Diviziuni ale unui interval [a,b]. Sume Riemann
1. Diviziuni ale unui interval
Definiţii.
Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\), \(\Delta = \left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )\) o diviziune a intervalului \(\left [ a,b \right ]\) şi sistemul de puncte intermediare \(\xi = \left ( \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n} \right )\) asociat diviziunii \(\Delta\).
Se numeşte suma Riemann asociată funcţiei \(f\), diviziunii \(\Delta\) şi sistemului de puncte intermediare \(\xi\), numărul real
\(\sigma _{\Delta }\left ( f,\xi \right )= \sum_{i= 1}^{n}f(\xi _{i})\cdot \left ( x_{i}-x_{i-1} \right )\).
Definiţii.
- Fie [a,b] un interval de numere reale închis şi mărginit. Se numeşte diviziune a intervalului [a,b] un sistem de puncte \(\Delta = \left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )\) astfel încât \(a= x_{0}< x_{1}< ...< x_{n-1}< x_{n}= b\).
- Punctele \(x_{0},x_{1},...,x_{n}\) se numesc puncte de diviziune.
- Intervalele \(\left [ x_{0},x_{1} \right ],\left [ x_{1},x_{2} \right ],...,\left [ x_{n},x_{n-1} \right ]\) se numesc intervale de diviziune.
- Sistemul de puncte \(\xi = \left ( \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n} \right ), \xi _{i}\in \left [ x_{i-1},x_{i} \right ],i= \overline{1,n}\) se numeşte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii \(\Delta\).
- Se numeşte norma diviziunii \(\Delta\) cea mai mare dintre lungimile intervalelor de diviziune \(\left [ x_{0},x_{1} \right ],\left [ x_{1},x_{2} \right ],...,\left [ x_{n},x_{n-1} \right ]\) .
- Diviziunea \(\Delta\) se numeşte echidistantă dacă toate intervalele de diviziune au aceeaşi lungime.
Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\), \(\Delta = \left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )\) o diviziune a intervalului \(\left [ a,b \right ]\) şi sistemul de puncte intermediare \(\xi = \left ( \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n} \right )\) asociat diviziunii \(\Delta\).
Se numeşte suma Riemann asociată funcţiei \(f\), diviziunii \(\Delta\) şi sistemului de puncte intermediare \(\xi\), numărul real
\(\sigma _{\Delta }\left ( f,\xi \right )= \sum_{i= 1}^{n}f(\xi _{i})\cdot \left ( x_{i}-x_{i-1} \right )\).