Fie A o mulţime nevidă şi legile de compoziţie pe A:  \(\ast ,\circ\).
Definiţii.
1. Tripletul \(\left ( A,\ast ,\circ \right )\) se numeşte inel, dacă:

• \(\left ( A,\ast \right )\) este grup abelian
• \(\left ( A,\circ \right )\) este monoid
• sunt verificate axiomele distributivităţii: 

\(x\circ \left ( y\ast z \right )= x\circ y\ast x\circ z,\forall x,y,z\in A\)
\(\left ( x\ast y \right )\circ z= x\circ z\ast y\circ z,\forall x,y,z\in A\).

2. Inelul \(\left ( A,\ast ,\circ \right )\) este comutativ dacă legea \(\circ\) este comutativă.

3. Elementul neutru al grupului \(\left ( A,\ast \right )\) se numeşte element nul al inelului, sau zero şi se notează \(0_{A}\).
Elementul neutru al monoidului \(\left ( A,\circ \right )\) se numeşte element unitate al inelului şi se notează \(1_{A}\).

4. Elementele simetrizabile ale monoidului se numesc elemente inversabile ale inelului.
 

Fie \(\left ( A,+,\cdot \right )\) un inel. Au loc următoarele reguli de calcul:

1. \(\forall x\in A:x\cdot 0= 0\cdot x= 0\).
2. \(\forall x,y\in A: \left ( -x \right )\cdot y= x\cdot \left ( -y \right )= -xy\).

Divizori ai lui zero într-un inel

Definiţie. Fie \(\left ( A,+,\cdot \right )\) un inel, iar 0 este element neutru pentru +. 
Un element \(x\in A,x\neq 0\) se numeşte divizor al lui zero, dacă există un element  \(y\in A,y\neq 0\) 
astfel încât \(xy= 0\) sau \(yx= 0\).

Definiţie.  Un inel comutativ nenul şi fără divizori ai lui zero se numeşte inel integru sau domeniu de integritate.

Legi de simplificare în inele integre

Fie  \(\left ( A,+,\cdot \right )\) un inel integru şi \(a,x,y\in A, a\neq 0\). Au loc relaţiile:

• \(ax= ay\Rightarrow x= y\) (simplificare la stânga)
• \(xa= ya\Rightarrow x= y\) (simplificare la dreapta).

Fie \(\left ( A,+,\cdot \right ),\left ( A',\ast ,\circ \right )\) două inele care admit elementele unitate \(1_{A}\), respectiv \(1_{A'}\).

Definiţii.
1. O funcţie \(f:A\rightarrow A'\) se numeşte morfism de inele dacă:

• \(f(x+y)= f(x)\ast f(y),\forall x,y\in A\)
• \(f(x\cdot y)= f(x)\circ f(y),\forall x,y\in A\)
• \(f(1_{A})= f(1_{A'})\).

2. Fie \(f:A\rightarrow A'\) un morfism de inele. Dacă \(f\) este bijectivă, atunci \(f\) se numeşte izomorfism de inele.
3. Inelele \(A,A'\) se numesc inele izomorfe, dacă există un izomorfism \(f:A\rightarrow A'\).
4. Un morfism \(f:A\rightarrow A\) se numeşte endomorfism al inelului \(A\).
5. Un izomorfism \(f:A\rightarrow A\) se numeşte automorfism al inelului \(A\).

Definiţie. Un inel nenul \(\left ( K,+,\cdot \right )\) în care orice element nenul este inversabil se numeşte corp.

Astfel, un triplet \(\left ( K,+,\cdot \right )\) este corp dacă sunt verificate axiomele:

• \(\left ( K,+ \right )\) este grup abelian
• \(\left ( K^{*},\cdot \right )\) este grup
• Înmulţirea este distributivă faţă de adunare.

Dacă în plus înmulţirea este comutativă, atunci \(\left ( K,+,\cdot \right )\) se numeşte corp comutativ.

 

Definiţie. Fie \(\left ( K,+,\cdot \right ),\left ( K',+,\cdot \right )\) două corpuri.
O funcţie \(f:K\rightarrow K'\) se numeşte morfism de corpuri dacă \(f\) este morfism de inele.  
Dacă în plus, \(f\) este bijectivă, atunci \(f\) se numeşte izomorfism de corpuri.

Proprietate. Orice morfism de corpuri este funcţie injectivă.