Reguli de calcul într-un inel
Fie \(\left ( A,+,\cdot \right )\) un inel. Au loc următoarele reguli de calcul:
1. \(\forall x\in A:x\cdot 0= 0\cdot x= 0\).
2. \(\forall x,y\in A: \left ( -x \right )\cdot y= x\cdot \left ( -y \right )= -xy\).
Divizori ai lui zero într-un inel
Definiţie. Fie \(\left ( A,+,\cdot \right )\) un inel, iar 0 este element neutru pentru +.
Un element \(x\in A,x\neq 0\) se numeşte divizor al lui zero, dacă există un element \(y\in A,y\neq 0\)
astfel încât \(xy= 0\) sau \(yx= 0\).
Definiţie. Un inel comutativ nenul şi fără divizori ai lui zero se numeşte inel integru sau domeniu de integritate.
Legi de simplificare în inele integre
Fie \(\left ( A,+,\cdot \right )\) un inel integru şi \(a,x,y\in A, a\neq 0\). Au loc relaţiile:
1. \(\forall x\in A:x\cdot 0= 0\cdot x= 0\).
2. \(\forall x,y\in A: \left ( -x \right )\cdot y= x\cdot \left ( -y \right )= -xy\).
Divizori ai lui zero într-un inel
Definiţie. Fie \(\left ( A,+,\cdot \right )\) un inel, iar 0 este element neutru pentru +.
Un element \(x\in A,x\neq 0\) se numeşte divizor al lui zero, dacă există un element \(y\in A,y\neq 0\)
astfel încât \(xy= 0\) sau \(yx= 0\).
Definiţie. Un inel comutativ nenul şi fără divizori ai lui zero se numeşte inel integru sau domeniu de integritate.
Legi de simplificare în inele integre
Fie \(\left ( A,+,\cdot \right )\) un inel integru şi \(a,x,y\in A, a\neq 0\). Au loc relaţiile:
- \(ax= ay\Rightarrow x= y\) (simplificare la stânga)
- \(xa= ya\Rightarrow x= y\) (simplificare la dreapta).