Anexă: discuţie despre utilitatea legilor de conservare.

În această anexă la cea de-a cincea și ultima lecție despre legele de conservare de mecanică,

să discutăm un pic despre importanța acestor legi de conservare, în particular a energiei și a impulsului.

Cinematica și dinamica ne dau o descriere completă a proprietăților mecanice a oricărui sistem de corpuri,

cuplând ecuațiile de mișcare, în particular ecuația fundamentală a dinamicii, numită ecuația de mișcare, care stabilește

relația dintre poziție și timp, din care apoi se pot deduce toți ceilalți parametri cinematici, precum viteza și accelerația,

și ecuația fundamentală a dinamicii, care stabilește cauzele acestei cinematici, prin ecuația ce stabilește

raportul dintre forțe și cinematică, prin vectorul accelerației.

Acest cuplu de ecuații și toate ecuațiile ce se deduc din ele, descriu complet mecanica oricărui sistem de corpuri.

Și atunci, întrebarea care se pune este de ce avem nevoie de aceste legi de conservare.

Mecanica e completă prin cinematică și dinamică, prin cele două componente ale ei, cinematica și dinamică,

și poate părea că introducerea energiei și impulsului și a legilor lor de conservare nu este neapărat necesară.

Pentru a exemplifica acest lucru, să considerăm un exemplu simplu care l-am făcut în cea de-a patra lecție de legi de conservare,

în care am studiat aruncarea liberă a unui corp pe orizontal.

Deci am considerat un corp care este aluncat pe orizontală cu viteza V0, viteza inițială,

care va cădea pe suprafața pământului, descriind o mișcare de cădere.

Și vroiam să calculăm viteza finală, V, în momentul în care corpul atingea suprafața pământului.

Am aplicat legea conservării energiei pentru acest corp și am obținut că energia în punctul A este egală cu energia în punctul B,

unde A este punctul inițial și B este punctul final.

Am scris de aici că mv0 pătrat împărțit la 2 plus mgh, unde h este înălțimea la care se află corpul în momentul inițial,

este egal cu mv pătrat pe 2.

Rezultă că viteza finală în punctul B este radical din mv0 pătrat plus 2gh.

Deci ar părea că aplicând legea conservării energiei obținem viteza finală.

Nu era chiar așa pentru că ne-am propus să obținem nu numai magnitudinea, dar și orientarea, adică unghiul alpha,

dintre viteza finală și orizontală.

Sau mai exact, dintre viteza v și componenta ei orizontală vx.

Pentru a obține unghiul alpha am scris că tangentă de alpha este egal cu vx, vy împărțit la vx.

După cum se vede este vy împărțit la vx, vy fiind componenta verticală.

Și pentru a putea obține această valoare a unghiului alpha am scris că vx este egal cu v0.

Deoarece nu avem nicio accelerație pe direcția orizontală, ceea ce este adevărat.

Nu continui demonstrația, ea este în lecția 4.

Dar acesta este un truc de fapt, pentru că în acest punct, ca să scriem această ecuație,

care ne-a permis noi apoi deducerea unghiului alpha,

de fapt noi am folosit atât legea fundamentală a dinamicii, cât și o lege a cinematicii.

Și mai exact, această ecuație simplă vine din două legi și anume,

din faptul că accelerația gravitațională este verticală.

Pentru acest motiv putem spune că ax este egal cu 0.

Dar noi putem spune că accelerația gravitațională este verticală și are anumită orientare și magnitudine

o formă particulară a legii fundamentale a dinamicii.

Mai exact, din faptul că g, greutatea sau forța gravitațională a unui corp,

este egală cu mg, unde g are o valoare 9,8 metri pe secundă la pătrat și o direcție verticală.

Deci am folosit această ecuație fundamentală pentru a spune că ax este egal cu 0.

Apoi, odată ce am stabilit că ax este egal cu 0, am folosit o ecuație,

legea vitezei care se deduce din ecuația de mișcare, care spune că viteza finală

este egală cu viteza inițială plus a, accelerația mulțit cu timpul, într-o mișcare constantă.

Și deoarece ax este egal cu 0, am putut spune că viteza finală pe direcția x este egală cu vz.

Deci am obținut că vx este egal cu vz.

În concluzie, am putut obține informația completă despre viteza finală a corpului,

atât magnitudinea cât și orientarea, folosind informații din dinamică și cinematică.

Ce am vrut să spun cu acest exemplu?

Am vrut să spun că cinematica și dinamică ne permite rezolvarea completă a oricărui caz.

Putem, evident, deriva viteza finală, atât mărimea cât ei, cât și magnitudinea ei, cât și orientarea,

din ecuațiile cinematice și dinamice.

Nu avem nevoie de legea conservării energiei.

Pe de altă parte, legea conservării energiei ne-a dat numai informație parțială.

În concluzie, se pare că energia și impulsul și legile lor de conservare sunt redundante,

adică oferă informație pe care deja o avem din cinematică și dinamică,

și incompletă, în sensul că nu putem deduce din legile de conservare

toată informația pe care o putem deduce din cinematică și dinamică.

Deci, atunci, de ce mai folosim aceste legi?

Răspunsul este foarte simplu.

Pentru că, în practică, de multe ori, atât cinematica cât și dinamica unui sistem de corpuri

nu pot fi obținute.

Ecoațiile fundamentale de mișcare și descrierea completă a forțelor ce acționează într-un sistem

de multe ori este foarte greu de obținut.

Ori, pur și simplu, nu putem obține aceste ecoații,

ori, în alte cazuri, chiar dacă le obținem, sunt foarte greu de rezolvat.

Chiar și dacă folosim aproximații, în multe cazuri practice, aceste ecoații nu pot fi rezolvate.

Din acest motiv, legile de conservare, de multe ori în situații practice, rezolvă problema,

măcar și parțial, bineînțeles, pentru că este foarte ușor, de multe ori,

de a stabili condiția în care energia și impulsul se conservă,

și anume că rezultanta forțelor externe asupra sistemului este zero.

Deci, în concluzie, de fiecare dată, când, în practică, sistemul nostru este atât de complicat,

încât ecoațiile fundamentale ale cinematicii și dinamicii, ori, pur și simplu, nu pot fi scrise,

sau, dacă sunt scrise, nu pot fi rezolvate, putem aranja în așa fel încât sistemul nostru să se afle

într-o situație în care suma forțelor externe să fie zero,

caz în care putem aplica legile de conservare a energiei și impulsului,

și nu am abordat noi la acest nivel, dar există și alte legi de conservare,

pe cum momentul cinetic total, sarcina electrică, și așa mai departe,

din care apoi să scoatem foarte ușor o mulțime de informații, chiar și incomplete,

dar multe informații despre sistemul nostru.

De aceea, legile de conservare sunt extrem de utile în multe cazuri practice complexe.