Fie \(\left ( K,+,\cdot \right )\) un corp comutativ. 

Definiţie. O funcţie \(f:\mathbb{N}\rightarrow K\) se numeşte şir de elemente din corpul K.
Notaţii: \(K^{\mathbb{N}}\)-mulţimea şirurilor de elemente din corpul K şi \(K^\left ({\mathbb{N}} \right )\) - mulţimea şirurilor finite de elemente din corpul K.

Definiţie. Fie \(f,g\in K^{\mathbb{N}}\) două şiruri, \(f= \left ( a_{0},a_{1},...,a_{n},... \right )\) şi \(g= \left ( b_{0},b_{1},...,b_{n},... \right )\)
Şirul \(f+g= \left ( a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},...,a_{n}+b_{n},... \right )\) se numeşte suma şirurilor \(f\) şi \(g\).
Şirul \(f\cdot g= \left ( c_{0},c_{1},...,c_{n},... \right )\), unde \(c_{i}= \sum_{k= 0}^{i}a_{k}\cdot b_{i-k}\) se numeşte produsul şirurilor \(f\) şi \(g\).

Definiţie. Orice element din \(K^\left ({\mathbb{N}} \right )\) pe care s-a definit adunarea şi înmulţirea prezentate mai sus, se numeşte polinom cu coeficienţi în corpul K.

Teoremă. \(\left ( K^{\left ( \mathbb{N} \right )},+,\cdot \right )\) formează un inel comutativ fără divizori ai lui zero.

• Un monom de grad n cu coeficienţi în corpul K are forma algebrică: 

\(f_{n}= a_{n}X^{n},a_{n}\in K^{*}\).

• Un polinom de grad n cu coeficienţi în corpul K are forma algebrică:

\(f= a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+...+a_{n}X^{n},\) cu  \(a_{n}\in K^{*},a_{0},a_{1},...,a_{n-1}\in K\).

Elementele \(a_{0},a_{1},...,a_{n}\) se numesc coeficienţii polinomului.
Monomul \(a_{n}X^{n}\) se numeşte monom dominant al polinomului.
Două polinoame sunt egale dacă au acelaşi grad şi coeficienţii respectiv egali.
Notaţie. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi în corpul K şi cu nedeterminata X se va nota \(K\left [ X \right ]\).

 

Fie \(f= a_{0}+a_{1}X+...+a_{n}X^{n}, a_{n}\in K^{*}\) un polinom de grad n.

• Funcţia \(f:K\rightarrow K,f(x)= a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}\) se numeşte funcţia polinomială ataşată polinomului.
• Numărul \(f(\alpha )= a_{0}+a_{1}\alpha +...+a_{n}\alpha ^{n}\) se numeşte valoarea polinomului \(f\) în \(\alpha\).

1. Adunarea monoamelor de acelaşi grad
Fie \(f= a_{n}X^{n},g= b_{n}X^{n}\).
Suma celor două monoame este monomul:
\(f+g=\left ( a_{n}+b_{n} \right )X^{n}\).

2. Adunarea monoamelor de grade diferite
Fie \(f= a_{n}X^{n},g= b_{m}X^{m}\). 
Suma celor două monoame este monomul:
\(f+g= a_{n}X^{n}+ b_{m}X^{m}\).

3. Adunarea polinoamelor se face însumând termenii asemenea din cele două polinoame: 
Fie \(f= a_{0}+a_{1}X+...+a_{n}X^{n},g= b_{0}+b_{1}X+...+b_{m}X^{m}\).
Suma celor două polinoame este polinomul:
\(f+g= \left (a_{0}+b_{0} \right )+\left (a_{1}+b_{1} \right )X+\left (a_{2}+b_{2} \right )X^{2}+...+\left (a_{p}+b_{p} \right )X^{p}+...= \sum_{i\geq 0}\left ( a_{i}+b_{i} \right )X^{i}\)

1.Produsul monoamelor

Fie \(f= a_{n}X^{n},g= b_{m}X^{m}\).
Produsul monoamelor este monomul:
\(f\cdot g= a_{n}b_{m}X^{n+m}\).

2. Produsul polinoamelor

Fie  \(f= a_{0}+a_{1}X+...+a_{n}X^{n},g= b_{0}+b_{1}X+...+b_{m}X^{m}\).
Produsul polinoamelor este \(f\cdot g= \left (a_{0}+a_{1}X+...+a_{n}X^{n} \right )\cdot \left (b_{0}+b_{1}X+...+b_{m}X^{m} \right )= a_{0}b_{0}+\left ( a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1} \right )X+...\)
(înmulţim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua paranteză, apoi adunăm termenii asemenea).

Teorema împărţirii cu rest. Fie \(f,g\in K\left [ X \right ],g\neq 0\). Atunci există polinoamele unice \(q,r\in K\left [ X \right ]\) astfel încât 
\(f= g\cdot q+r\) şi \(grad\left ( r \right )< grad\left ( g \right )\).
Polinomul \(f\) se numeşte deîmpărţit, \(g\) se numeşte împărţitor, \(q\) se numeşte cât, iar \(r\) se numeşte rest.

Teorema restului. Restul împărţirii polinomului f la polinomul g = X - a este egal cu valoarea polinomului f în a: r = f(a).

Fie polinoamele \(f,g\in K\left [ X \right ]\).
Definiţii.

• Polinomul \(g\) divide polinomul \(f\) dacă există un polinom \(h\in K\left [ X \right ]\) astfel încât \(f= g\cdot h\).
• Polinomul \(g\)  se numeşte divizor al lui \(f\).
• Polinomul \(f\) se numeşte multiplu al lui \(g\).

Notaţie. \(g\mid f\) sau \(f\vdots g\).

Observaţie. Polinomul \(f\) se divide cu polinomul \(g\neq 0\) dacă şi numai dacă restul împărţirii lui \(f\) la \(g\) este polinomul nul.

Proprietăţile relaţiei de divizivilitate:

1. Reflexivitatea:
\(f\mid f,\forall f\in K\left [ X \right ]\)

2. Tranzitivitatea:
Dacă \(f\mid g\) şi \(g\mid h\Rightarrow f\mid h\)

3. Dacă \(f\mid g\) şi \(f\mid h\Rightarrow f\mid \left ( pg+qh \right ),\forall p,q\in K\left [ X \right ]\).

Definiţie. Polinoamele \(f,g\in K\left [ X \right ]\) se numesc asociate în divizibilitate, dacă \(f\mid g\) şi \(g\mid f\).
Notaţie. \(f\sim g\).

 

Fie polinoamele \(f,g\in K\left [ X \right ]\).

Definiţie. Un polinom \(d\in K\left [ X \right ]\) este cel mai mare divizor comun al polinoamelor \(f,g\) dacă:

• \(d\mid f\) şi \(d\mid g\)
• orice alt divizor comun al lui \(f\) şi \(g\) îl divide pe \(d\).

Notaţie. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor \(f\) şi \(g\) se notează \(\left ( f,g \right )\).
Definiţie. Polinoamele \(f\) şi \(g\)  se numesc prime între ele dacă \(\left ( f,g \right )= 1.\)

Definiţie. Un polinom \(m\in K\left [ X \right ]\) este cel mai mic multiplu comun al polinoamelor \(f\) şi \(g\) dacă:

• \(f\mid m\) şi \(g\mid m\)
• orice alt multiplu comun al polinoamelor \(f\) şi \(g\) este multiplu şi pentru \(m\).

Notaţie. Cel mai mic multiplu comun al polinoamelor \(f\) şi \(g\) se notează \(\left [ f,g \right ]\).

Proprietate. Are loc relaţia \(f\cdot g= \left ( f,g \right )\left [ f,g \right ]\).

Fie \(f\in K\left [ X \right ]\) un polinom.

Definiţie. Numărul \(a \in K\) este rădăcină a polinomului \(f\in K\left [ X \right ]\) dacă \(f\left ( a \right )= 0\).

Teorema lui Bezout. Un element \(a\in K\) este rădăcină a polinomului \(f\) dacă şi numai dacă 
\(X-a\) divide pe \(f\).

\(X-a\mid f\Leftrightarrow f(a)= 0\).

Definiţie. Elementul \(a\in K\) este rădăcină de ordin \(n\in\mathbb{N} ^{*}\) pentru polinomul \(f\) dacă \(f\) se divide cu \(\left ( X-a \right )^{n}\), dar nu se divide cu \(\left ( X-a \right )^{n+1}\).
Numărul \(n\in\mathbb{N} ^{*}\) se numeşte ordin de multiplicitate al rădăcinii \(a\).

• dacă \(n= 1\) atunci \(a\) este rădăcină simplă.
• dacă \(n= 2\) atunci \(a\) este rădăcină dublă.
• dacă \(n= 3\) atunci \(a\) este rădăcină triplă.

Definiţie.

• Un polinom nenul \(f\in K\left [ X \right ]\) se numeşte reductibil peste corpul K dacă există polinoamele \(g,h\in K\left [ X \right ]\) de grad cel puţin 1 astfel încât \(f= g\cdot h\).
• Un polinom \(f\in K\left [ X \right ]\) care nu este reductibil peste K se numeşte ireductibil.

Observaţie. Orice polinom \(f\in K\left [ X \right ]\) de grad 1 cu coeficienţi într-un corp comutativ este ireductibil.

Teoremă. Orice polinom \(f\in K\left [ X \right ]\) se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile.

Teorema d'Alembert-Gauss. Orice polinom cu coeficienţi complecşi de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puţin o rădăcină în \(\mathbb{C}\).

Teoremă. Fie \(f\in \mathbb{C}\left [ X \right ]\) un polinom de grad n, \(f= a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+...+a_{n}X^{n}\).
Dacă \(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\) sunt rădăcinile polinomului \(f\) având ordinele de multiplicitate \(p _{1},p _{2},...,p _{n}\in \mathbb{N}^{*}\),atunci \(f\) se poate descompune sub forma:
\(f= a_{n}\left ( X-\alpha _{1} \right )^{p_{1}}\left ( X-\alpha _{2} \right )^{p_{2}}...\left ( X-\alpha _{n} \right )^{p_{n}}\).
 

Fie polinomul \(f\in \mathbb{C}\left [ X \right ]\), \(f= a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_{1}X+a_{0}\)  cu  \(a_{n}\neq 0\).
Dacă \(x_{1},x_{2},...,x_{n}\) sunt rădăcinile polinomului, atunci au loc următoarele relaţii: 

Relaţiile lui Viete
\(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}= -\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\)
\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+...+x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+...+x_{2}x_{n}+...+x_{n}x_{n-1}= \frac{a_{n-2}}{a_{n}}\)
.............................................
\(x_{1}x_{2}x_{n}= \left ( -1 \right )^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}\).