Problema existenței primitivelor - Aplicații

În acest videoclip voi arăta cum abordăm rezolvarea exercițiilor în care ni se cere să arătăm că o funcție admite sau nu admite primitive.

Considerăm următorul exercițiu.

Să se arate că funcția f, definită pe interval închis minus 1 pe 2 plus infinit cu valori în R,

dată prin legea de corespondență f de x egal cu radical din 2x plus 1 minus 1 totul supra x când x diferit de 0 și 1 când x egal cu 0, admite primitive pe R.

Pentru a rezolva acest exercițiu care ne cere să arătăm că funcția f admite primitive pe R,

putem să ne folosim fie de definiția funcției care admite primitive, adică să punem în evidență o primitivă f mare a funcției f mic,

fie să ne folosim de faptul că orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval.

Pentru că nu pare simplu să identificăm funcția a cărei derivată este radical din 2x plus 1 minus 1 totul supra x,

adică o primitivă a funcției f mic,

vom rezolva acest exercițiu prin a doua metodă,

vom verifica dacă f este continuă.

Dacă x este diferit de 0 și este din domeniul de definiție al funcției, adică din intervalul minus 1 pe 2 închis plus infinit,

f de x este egală cu radical din 2x plus 1 minus 1 supra x,

se obține prin operații cu funcții continue,

înseamnă că f este continuă.

Pentru x egal cu 0,

trebuie să calculăm limitele laterale și valoarea funcției în 0.

Dacă limitele laterale sunt egale cu valoarea funcției în 0, atunci f este continuă și în 0.

Calculăm limită când x tinde la 0 cu valori mai mici decât 0 din f de x,

adică limită când x tinde la 0 cu valori mai mici decât 0 din radical din 2x plus 1 minus 1 supra x.

Când x tinde la 0, radicalul tinde la 2x 0 plus 1 adică 1 minus 1 înseamnă 0 supra 0,

deci avem caz de nedeterminare 0 pe 0.

Pentru calcularea limitei putem folosi regula lui L'Hôpital

și atunci această limită va fi egală cu

limită când x tinde la 0 cu valori mai mici decât 0 din

derivata numărătorului,

1 derivat e 0, deci ne rămâne să derivăm radicalul

2x plus 1 derivat este 2

supra 2 radical din 2x plus 1

x derivat este 1, simplificăm cu 2

și atunci această limită este egală cu

limită când x tinde la 0 cu valori mai mici decât 0 din

1 supra radical din 2x plus 1

radicalul tinde la 1 când x tinde la 0, deci limita este egală cu 1

limită când x tinde la 0 cu valori mai mari decât 0

din fdx

este egală cu limită când x tinde la 0 cu valori mai mari decât 0

tot din radical din 2x plus 1

minus 1 supra x

calculul acestei limite este același cu calculul limitei la stânga lui 0

deci și această limită va fi egală cu 1

valoarea funcției în 0

conform

legii de corespondență a funcției este egală cu 1

și atunci obținem că

pentru x egal cu 0 avem limită la stânga egală cu limită la dreapta

și egală cu valoarea funcției în 0

rezultă că funcția f este continuă în 0

funcția f era continuă

pe toate elementele domeniului de definiție diferite de 0

este continuă în 0

din aceste două rezultate

rezultă că

f este continuă pe domeniul ei de definiție

fiindcă f este continuă pe domeniul ei de definiție rezultă că

f admite primitivă

să considerăm acum un alt exercițiu

să se arată că funcția f definită pe R cu valori în R

f de x egal cu partea întreagă din x

nu admite primitive pe R

dacă exercițiul cere să arătăm că funcția nu admite primitive pe o mulțime

pentru a-l rezolva

putem fie să arătăm că funcția f

are puncte de discontinuitate de speța întâi

fie să arătăm că f nu are

proprietatea lui darbo

rezolvăm acest exercițiu prin ambele metode

varianta 1 de rezolvare

vrem să arătăm că f

are puncte de discontinuitate de speța întâi

pentru a identifica punctul de discontinuitate

reamintăm cum arată graficul funcției parte întreagă

opriți înregistrarea și schițați graficul pe o foaie de cârtie

graficul funcției parte întreagă ar trebui să aibă forma aceasta

este ca o funcție scară

și atunci putem foarte ușor identifica de pe grafic un punct în care funcția este discontinua

să luăm de exemplu pe x egal cu 1

limita când x tinde la 1 cu valori mai mici decât 1

din partea întreagă din x

la stânga lui 1 partea întreagă lui x este egală cu 0

deci această limită va fi egală cu 0

limita la dreapta lui 1

din partea întreagă din x este egală cu

la dreapta lui 1 partea întreagă lui x este egală cu 1

deci această limită va fi egală cu

1

și valoarea funcției

în 1 f de 1 este egală cu partea întreagă din 1

care este 1

din aceste 3 rezultate

rezultă că limita la dreapta lui 1 este egală cu f de 1

și este egală cu 1

iar limita la stânga lui 1 este egală cu 0

deci astea pentru x egal cu 1

rezultă că x egal cu 1

este un punct de discontinuitate

de speța 1

pentru funcția f

rezultă că f are cel puțin un punct de discontinuitate de speța 1

deci f nu admite primitive

cu aceasta am finalizat prima variantă de rezolvare

și vom trece la

varianta a doua de rezolvare

să vedem acum cum am putea rezolva acest exercițiu

folosind

faptul că f nu are proprietatea lui Darbou

deci în varianta a doua de rezolvare

noi ar trebui să arătăm

că f nu are proprietatea lui Darbou

știm că dacă o funcție care nu este funcție constantă

este definită pe un interval de numere reale cu valori în R

și imaginea funcției nu este un interval

atunci f nu are proprietatea lui Darbou

să vedem cine este imaginea funcției f

definită pe R cu valori în R

f de x egal cu partea întreagă din x

din moment ce partea întreagă a lui x

este întotdeauna un număr întreg

rezultă că imaginea funcției f

din exercițiul nostru este egală cu z

z nu este un interval z

înseamnă că

funcția f

nu are proprietatea lui Darbou

pe R

înseamnă că funcția f

nu are proprietatea lui Darbou nu are proprietatea lui Darbou

o observație

în varianta a doua de rezolvare

așa că funcția f nu are proprietatea lui Darbou

folosindu-ne de faptul că o funcție

care are puncte de discontinuitate de speța 1

nu are proprietatea lui Darbou

dar atunci am fi avut un demers similar

cu demersul de rezolvare din varianta a doua