Primitive. Integrala nedefinită

În acest videoclip vom defini primitivele și integrala nedefinită a unei funcții.

Pe parcursul clasei A11 ați învăța să determinați derivat a unei funcții derivabile.

Vom considera câteva exemple de funcții și apoi le vom deriva.

Toate funcțiile cu care vom lucra sunt definite pe R cu valori în R.

Am luat în considerare funcțiile f1 de x egal cu x pătrat, f2 de x egal cu x pătrat plus 1, f3 de x egal cu x pătrat plus radical din 3

și am luat un caz general pentru că vedeți aici la x pătrat se tot adaugă câte o constantă

funcția f de x este egal cu x pătrat plus c când c este un număr real.

Să calculăm derivat a fiecarei funcții.

f1 derivat de x este egal cu 2x pentru că x pătrat derivat este 2x

f2 de x derivat este egal cu 2x pentru că constanta derivată ne dă 0

f3 de x derivat este egal cu 2x și f mare de x derivat este egal tot cu 2x.

Constantele indiferent cât sunt ele derivate ne dau 0.

Deci am avut niște funcții, le-am derivat și am obținut evident alte funcții.

Să ne uităm la aceste rezultate dintr-o altă perspectivă.

Adică să vedem dacă putem determina o funcție când știm care este derivata ei.

Adică dacă noi știm că derivata funcției este 2x de exemplu

să vedem dacă putem determina funcția a cărei derivată este 2x.

Asta înseamnă că de fapt dacă atunci când am avut funcția și am obținut derivata

am făcut o operație de derivarea funcției

dacă ni se dă derivata funcției și vrem să determinăm funcția

trebuie să facem o operație opusă derivării

și vom numi această operație ca operație de antiderivare.

E opusă derivării, deci scriem aici antiderivare

dar nu înainte de a pune aici derivata la F pentru că nu am scris-o.

Ok, deci antiderivare

de exemplu dacă noi considerăm funcția f mic de x

egal cu 2x

o funcție definită tot pe R cu valori în R

care este funcția a cărei derivată este 2x?

Hai să și scriem întrebarea asta.

Care este funcția

a cărei derivată

este 2x?

Dacă ne uităm la calculele pe care deja le-am efectuat

vedem aici că avem patru funcții scrise

a căror derivată este egală cu 2x.

Deci putem spune că

dacă f mic de x este egal cu 2x

și asta este derivata funcției pe care noi o căutăm

să notăm cu f mare funcția și atunci asta înseamnă de fapt că

f mare derivat de x este egal cu 2x

atunci o funcție care derivată ne dă 2x

poate să fie f1 de x egal cu x pătrat.

De ce vedem aici că dacă f1 de x este x pătrat

derivata funcției este 2x?

Dar la fel de bine s-ar putea ca funcția pe care o derivăm să fie x pătrat plus 1

pentru că am văzut că și x pătrat plus 1 derivat este 2x

deci f2 de x egal cu x pătrat plus 1

sau vedem mai sus că și f3 de x egal cu x pătrat

plus radical din 3 derivat ne dă tot 2x

sau pe caz general dacă f mare de x este egal cu x pătrat plus c

atunci f mare derivat de x este egal cu 2x

Deci aici evident ziceam ce este din mulțimea numărelor alea

Deci noi prin derivare de la funcție am ajuns la derivată

prin antiderivare de la derivată am ajuns la funcție

De ce ne-ar interesa dacă avem derivata funcției să găsim care este funcția a cărei derivată o știm?

Poate ar putea fi util atunci când știm viteza instantanee în funcție de timp

Mai țineți minte că viteza instantanee era derivata funcției spațiu în funcție de timp

Deci dacă noi știm viteza instantanee în funcție de timp și vrem să determinăm spațiul în funcție de timp

atunci avem nevoie de o astfel de antiderivare

Ca o concluzie la exercițiul pe care l-am discutat

putem spune că dacă avem funcția f mic definită pe R cu valori în R

f de x egal cu 2x

atunci o antiderivată a funcției f mic este funcția

am să aleg funcția care are o formă generală

Deci funcția f mare definită pe R cu valori în R

f mare de x egal cu x pătrat plus c

când c este un număr real

f mare care este antiderivata funcției f mic

se mai numește și o primitivă a funcției f mic

și cu aceasta să definim o primitivă a unei funcții

dacă avem un interval i de numere reale și o funcție f mic definită pe i cu valori în R

această funcție f mic admite primitive pe i

dacă există o funcție f mare definită pe i cu valori în R

care îndeplinește două condiții

prima condiție f mare este derivabilă pe i

și a doua condiție

derivata funcției f mare este egală cu funcția f mic

în orice x din i

aceasta înseamnă că de fapt cele două funcții sunt egale pe i

condiția de derivabilitate este necesară

pentru că vedeți în condiția a doua avem nevoie de derivata funcției f mare

și nu putem deriva funcția dacă funcția nu este derivabilă

și un alt comentariu pe care aș vrea să-l fac

legat de importanța acestui ori care ar fi x din i

asta înseamnă că discutăm aici de două funcții care sunt egale

derivata funcției f mare și funcția f mic

această funcție f mare se numește și funcția primitiva

sau antiderivata funcției f mic pe intervalul i mare

f mare există

deci dacă f mare există

atunci f mic este primitivabilă pe i

astea sunt toate noțiuni legate de definiția primitivei

câteva observații și notații

dacă f definită pe i cu valori în r este o funcție care admite două primitive

f mare 1 și f mare 2

ambele definite pe i cu valori în r conform definiției

atunci cele două primitive diferă printr-o constantă

cu alte cuvinte există ce număr real

astfel încât f1 de x minus f2 de x să fie egal cu c

constatăm că exemplul pe care l-am luat la început

unde am găsit mai multe primitive pentru aceeași funcție

f de x egal cu 2x

verifică această observație

adică primitivele pe care le-am găsit

diferă una de alta printr-o constantă

a doua observație

dacă o funcție admite o primitivă

atunci ea va admite o infinitate de primitive

adică dacă f mic îi definită pe i cu valori în r

și admite o primitivă f mare definită tot pe i cu valori în r

atunci f mic admite o infinitate de primitive

și această infinitate de primitive

se notează cu f mare de x plus c

unde c este o mulțime de constante

adică ea este egală cu c mic

când c mic parcurge pe r

Acum putem defini integrala nedefinită a funcției f

adică dacă avem o funcție f

definită pe i cu valori în r

o funcție care admite primitive pe i

atunci se numește integrala nedefinită

a funcției f

și se notează cu

integrala

din f de x de x

voi reveni asupra acestei notații

mulțimea tuturor primitivelor funcției f

adică f mare de x plus c

dacă f mare este o primitivă a funcției f mic

Am zis că voi reveni la această notație a integralei nedefinite

aici semnul acesta vrea să fie ca un fel de s alungit

și acest s alungit este întotdeauna însoțit de dx

dx ne arată de fapt variabila de integrare

variabila funcției care se integrează

dacă avem dt înseamnă că variabila funcției este t

funcția am notat-o cu albastru

integrală din f de x de x

integrală nedefinită din f de x de x

iar operația prin care se determină mulțimea primitivelor unei funcții

adică integrala nedefinită a unei funcții

se mai numește și operație de integrare

folosim această notație în contextul exemplului pe care l-am discutat la început

este vorba despre acest exemplu

funcția era f mic de x egal cu 2x

și o primitivă a ei era x pătrat

adică avem funcția

f mic definită pe r cu valori în r

f mic de x egal cu 2x

și f mare

definită tot pe r cu valori în r

o antiderivată sau o primitivă a funcției f mic

egală cu x pătrat

mulțimea tuturor primitivelor va fi egală cu

f mare de x

plus mulțimea constantelor

adică va fi x pătrat plus c

integrala nedefinită a funcției

2x

este egală cu

x pătrat plus c

adică cu mulțimea tuturor primitivălor