori 0 plus m adică m

pentru că cele două derivate

trebuie să fie egale

ne apare necesitatea

ca m să fie egal cu 1

mai avem de verificat condiția b

pentru x egal cu 0

adică trebuie să verificăm

dacă f derivat în 0

este egal cu f de 0

f de 0 îl calculăm

conform legii de corespondență a lui f

adică este e la puterea 0

care este 1

iar pentru că derivata în 0

este egală cu derivata

la stânga lui 0

și derivata la dreapta lui 0

înseamnă că este

conform celor de mai sus

este egală tot cu 1

deci și condiția b este verificată

în concluzie

dacă m egal cu 1

f mic admite primitive pe R

și o primitivă a funcției f mic

este funcția f mare

definită pe R cu valori în R

f de x egal cu L a x plus c

când x mai mare sau egal cu 0

și x pătrat plus x plus 1 plus c

când x este mai mic decât 0

și c evident este o constantă reală

iar dacă m este diferit de 1

f mic nu admite primitive pe R

observăm că pentru m egal cu 1

funcția f mic definită pe R cu valori în R

va avea legia de corespondență

f de x egal cu L a x

dacă x mai mare sau egal cu 0

și 2x plus 1 dacă x mai mic decât 0

această funcție este o funcție continuă pe R

pentru că este o funcție elementară

la dreapta lui 0

o funcție elementară la stânga lui 0

iar în 0 limita la stânga este 1

limita la dreapta este 1

și valoarea funcției este tot 1

deci pentru m egal cu 1

f este o funcție continuă pe R

și admite primitive pe R

mai general are loc următorul rezultat

orice funcție f definită pe I cu valori în R

continuă pe I

admite primitive pe intervalul I

pentru m diferit de 1

funcția f definită pe R cu valori în R

are legia de corespondență

L a x când x mai mare sau egal cu 0

și 2x plus n când x mai mic decât 0

și m este din R minus elementul 1

funcția f are un punct de discontinuitate

de speța întâi

acela este x egal cu 0

verificați singur acest lucru

și funcția f nu admite primitive pe R

mai general are loc următorul rezultat

dacă o funcție f definită pe un interval I cu valori în R

are discontinuități de speța întâi pe I

atunci funcția f nu admite primitive pe I

știm că o funcție care are discontinuități de speța întâi

nu are proprietatea lui Darbou

reamintiți-vă ce înseamnă că o funcție are proprietatea lui Darbou

având în vedere acest rezultat

adică

dacă f definită pe I cu valori în R

are discontinuități de speța întâi pe I

atunci f nu admite primitive pe I

și faptul că o funcție care are puncte de discontinuitate de speța întâi

nu are proprietatea lui Darbou

putem formula următorul enunț

dacă f

o funcție care este definită pe I cu valori în R

nu are proprietatea lui Darbou pe I

atunci f nu are primitive pe I