Integrarea prin schimbare de variabilă
Fie \(I,J\) două intervale şi \(f:I\rightarrow J,g:J\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii cu proprietăţile:
\(\int g(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = G(f(x)) + C\)
(Formula de schimbare de variabilă).
Dacă \(u:I\rightarrow J\) este o funcție derivabilă pe intervalul I, atunci se obțin următoarele formule de integrale nedefinite:
\(1. \int u^{n}(x) \cdot u'(x) \, dx = \frac{u^{n+1}(x)}{n+1} + C, \quad n \neq -1\)
\(2. \int u^{r}(x) \cdot u'(x) \, dx = \frac{u^{r+1}(x)}{r+1} + C, \quad r \neq -1\)
\(3. \int a^{u(x)} \cdot u'(x) \, dx = \frac{a^{u(x)}}{\ln a} + C\)
\(4. \int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln |u(x)| + C\)
\(5. \int \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^{2}(x)}} \, dx = \arcsin(u(x)) + C\)
\(6. \int \frac{-u'(x)}{\sqrt{1 - u^{2}(x)}} \, dx = \arccos(u(x)) + C\)
\(7. \int \sin(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = -\cos(u(x)) + C\)
\(8. \int \cos(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \sin(u(x)) + C\)
\(9. \int \tan(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = -\ln |\cos(u(x))| + C\)
\(10. \int \cot(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \ln |\sin(u(x))| + C\)
\(11. \int \frac{u'(x)}{1 + u^{2}(x)} \, dx = \arctan(u(x)) + C\)
\(12. \int \frac{-u'(x)}{1 + u^{2}(x)} \, dx = \text{arcctg}(u(x)) + C\)
\(13. \int \frac{u'(x)}{\cos^{2}(u(x))} \, dx = \tan(u(x)) + C\)
\(14. \int \frac{u'(x)}{\sin^{2}(u(x))} \, dx = -\cot(u(x)) + C\)
\(15. \int \frac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x) \pm a^{2}}} \, dx = \ln |u(x) + \sqrt{u^{2}(x) \pm a^{2}}| + C\)
- \(f\) este derivabilă
- \(g\) admite primitive.
\(\int g(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = G(f(x)) + C\)
(Formula de schimbare de variabilă).
Dacă \(u:I\rightarrow J\) este o funcție derivabilă pe intervalul I, atunci se obțin următoarele formule de integrale nedefinite:
\(1. \int u^{n}(x) \cdot u'(x) \, dx = \frac{u^{n+1}(x)}{n+1} + C, \quad n \neq -1\)
\(2. \int u^{r}(x) \cdot u'(x) \, dx = \frac{u^{r+1}(x)}{r+1} + C, \quad r \neq -1\)
\(3. \int a^{u(x)} \cdot u'(x) \, dx = \frac{a^{u(x)}}{\ln a} + C\)
\(4. \int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln |u(x)| + C\)
\(5. \int \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^{2}(x)}} \, dx = \arcsin(u(x)) + C\)
\(6. \int \frac{-u'(x)}{\sqrt{1 - u^{2}(x)}} \, dx = \arccos(u(x)) + C\)
\(7. \int \sin(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = -\cos(u(x)) + C\)
\(8. \int \cos(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \sin(u(x)) + C\)
\(9. \int \tan(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = -\ln |\cos(u(x))| + C\)
\(10. \int \cot(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \ln |\sin(u(x))| + C\)
\(11. \int \frac{u'(x)}{1 + u^{2}(x)} \, dx = \arctan(u(x)) + C\)
\(12. \int \frac{-u'(x)}{1 + u^{2}(x)} \, dx = \text{arcctg}(u(x)) + C\)
\(13. \int \frac{u'(x)}{\cos^{2}(u(x))} \, dx = \tan(u(x)) + C\)
\(14. \int \frac{u'(x)}{\sin^{2}(u(x))} \, dx = -\cot(u(x)) + C\)
\(15. \int \frac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x) \pm a^{2}}} \, dx = \ln |u(x) + \sqrt{u^{2}(x) \pm a^{2}}| + C\)