Teorema variaţiei impulsului. Legea de conservare a impulsului.

În cea de-a cincia lecție despre legi de conservare în mecanică vom introduce noțiunea de impuls și vom discuta despre legea de conservare a impulsului.

Întâi să introducim noțiunea de impulsul forței, notată cu H, care e definită ca produsul dintre forța F ce acționează asupra unui corp și intervalul de timp ΔT în care această forță acționează.

Datorită ecuației fundamentale a dinamicii, forța poate fi scrisă ca produsul dintre masă și accelerație.

Accelerația este la rândul ei definită în cinematică ca variația vectorului viteză în raport cu intervalul de timp în care se produce această variație.

Rezultă că putem scrie impulsul forței H ca fiind M masa mulțită cu variația vitezei.

Sau mai putem grupa acești termeni și scrie că H este egală cu variația produsului dintre masă și viteză pentru că masa corpului nu variază în timp.

Deci masă o putem pune atât în interiorul variației cât și în exterior fiind o constantă.

Numai viteza V variază în timp.

Deci avem o relație intermediară pentru impulsul forței.

Utilitatea practică a impulsului forței vine din faptul că forța uneori nu poate fi măsurată.

În special atunci când ea acționează un interval delta-t de timp foarte scurt.

Spre exemplu, în ciocnirea bilelor de biliard ea are loc aproape instantaneu.

Deci acțiunea forței de interacțiune în timpul ciocnirii bilelor se petrece într-un timp delta-t foarte mic.

Și este dificil din această cauză să se măsoare forța F exercitată la ciocnire.

Dar masele și vitezele bilelor atât înainte cât și după ciocnire sunt ușor de măsurat.

Deci acest produs M or V este mai ușor de măsurat în acest caz.

Și în concluzie, în aplicații practice, impulsul forței e mai ușor de folosit decât forța în sine.

Introducem impulsul unui corp ca fiind acest produs dintre masă și viteză.

Deci impulsul unui corp se notează cu P, este un vector și e definit ca produsul dintre masa corpului și viteza lui V.

Rezultă imediat teorema variației impulsului și anume, variația impulsului unui corp este egală cu impulsul forței aplicate corpului.

Deci această ecuație sau teoremă rezultă direct din formula echivalentă pentru impulsul forței aceasta și definiția impulsului.

Delta P este egal cu H.

O formulă alternativă pentru aceeași teoremă a variației impulsului este aceea că forța F este egală cu variația impulsului corpului în unitatea de timp,

folosind definiția impulsului forței în prima formă a teoremei variației impulsului.

Impulsul unui sistem de corpuri

Considerăm două corpuri, deci avem corpul C1 și corpul C2.

Între ele existând o pereche de forțe, deci două forțe de interacțiune,

notate cu F2-1, care este forța de acțiune a corpului 2 asupra corpului 1,

și cealaltă forță din interacțiune este F1-2, care este reacțiunea la F2-1 și este forța de interacțiune a corpului 1 asupra corpului 2.

De asemeni, în acest sistem de corpuri există forțe externe pe care le notăm cu F1 în cazul corpului 1,

deci asupra corpului 1 acționează o forță externă F1 și asupra corpului 2 acționează o altă forță notată cu F2, tot o forță externă.

Forțele externe au orientări și magnitudini arbitrare.

Putem scrie teorema variației impulsului pentru primul corp, deci teorema variației impulsului

pentru C1 se scrie așa

F1 plus F2-1 îmulți cu delta T este egal cu variația impulsului corpului 1,

deci M1 îmulți cu V1.

Pentru corpul C2 se scrie ca F2, forța externă F2 plus forța internă F1-2 îmulțită cu delta T

egal cu variația impulsului corpului 2, deci M2-V2.

Acum, deoarece forțele F2-1 și F1-2 sunt interacțiuni interne ale sistemului, ele vor fi egale și de semn opus,

deci avem următoarea ecuație, F1-2, vector bineînțeles, este egal cu minus F2-1.

De asemeni, introducem forța rezultantă a tuturor forțelor externe,

deci notăm cu F suma dintre F1 și F2,

deci F este rezultanta forțelor externe ce acționează asupra corpurilor din sistem.

Din aceste ecuații și din ecuațiile provenite din teorema variației impulsului,

putem face suma, deci putem scrie ca F1 plus F2-1 plus F2 plus F1-2,

îmulțit cu delta T, este egal cu delta M1V1 plus M2V2.

Dar suma dintre F2-1 și F1-2 este 0, deci când adunăm aceste două forțe obținem 0,

iar suma dintre F1 și F2 este forța rezultantă F,

deci avem ca F ori delta T este egal cu delta M1V1 plus M2V2.

În consecință, dacă notăm cu P impulsul total al sistemului,

definit ca P1 plus P2, suma impulsurilor celor două corpuri,

deci egal cu M1V1 plus M2V2,

obținem ca forța rezultantă îmulțită cu delta T este egală cu variația impulsului total.

Deci, într-un sistem de corpuri recuperăm teorema variației impulsului

pentru impulsul total și forța totală externă asupra sistemului.

Deci, forța externă rezultantă îmulțită cu delta T este variația impulsului total al sistemului.

Și acum ajungem la legea conservării impulsului,

care spune că dacă rezultanta forțelor externe, pe care tocmai am văzut-o, este nulă,

atunci impulsul total al sistemului este constant, deci se conservă.

Ea are o formă foarte simplă și anume că, exact cum am spus,

forța totală rezultantă a forțelor externe este egal cu 0,

implică că impulsul total, suma tuturor vectorilor de impuls ale corpurilor din sistem,

este constant sau variația lui este 0.

Este o lege care arată foarte simplu, este foarte simplă, dar are multe aplicații practice.

Spre exemplu, obținem propagarea, mișcarea oricărui avion sau rachetă cu motor,

deci nu ne referim aici la un planor sau ceva de genul ăsta,

dar un avion cu motoare sau cu motor se propagă exact datorită legii conservării impulsului.

Și anume, jetul de gaz ejectat de către motoare,

care are un impuls, să-l notăm cu Pj de la jet de gaz,

va fi egal, datorită legii conservării impulsului, cu impulsul avionului.

Deci, Pa este egal cu minus Pj de la jet.

Deci, propagarea avionului, mișcarea lui, se face exact prin acest efect,

și anume, motoarele ejectează cu viteză mare, cu un impuls foarte mare, aceste gaze,

și prin legia conservării impulsului, avionul sau racheta va primi la rândul său un impuls de sens contrar, deci înainte.

Același efect îl vedem, spre exemplu, în reculul unei arme.

Ceea ce vedem în această a doua imagine este un pistol care trage un glont.

Glontele este trimis cu viteză mare în direcția înainte, deci acesta este impulsul glontelui,

și atunci, datorită legii conservării impulsului, arma va avea un recul în direcția opusă,

deci aceasta va fi impulsul pistolului.

Bineînțeles, impulsul pistolului este egal și de sens opus cu impulsul glontelui.

Ca să facem un scurt exercițiu, să presupunem că avem un caz tipic, ca de exemplu masa pistolului este jumătate de kilogram,

masa glontelui, care de obicei e mult mai mică, o luăm 5 grame,

și viteza glontelui, care tipic e ceva de genul 400 de metri pe secundă.

Din legea de conservare a impulsului obținem că masa pistolului mulțită cu viteza pistolului

este egală cu masa glontelui mulțită cu viteza glontelui.

Această ecuație s-a obținut din proiectarea pe o axă OX, deci alegem o axă OX paralelă cu axa pistolului,

pe care proiectăm ecuația vectorială și obținem această ecuație între magnitudine vectorilor și mase.

Deci obținem că viteza pistolului este egală cu masa glontelui împărțită la masa pistolului mulțită cu viteza glontelui.

Folosind acele valori pe care le-am luat, obținem că viteza de recula pistolului este egală cu masa glontelui,

adică 5 ori 10 la minus 3 kilograme împărțit la masa pistolului, care este 5 ori 10 la minus 1 kilograme.

Notația științifică folosită aici ca 10 la minus 3, 10 la minus 1, a fost explicată în prima lege de cinematică,

mulțită cu viteza pistolului, care este 400 de metrii pe secundă.

Deci obținem, 5 cu 5 se simplifică, 10 la minus 1 devine 10 la plus 1, adus la numitor, deci avem 10 la minus 2 mulțit cu 400.

Deci obținem o viteză de recula pistolului de 4 metrii pe secundă, care este o viteză semnificativă,

motiv pentru care cineva care ține în mână pistolul și execută această tragere, va simți această forță sau acest impuls de recul.