Polinom cu coeficienţi în corpul K
Fie \(\left ( K,+,\cdot \right )\) un corp comutativ.
Definiţie. O funcţie \(f:\mathbb{N}\rightarrow K\) se numeşte şir de elemente din corpul K.
Notaţii: \(K^{\mathbb{N}}\)-mulţimea şirurilor de elemente din corpul K şi \(K^\left ({\mathbb{N}} \right )\) - mulţimea şirurilor finite de elemente din corpul K.
Definiţie. Fie \(f,g\in K^{\mathbb{N}}\) două şiruri, \(f= \left ( a_{0},a_{1},...,a_{n},... \right )\) şi \(g= \left ( b_{0},b_{1},...,b_{n},... \right )\)
Şirul \(f+g= \left ( a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},...,a_{n}+b_{n},... \right )\) se numeşte suma şirurilor \(f\) şi \(g\).
Şirul \(f\cdot g= \left ( c_{0},c_{1},...,c_{n},... \right )\), unde \(c_{i}= \sum_{k= 0}^{i}a_{k}\cdot b_{i-k}\) se numeşte produsul şirurilor \(f\) şi \(g\).
Definiţie. Orice element din \(K^\left ({\mathbb{N}} \right )\) pe care s-a definit adunarea şi înmulţirea prezentate mai sus, se numeşte polinom cu coeficienţi în corpul K.
Teoremă. \(\left ( K^{\left ( \mathbb{N} \right )},+,\cdot \right )\) formează un inel comutativ fără divizori ai lui zero.
Definiţie. O funcţie \(f:\mathbb{N}\rightarrow K\) se numeşte şir de elemente din corpul K.
Notaţii: \(K^{\mathbb{N}}\)-mulţimea şirurilor de elemente din corpul K şi \(K^\left ({\mathbb{N}} \right )\) - mulţimea şirurilor finite de elemente din corpul K.
Definiţie. Fie \(f,g\in K^{\mathbb{N}}\) două şiruri, \(f= \left ( a_{0},a_{1},...,a_{n},... \right )\) şi \(g= \left ( b_{0},b_{1},...,b_{n},... \right )\)
Şirul \(f+g= \left ( a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},...,a_{n}+b_{n},... \right )\) se numeşte suma şirurilor \(f\) şi \(g\).
Şirul \(f\cdot g= \left ( c_{0},c_{1},...,c_{n},... \right )\), unde \(c_{i}= \sum_{k= 0}^{i}a_{k}\cdot b_{i-k}\) se numeşte produsul şirurilor \(f\) şi \(g\).
Definiţie. Orice element din \(K^\left ({\mathbb{N}} \right )\) pe care s-a definit adunarea şi înmulţirea prezentate mai sus, se numeşte polinom cu coeficienţi în corpul K.
Teoremă. \(\left ( K^{\left ( \mathbb{N} \right )},+,\cdot \right )\) formează un inel comutativ fără divizori ai lui zero.