Polinoame ireductibile
Definiţie.
Teoremă. Orice polinom \(f\in K\left [ X \right ]\) se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile.
Teorema d'Alembert-Gauss. Orice polinom cu coeficienţi complecşi de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puţin o rădăcină în \(\mathbb{C}\).
Teoremă. Fie \(f\in \mathbb{C}\left [ X \right ]\) un polinom de grad n, \(f= a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+...+a_{n}X^{n}\).
Dacă \(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\) sunt rădăcinile polinomului \(f\) având ordinele de multiplicitate \(p _{1},p _{2},...,p _{n}\in \mathbb{N}^{*}\),atunci \(f\) se poate descompune sub forma:
\(f= a_{n}\left ( X-\alpha _{1} \right )^{p_{1}}\left ( X-\alpha _{2} \right )^{p_{2}}...\left ( X-\alpha _{n} \right )^{p_{n}}\).
- Un polinom nenul \(f\in K\left [ X \right ]\) se numeşte reductibil peste corpul K dacă există polinoamele \(g,h\in K\left [ X \right ]\) de grad cel puţin 1 astfel încât \(f= g\cdot h\).
- Un polinom \(f\in K\left [ X \right ]\) care nu este reductibil peste K se numeşte ireductibil.
Teoremă. Orice polinom \(f\in K\left [ X \right ]\) se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile.
Teorema d'Alembert-Gauss. Orice polinom cu coeficienţi complecşi de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puţin o rădăcină în \(\mathbb{C}\).
Teoremă. Fie \(f\in \mathbb{C}\left [ X \right ]\) un polinom de grad n, \(f= a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+...+a_{n}X^{n}\).
Dacă \(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\) sunt rădăcinile polinomului \(f\) având ordinele de multiplicitate \(p _{1},p _{2},...,p _{n}\in \mathbb{N}^{*}\),atunci \(f\) se poate descompune sub forma:
\(f= a_{n}\left ( X-\alpha _{1} \right )^{p_{1}}\left ( X-\alpha _{2} \right )^{p_{2}}...\left ( X-\alpha _{n} \right )^{p_{n}}\).