Divizibilitatea polinoamelor
Fie polinoamele \(f,g\in K\left [ X \right ]\).
Definiţii.
Observaţie. Polinomul \(f\) se divide cu polinomul \(g\neq 0\) dacă şi numai dacă restul împărţirii lui \(f\) la \(g\) este polinomul nul.
Proprietăţile relaţiei de divizivilitate:
1. Reflexivitatea:
\(f\mid f,\forall f\in K\left [ X \right ]\)
2. Tranzitivitatea:
Dacă \(f\mid g\) şi \(g\mid h\Rightarrow f\mid h\)
3. Dacă \(f\mid g\) şi \(f\mid h\Rightarrow f\mid \left ( pg+qh \right ),\forall p,q\in K\left [ X \right ]\).
Definiţie. Polinoamele \(f,g\in K\left [ X \right ]\) se numesc asociate în divizibilitate, dacă \(f\mid g\) şi \(g\mid f\).
Notaţie. \(f\sim g\).
Definiţii.
- Polinomul \(g\) divide polinomul \(f\) dacă există un polinom \(h\in K\left [ X \right ]\) astfel încât \(f= g\cdot h\).
- Polinomul \(g\) se numeşte divizor al lui \(f\).
- Polinomul \(f\) se numeşte multiplu al lui \(g\).
Observaţie. Polinomul \(f\) se divide cu polinomul \(g\neq 0\) dacă şi numai dacă restul împărţirii lui \(f\) la \(g\) este polinomul nul.
Proprietăţile relaţiei de divizivilitate:
1. Reflexivitatea:
\(f\mid f,\forall f\in K\left [ X \right ]\)
2. Tranzitivitatea:
Dacă \(f\mid g\) şi \(g\mid h\Rightarrow f\mid h\)
3. Dacă \(f\mid g\) şi \(f\mid h\Rightarrow f\mid \left ( pg+qh \right ),\forall p,q\in K\left [ X \right ]\).
Definiţie. Polinoamele \(f,g\in K\left [ X \right ]\) se numesc asociate în divizibilitate, dacă \(f\mid g\) şi \(g\mid f\).
Notaţie. \(f\sim g\).