Lucrul mecanic

Lucrul mecanic efectuat de o forță constantă asupra unui corp este egal cu produsul dintre modulul forței și modulul deplasării în direcția și sensul forței.

$L=F·d$

Lucrul mecanic este o mărime scalară.

Unitatea de măsură a lucrului mecanic se numește Joule.

$\left[L\right]=\left[F\right]·\left[d\right]=1N·1m=1J \left(Joule\right)$

Un Joule reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forță de 1N ce își deplasează punctul de aplicație pe distanța de 1m în direcția și sensul forței.

Trebuie remarcat faptul că definiția lucrului mecanic se referă la o forță constantă. Pentru a exista lucru mecanic este necesar să existe și deplasare.

Pentru determinarea lucrului mecanic deplasarea trebuie luată în direcția și sensul forței sau trebuie luată în considerare doar componenta forței pe direcția paralelă cu deplasarea. Rezultă de aici că dacă deplasarea este în sens opus forței lucrul mecanic este negativ, iar dacă deplasarea este perpendiculară pe forță atunci lucrul mecanic este nul.

Lucrul mecanic al forței de frecare este negativ, iar lucrul mecanic al greutății și al reacțiunii normale este nul la deplasarea orizontală.

Având în vedere faptul că atât forța cât și deplasarea sunt vectori, lucrul mecanic al unei forțe constante poate fi definit ca produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul deplasare.

$L=\stackrel{\rightharpoonup }{F}·\stackrel{\rightharpoonup }{d}$

sau

$L=Fd\cos \left(\alpha \right)$

unde α reprezintă unghiul dintre direcția forței și direcția deplasării.

Dacă lucrul mecanic este pozitiv, el generează mișcare și se numește lucru mecanic motor, iar forța ce îl determină se numește forță motoare (Ex.: lucrul mecanic al forței de tracțiune, lucrul mecanic al greutății la căderea corpurilor, etc.). Dacă lucrul mecanic este negativ se numește lucru mecanic rezistent, iar forța ce îl generează se numește forță rezistentă (Ex.: lucrul mecanic al forței de frecare, lucrul mecanic al greutății la mișcarea corpurilor în sus, etc.).

Forțe conservative

În general lucrul mecanic depinde de drumul parcurs de corp. Există, însă, forțe a căror lucru mecanic nu depinde de drumul parcurs ci numai de poziția inițială și poziția finală a corpului. Lucrul mecanic al forțelor gravitaționale, al forțelor elastice, al forțelor electrice și al forțelor magnetice este conservativ, adică nu depinde de drumul parcurs. Observăm că este vorba de câmpuri de forțe.

În cazul lucrului mecanic al greutății putem demonstra că acesta are aceeași valoare atât la căderea liberă cât și la alunecarea pe un plan înclinat.

Dacă corpul se deplasează sub acțiunea greutății de la A la B, observăm că forța de greutate și deplasarea sunt paralele, deci:

$L=Gh=mgh$

Dacă corpul se deplasează de la A la C, atunci generează mișcare doar componenta greutății ce este paralelă cu planul înclinat:

$G_x=G\sin \left(\alpha \right)=mgsin\left(\alpha \right)$

deplasarea determinată în funcție de înălțime și ungiul α este:

$l=\frac{h}{\sin \left(\alpha \right)}$

Calculând lucrul mecanic rezultă:

$L=G_{x}l=mgsin\left(\alpha \right)\frac{h}{\sin \left(\alpha \right)}=mgh$

Rezultă că lucrul mecanic al greutății nu depinde de drumul parcurs ci doar de poziția inițială și cea finală pe care o are corpul în câmpul de forțe.

Interpretarea geometrică a lucrului mecanic

Dacă reprezentăm grafic o forță constantă ce acționează asupra unui corp în funcție de poziția x rezultă următorul grafic:

Analizând graficul observăm că lucrul mecanic este echivalent cu aria cuprinsă între graficul forței și axa pozițiilor. Aria are forma unui dreptunghi, unde una dintre laturi este egală cu mărimea forței iar cealaltă cu mărimea deplasării.

Lucrul mecanic al forței elastice

Putem folosi afirmația de mai sus pentru calculul lucrului mecanic al unei forțe variabile. În cazul nostru calculăm lucrul mecanic al forței elastice ce apare într-un resort și care este dependentă de deformarea resortului. Presupunem că un resort, sub influența unei forțe deformatoare,  se deformează alungindu-se de la poziția 1 la poziția 2.

Reprezentând grafic forța elastică în funcție de poziție, luând ca origine poziția în care resortul nu este deformat, rezultă următorul grafic:

Observăm că deplasarea corpului este echivalentă cu alungirea resortului între punctele 1 și 2 și este:

$\Delta l=x_2-x_1$

iar forța elastică crește în sens negativ de la:

$F_{e1}=-k{x}_1$

la

$F_{e2}=-k{x}_2$

Forța elastică este o forță rezistentă și are sens opus alungirii, de aceea apare cu semnul minus.

Aria cuprinsă între graficul forței și axa pozițiilor are forma unui trapez și se calculează cu relația:

$A=\frac{\left(B+b\right)h}{2}$

Aplicând relația rezultă:

$L=\frac{\left(F_{e2}+F_{e1}\right)\Delta l}{2}=\frac{\left(-k{x}_2-k{x}_1\right)\left(x_2-x_1\right)}{2}=-\frac{k}{2}\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)$

Puterea mecanică

În calculul lucrului mecanic nu se ține cont de durata deplasării ci doar de mărimea forței și mărimea deplasării. Pentru a include în descrierea mișcării și durata deplasării este se introduce o nouă mărime fizică numită putere mecanică.

Puterea mecanică este mărmea fizică scalară egală cu raportul dintre lucrul mecanic și intervalul de timp necesar efectuării lui.

$P=\frac{L}{\Delta t}$

unitatea de măsură a puterii mecanice este:

$\left[P\right]=\frac{\left[L\right]}{\left[\Delta t\right]}=\frac{1J}{1s}=1W \left(Watt\right)$

Un Watt reprezintă puterea mecanică a unei forțe ce efectuează un lucru mecanic de 1J în unitatea de timp.

Putem scrie pentru puterea mecanică a unei forțe constante următoarea relație:

$P=\frac{L}{\Delta t}=\frac{Fd}{\Delta t}=F\frac{d}{\Delta t}=F{v}_m$

Randamentul

Puterea totală dezvoltată de forța motoare a unui motor nu se regăsește în întregime în creșterea cantității de mișcare a corpului. O parte din putere se disipă pentru învingerea forțelor de rezistență, iar o altă parte pentru funcționarea motorului. Vom putea spune despre puterea consumată următoarea relație:

$P_c=P_u+P_d+P_f$

Putem face aceeași afirmație despre lucrul mecanic efectuat într-un interval de timp:

$L_c=L_u+L_d+L_f$

Definim randamentul ca raportul dintre puterea utilă și puterea consumată. În situații reale, randamentul va fi întotdeauna mai mic decât unitatea.

$\eta =\frac{P_u}{P_c}=\frac{L_u}{L_c}<1$

Randamentul planului înclinat

Considerăm un corp ce se deplasează uniform în sus pe un plan înclinat sub acțiunea unei forțe motoare urcând până la înălțimea h:

Lucrul mecanic util se regăsește în deplasarea corpului de la baza planului până la vârful acestuia, adică în învingerea forței de greutate:

$L_u=mgh$

Lucrul mecanic consumat va fi mai mare deoarece forța motoare trebuie să învingă și forța de frecare și componenta greutății paralelă cu planul:

$L_c=\left[mg\sin \left(\alpha \right)+\mu mg\cos \left(\alpha \right)\right]\frac{h}{\sin \left(\alpha \right)}$

Rezultă:

$\eta =\frac{1}{1+\text{μ}ctg\left(\alpha \right)}<1$

Energia mecanică

Energia mecanică este o mărime scalară ce descrie capacitatea unui sistem sau a unui corp de a efectua lucru mecanic.

Variația energiei mecanice a unui sistem mecanic, între două stări ale sale, este egală cu lucrul mecanic schimbat de sistem cu mediul exterior.

Dacă un corp primește lucru mecanic atunci energia lui crește, iar dacă el cedează lucru mecanic atunci energia lui scade.

Există două tipuri de energie mecanică:

- energia cinetică ce descrie starea de mișcare a unui corp sau sistem mecanic;

- energia potențială ce descrie poziția sau interacțiunea corpului cu un câmp de forțe;

Energia mecanică este o mărime de stare în timp ce lucrul mecanic este o mărime proces sau de transformare.

Energia mecanică se măsoară în Joule.

Energia cinetică

Considrăm un corp ce se află sub acțiunea mai multor forțe, ca și cel din figură.

Lucrul mecanic total efctuat de forțele ce acționează asupra corpului poate fi scris ca suma vectorială a forțelor înmulțită cu deplasarea efectuată de corp.

$L_t=\left(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F_f}\right)\overrightarrow{d}$

Ținând cont de principiul fundamental al mecanicii și de cel al suprapunerii forțelor:

$L_t=m\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}$

unde a reprezintă accelerația corpului, iar d deplasarea lui între punctele A și B.

Deoarece atât accelerația cât și deplasarea au aceeași direcție și același sens putem folosi mai departe mărimile sau medulele lor.

$a=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}$

$d=v_m\Delta t$

unde

$v_m=\frac{v_2+v_1}{2}$

Înlocuind relațiile în formula lucrului mecanic total și efectuând calcule rezultă:

$L_t=\frac{m{v_2}^2}{2}-\frac{m{v_1}^2}{2}$

Observăm că lucrul mecanic efectuat de forțele ce acționează asupra corpului considerat este descris de diferența a două valori ale aceleiași mărimi, una ce caracterizează poziția finală a corpului și cealaltă ce caracterizează poziția inițială a corpului.

Energia cinetică a unui corp, calculată în raport cu un sistem de referință inerțial, este mărimea fizică scalară egală cu semiprodusul dintre masa și pătratul vitezei corpului.

$E_c=\frac{m{v}^2}{2}$

Trebuie remarcat faptul că energia cinetică este o marime relativă, dependentă de sistemul de referință ales, deoarece viteza este și ea o mărime relativă, dependentă de sistemul de referință ales.

Putem scrie lucrul mecanic schimbat de corp cu mediul exterior astfel:

$L_t=E_{cB}-E_{cA}$

sau

$L_t=\Delta E_c$

Relația se numește Teorema variației energiei cinetice.

Variația energie cinetice a unui corp între două poziții este egală cu lucrul mecanic total efectuat de forțele ce acționează asupra corpului între cele două poziții.

Energia potențială

Energia potențială descrie poziția corpului într-un câmp de forțe conservativ. Mărimea ei depinde de câmpul de forțe ce acționează asupra corpului studiat.

Energia potențială descrie capacitatea unui cor p de a efectua lucru mecanic datorită interacțiunii cu un câmp de forțe.

Energia potențială gravitațională

Considerăm un corp ce se mișcă între două puncte A și B sub influența forței de greutate:

Lucrul mecanic efectuat de forța de greutate asupra corpului se poate scrie:

$L=mg\Delta h$

unde

$\Delta h=h-h_0$

sau

$L=-\left(mg{h}_0-mgh\right)$

Definim energia potențială gravitațională a unui corp ca fiind:

$E_p=mgh$

Unde h reprezintă înălțimea corpului față de un punct de referință arbitrar ales, de regulă față de suprafața pâmântului, unde considerăm energia potențială ca fiind egală cu zero.

Vom pute scrie în acest caz:

$L=-\left(E_{pf}-E_{pi}\right)$

sau

$L=-\Delta E_p$

Lucrul mecanic efectuat de un câmp de forțe conservativ asupra unui corp între două puncte ale câmpului este egal cu variația energiei potențiale a corpului între cele două puncte luată cu semn schimbat. Relația poartă numele de Teorema variației energiei potențiale.

Energia potențială elastică

Folosind teorema variației energiei potențiale și relația ce descrie lucrul mecanic al forței elastice:

$L=-\frac{k}{2}\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)$

putem afirma că energia potențială elastică a unui resort este descrisă de relația:

$E_p=\frac{k{x}^2}{2}$

unde x reprezintă alungirea resortului, iar k constanta elastică a acestuia.

Legea conservării energiei mecanice

Prin energia mecanică a unui corp sau sistem, la un moment dat, înțelegem suma dintre energia sa cinetică și energia sa potențială la acel moment dat.

$E=E_c+E_p$

Considerăm un corp ce se mișcă doar sub influența unor forțe conservative. Atunci putem scrie pentru acel corp atât teorema variației energiei cinetice cât și teorema variației energiei potențiale.

$$\begin{gathered} \Delta E_c=L_{cons} \\ \Delta E_p=-L_{cons} \end{gathered}$$

Adunăm cele două relații și putem scrie:

$E_{c}f+E_{pf} -\left(E_{ci}+E_{pi}\right)=0$

sau

$E_f-E_i=0 \Rightarrow \Delta E=0$

Dacă asupra unui corp acționează doar forțe conservative variația energiei mecanice a corpului este nulă.

Altfel spus:

Dacă un corp se mișcă doar sub influența unor forțe conservative energie sa mecanică rămâne constantă sau se conservă.

Dacă asupra corpului acționează și forțe neconservative atunci teorema variației energiei cinetice și cea a energiei potențiale se pot scrie:

$$\begin{gathered} \Delta E_c=L_{cons}+L_{necons} \\ \Delta E_p=-L_{cons} \end{gathered}$$

Rezultă:

$\Delta E=L_{necons}$

Adică:

Variația energiei mecanice a unui corp între două poziții este egală lucrul mecanic efectuat de forțele neconservative ce acționează asupra corpului între cele două poziții.

Putem extinde raționamentele de mai sus și asupra unor sisteme de corpuri mecanice.

Teorema variației impulsului

Pornind de la principiul fundamental al mecanicii:

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

și știind că:

$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}}{\Delta t}$

unde starea 2 reprezintă starea finală iar starea 1 pe cea inițială, rezultă:

$\overrightarrow{F}=\frac{m\overrightarrow{v_2}-m\overrightarrow{v_1}}{\Delta t}$

sau

$\overrightarrow{F}\Delta t=m\overrightarrow{v_2}-m\overrightarrow{v_1}$

Definim produsul dintre masa și viteza unui corp la un moment dat ca fiind impulsul corpului sau cantitatea de mișcare.

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$

Impulsul se măsoară în Ns.

Definim de asemnea produsul dintre forța rezultantă ce acționează asupra unui corp și durata acțiunii forței ca fiind impulsul forței.

$\overrightarrow{H}=\overrightarrow{F}\Delta t$

Rezultă teorema variației impulsului:

$\overrightarrow{H}=\Delta \overrightarrow{p}$

Impulsul forței aplicate unui corp este egal cu variația impulsului corpului.

Dacă facem același raționament pentru un sistem de două corpuri ce interacționează:

Costatăm mai întâi că forțele de interacțiune dintre cele două corpuri sunt egale și opuse ca sens.

Scriind teorema variației impulsului pentru fiecare corp în parte:

$\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{f_{21}}\right)\Delta t=\Delta \overrightarrow{p_1}$

$\left(\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{f_{12}}\right)\Delta t=\Delta \overrightarrow{p_2}$

și adunând cele două relații, forțele de interacțiune dintre cele două corpuri se reduc și rămâne:

$\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)\Delta t=\Delta \overrightarrow{p_t}$

sau

$\overrightarrow{F_{ext}}\Delta t=\Delta \overrightarrow{p_t}$

Impulsul forțelor externe ce acționează asupra sistemului de corpuri este egal cu variația impulsului total al sistemului de corpuri.

De aici rezultă că forțele interne ale sistemului nu pot modifica impulsul ci doar redistribui impulsul între componentele sistemului.

Legea conservării impulsului

Folosind teorema variației impulsului

$\overrightarrow{F_{ext}}\Delta t=\Delta \overrightarrow{p_t}$

Dacă

$\overrightarrow{F_{ext}}=0 \Rightarrow \Delta \overrightarrow{p}=0 \Rightarrow \overrightarrow{p}=\overrightarrow{const.}$

adică atunci când rezultanta forțelor externe ce acționează asupra unui sistem de corpuri este nulă, impulsul total al sistemului este constant sau impulsul total al sistemului se conservă.

Utilitatea legilor de conservare

Dinamica și cinematica ajută la descrierea completă a mișcării mecanice.

Pornind de la studiul cauzelor mișcării cu ajutorul dinamicii se deduce accelerația și de acolo cu ajutorul cinematicii se poate deduce legea de mișcare.

Dezavantajul folosirii acestei căi este acela că trebuie cunoscute și determinate toate mărimile ce caracterizează mișcarea.

Prin intermediul legilor de conservare se pot determina mult mai ușor unele caracteristici ale mișcării, cum ar fi viteza, poziția, impulsul, etc.