Noţiunea de inel
Fie A o mulţime nevidă şi legile de compoziţie pe A: \(\ast ,\circ\).
Definiţii.
1. Tripletul \(\left ( A,\ast ,\circ \right )\) se numeşte inel, dacă:
\(\left ( x\ast y \right )\circ z= x\circ z\ast y\circ z,\forall x,y,z\in A\).
2. Inelul \(\left ( A,\ast ,\circ \right )\) este comutativ dacă legea \(\circ\) este comutativă.
3. Elementul neutru al grupului \(\left ( A,\ast \right )\) se numeşte element nul al inelului, sau zero şi se notează \(0_{A}\).
Elementul neutru al monoidului \(\left ( A,\circ \right )\) se numeşte element unitate al inelului şi se notează \(1_{A}\).
4. Elementele simetrizabile ale monoidului se numesc elemente inversabile ale inelului.
Definiţii.
1. Tripletul \(\left ( A,\ast ,\circ \right )\) se numeşte inel, dacă:
- \(\left ( A,\ast \right )\) este grup abelian
- \(\left ( A,\circ \right )\) este monoid
- sunt verificate axiomele distributivităţii:
\(\left ( x\ast y \right )\circ z= x\circ z\ast y\circ z,\forall x,y,z\in A\).
2. Inelul \(\left ( A,\ast ,\circ \right )\) este comutativ dacă legea \(\circ\) este comutativă.
3. Elementul neutru al grupului \(\left ( A,\ast \right )\) se numeşte element nul al inelului, sau zero şi se notează \(0_{A}\).
Elementul neutru al monoidului \(\left ( A,\circ \right )\) se numeşte element unitate al inelului şi se notează \(1_{A}\).
4. Elementele simetrizabile ale monoidului se numesc elemente inversabile ale inelului.