Transcript: Problema existenței primitivelor - Aplicații

În acest videoclip voi arăta cum abordăm rezolvarea exercițiilor în care ni se cere să arătăm că o funcție admite sau nu admite primitive.
Considerăm următorul exercițiu.
Să se arate că funcția f, definită pe interval închis minus 1 pe 2 plus infinit cu valori în R,
dată prin legea de corespondență f de x egal cu radical din 2x plus 1 minus 1 totul supra x când x diferit de 0 și 1 când x egal cu 0, admite primitive pe R.
Pentru a rezolva acest exercițiu care ne cere să arătăm că funcția f admite primitive pe R,
putem să ne folosim fie de definiția funcției care admite primitive, adică să punem în evidență o primitivă f mare a funcției f mic,
fie să ne folosim de faptul că orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval.
Pentru că nu pare simplu să identificăm funcția a cărei derivată este radical din 2x plus 1 minus 1 totul supra x,
adică o primitivă a funcției f mic,
vom rezolva acest exercițiu prin a doua metodă,
vom verifica dacă f este continuă.
Dacă x este diferit de 0 și este din domeniul de definiție al funcției, adică din intervalul minus 1 pe 2 închis plus infinit,
f de x este egală cu radical din 2x plus 1 minus 1 supra x,
se obține prin operații cu funcții continue,
înseamnă că f este continuă.
Pentru x egal cu 0,
trebuie să calculăm limitele laterale și valoarea funcției în 0.
Dacă limitele laterale sunt egale cu valoarea funcției în 0, atunci f este continuă și în 0.
Calculăm limită când x tinde la 0 cu valori mai mici decât 0 din f de x,
adică limită când x tinde la 0 cu valori mai mici decât 0 din radical din 2x plus 1 minus 1 supra x.
Când x tinde la 0, radicalul tinde la 2x 0 plus 1 adică 1 minus 1 înseamnă 0 supra 0,
deci avem caz de nedeterminare 0 pe 0.
Pentru calcularea limitei putem folosi regula lui L'Hôpital
și atunci această limită va fi egală cu
limită când x tinde la 0 cu valori mai mici decât 0 din
derivata numărătorului,
1 derivat e 0, deci ne rămâne să derivăm radicalul
2x plus 1 derivat este 2
supra 2 radical din 2x plus 1
x derivat este 1, simplificăm cu 2
și atunci această limită este egală cu
limită când x tinde la 0 cu valori mai mici decât 0 din
1 supra radical din 2x plus 1
radicalul tinde la 1 când x tinde la 0, deci limita este egală cu 1
limită când x tinde la 0 cu valori mai mari decât 0
din fdx
este egală cu limită când x tinde la 0 cu valori mai mari decât 0
tot din radical din 2x plus 1
minus 1 supra x
calculul acestei limite este același cu calculul limitei la stânga lui 0
deci și această limită va fi egală cu 1
valoarea funcției în 0
conform
legii de corespondență a funcției este egală cu 1
și atunci obținem că
pentru x egal cu 0 avem limită la stânga egală cu limită la dreapta
și egală cu valoarea funcției în 0
rezultă că funcția f este continuă în 0
funcția f era continuă
pe toate elementele domeniului de definiție diferite de 0
este continuă în 0
din aceste două rezultate
rezultă că
f este continuă pe domeniul ei de definiție
fiindcă f este continuă pe domeniul ei de definiție rezultă că
f admite primitivă
să considerăm acum un alt exercițiu
să se arată că funcția f definită pe R cu valori în R
f de x egal cu partea întreagă din x
nu admite primitive pe R
dacă exercițiul cere să arătăm că funcția nu admite primitive pe o mulțime
pentru a-l rezolva
putem fie să arătăm că funcția f
are puncte de discontinuitate de speța întâi
fie să arătăm că f nu are
proprietatea lui darbo
rezolvăm acest exercițiu prin ambele metode
varianta 1 de rezolvare
vrem să arătăm că f
are puncte de discontinuitate de speța întâi
pentru a identifica punctul de discontinuitate
reamintăm cum arată graficul funcției parte întreagă
opriți înregistrarea și schițați graficul pe o foaie de cârtie
graficul funcției parte întreagă ar trebui să aibă forma aceasta
este ca o funcție scară
și atunci putem foarte ușor identifica de pe grafic un punct în care funcția este discontinua
să luăm de exemplu pe x egal cu 1
limita când x tinde la 1 cu valori mai mici decât 1
din partea întreagă din x
la stânga lui 1 partea întreagă lui x este egală cu 0
deci această limită va fi egală cu 0
limita la dreapta lui 1
din partea întreagă din x este egală cu
la dreapta lui 1 partea întreagă lui x este egală cu 1
deci această limită va fi egală cu
1
și valoarea funcției
în 1 f de 1 este egală cu partea întreagă din 1
care este 1
din aceste 3 rezultate
rezultă că limita la dreapta lui 1 este egală cu f de 1
și este egală cu 1
iar limita la stânga lui 1 este egală cu 0
deci astea pentru x egal cu 1
rezultă că x egal cu 1
este un punct de discontinuitate
de speța 1
pentru funcția f
rezultă că f are cel puțin un punct de discontinuitate de speța 1
deci f nu admite primitive
cu aceasta am finalizat prima variantă de rezolvare
și vom trece la
varianta a doua de rezolvare
să vedem acum cum am putea rezolva acest exercițiu
folosind
faptul că f nu are proprietatea lui Darbou
deci în varianta a doua de rezolvare
noi ar trebui să arătăm
că f nu are proprietatea lui Darbou
știm că dacă o funcție care nu este funcție constantă
este definită pe un interval de numere reale cu valori în R
și imaginea funcției nu este un interval
atunci f nu are proprietatea lui Darbou
să vedem cine este imaginea funcției f
definită pe R cu valori în R
f de x egal cu partea întreagă din x
din moment ce partea întreagă a lui x
este întotdeauna un număr întreg
rezultă că imaginea funcției f
din exercițiul nostru este egală cu z
z nu este un interval z
înseamnă că
funcția f
nu are proprietatea lui Darbou
pe R
înseamnă că funcția f
nu are proprietatea lui Darbou nu are proprietatea lui Darbou
o observație
în varianta a doua de rezolvare
așa că funcția f nu are proprietatea lui Darbou
folosindu-ne de faptul că o funcție
care are puncte de discontinuitate de speța 1
nu are proprietatea lui Darbou
dar atunci am fi avut un demers similar
cu demersul de rezolvare din varianta a doua