Lucrul mecanic. Forţe conservative. Cazuri particulare de lucru mecanic.

1,297 vizualizări · 39 voturi

Concepte: Forța Lucrul mecanic

Test: Test de evaluare pentru lucrul mecanic.

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

Lucrul mecanic

Lucrul mecanic efectuat de o forță constantă asupra unui corp este egal cu produsul dintre modulul forței și modulul deplasării în direcția și sensul forței.

$L = F \cdot d$

Lucrul mecanic este o mărime scalară.

Unitatea de măsură a lucrului mecanic se numește Joule.

$[L] = [F] \cdot [d] = 1 N \cdot 1 m = 1 J (J o u l e)$

Un Joule reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forță de 1N ce își deplasează punctul de aplicație pe distanța de 1m în direcția și sensul forței.

Trebuie remarcat faptul că definiția lucrului mecanic se referă la o forță constantă. Pentru a exista lucru mecanic este necesar să existe și deplasare.

Pentru determinarea lucrului mecanic deplasarea trebuie luată în direcția și sensul forței sau trebuie luată în considerare doar componenta forței pe direcția paralelă cu deplasarea. Rezultă de aici că dacă deplasarea este în sens opus forței lucrul mecanic este negativ, iar dacă deplasarea este perpendiculară pe forță atunci lucrul mecanic este nul.

Lucrul mecanic al forței de frecare este negativ, iar lucrul mecanic al greutății și al reacțiunii normale este nul la deplasarea orizontală.

Având în vedere faptul că atât forța cât și deplasarea sunt vectori, lucrul mecanic al unei forțe constante poate fi definit ca produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul deplasare.

$L = \overset{⇀}{F} \cdot \overset{⇀}{d}$

sau

$L = F d \cos (α)$

unde α reprezintă unghiul dintre direcția forței și direcția deplasării.

Dacă lucrul mecanic este pozitiv, el generează mișcare și se numește lucru mecanic motor, iar forța ce îl determină se numește forță motoare (Ex.: lucrul mecanic al forței de tracțiune, lucrul mecanic al greutății la căderea corpurilor, etc.). Dacă lucrul mecanic este negativ se numește lucru mecanic rezistent, iar forța ce îl generează se numește forță rezistentă (Ex.: lucrul mecanic al forței de frecare, lucrul mecanic al greutății la mișcarea corpurilor în sus, etc.).

Forțe conservative

În general lucrul mecanic depinde de drumul parcurs de corp. Există, însă, forțe a căror lucru mecanic nu depinde de drumul parcurs ci numai de poziția inițială și poziția finală a corpului. Lucrul mecanic al forțelor gravitaționale, al forțelor elastice, al forțelor electrice și al forțelor magnetice este conservativ, adică nu depinde de drumul parcurs. Observăm că este vorba de câmpuri de forțe.

În cazul lucrului mecanic al greutății putem demonstra că acesta are aceeași valoare atât la căderea liberă cât și la alunecarea pe un plan înclinat.

Dacă corpul se deplasează sub acțiunea greutății de la A la B, observăm că forța de greutate și deplasarea sunt paralele, deci:

$L = G h = m g h$

Dacă corpul se deplasează de la A la C, atunci generează mișcare doar componenta greutății ce este paralelă cu planul înclinat:

$G_{x} = G \sin (α) = m g s i n (α)$

deplasarea determinată în funcție de înălțime și ungiul α este:

$l = \frac{h}{\sin (α)}$

Calculând lucrul mecanic rezultă:

$L = G_{x} l = m g s i n (α) \frac{h}{\sin (α)} = m g h$

Rezultă că lucrul mecanic al greutății nu depinde de drumul parcurs ci doar de poziția inițială și cea finală pe care o are corpul în câmpul de forțe.

Interpretarea geometrică a lucrului mecanic

Dacă reprezentăm grafic o forță constantă ce acționează asupra unui corp în funcție de poziția x rezultă următorul grafic:

Analizând graficul observăm că lucrul mecanic este echivalent cu aria cuprinsă între graficul forței și axa pozițiilor. Aria are forma unui dreptunghi, unde una dintre laturi este egală cu mărimea forței iar cealaltă cu mărimea deplasării.

Lucrul mecanic al forței elastice

Putem folosi afirmația de mai sus pentru calculul lucrului mecanic al unei forțe variabile. În cazul nostru calculăm lucrul mecanic al forței elastice ce apare într-un resort și care este dependentă de deformarea resortului. Presupunem că un resort, sub influența unei forțe deformatoare, se deformează alungindu-se de la poziția 1 la poziția 2.

Reprezentând grafic forța elastică în funcție de poziție, luând ca origine poziția în care resortul nu este deformat, rezultă următorul grafic:

Observăm că deplasarea corpului este echivalentă cu alungirea resortului între punctele 1 și 2 și este:

$Δ l = x_{2} - x_{1}$

iar forța elastică crește în sens negativ de la:

$F_{e 1} = - k x_{1}$

la

$F_{e 2} = - k x_{2}$

Forța elastică este o forță rezistentă și are sens opus alungirii, de aceea apare cu semnul minus.

Aria cuprinsă între graficul forței și axa pozițiilor are forma unui trapez și se calculează cu relația:

$A = \frac{(B + b) h}{2}$

Aplicând relația rezultă:

$L = \frac{(F_{e 2} + F_{e 1}) Δ l}{2} = \frac{(- k x_{2} - k x_{1}) (x_{2} - x_{1})}{2} = - \frac{k}{2} ({x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2})$

Deschide pagina de teorie: Lucrul mecanic. Forţe conservative. Cazuri particu... →

În prima lecție despre legi de conservare în mecanică vom vorbi despre noțiunile de lucru mecanic și forțe conservative.

Noțiunea de lucru mecanic este foarte aproape de sensul usual întâlnit în viața de zi cu zi al cuvântului lucru sau dacă doriți muncă sau efort.

Ea implică un om sau o mașină ce acționează asupra unui corp cu o forță F pentru a provoca o anumită deplasare a corpului, pe care o notăm cu D.

Deci definiția lucrului mecanic este următoare.

Lucrul mecanic efectuat de o forță constantă asupra unui corp este produsul dintre modulul forței și distanța parcursă de corp pe direcția și în sensul forței ca urmare a acțiunii ei.

Câteva comentarii în legătură cu această definiție, dar înainte să dăm ecuația lucrului mecanic ce rezultă din această definiție.

Deci lucrul mecanic este produsul dintre forță și deplasarea de produsă de acea forță.

Comentariile sunt următoare.

Lucrul mecanic este definit aici pentru o forță constantă.

Bineînțeles, va exista un lucru mecanic și pentru forțe ce variază în timp sau cu deplasarea.

Vom vorbi despre acest caz puțin mai târziu.

Celălalt comentariu se referă la partea a doua subliniată în această definiție

și anume că deplasarea D trebuie să fie în sensul forței F

sau viceversa forța F trebuie să fie în sensul deplasării.

Altfel lucrul mecanic va fi 0.

Ce vreau să spun cu asta?

Spre exemplu, dacă avem o altă forță F2 ce acționează asupra acelui ași corp,

deși corpul se deplasează, lucrul mecanic al forței F2 este egal cu 0

pentru că această forță F2, fiind perpendiculară pe deplasarea corpului,

nu ar fi putut produce această deplasare.

Corpul se deplasează, dar cauza deplasării trebuie să fie alta.

În cazul acesta, forța F.

În consecință, lucrul mecanic al forței F2 este 0.

Ea nu produce o deplasare.

În general, fără deplasare nu există lucruri mecanice.

Spre exemplu, dacă împingeți un perete cu o anumită forță,

dar peretele nu se mișcă, nu ați efectuat un lucru mecanic.

O altă consecință, după cum se vede din acest desen,

dacă forța este perpendiculară pe deplasare, lucrul mecanic este 0.

În general, forțele sunt de două tipuri,

din punctul de vedere al consecințelor lor.

Putem avea forțe motoare, precum forța F în acest desen,

care sunt forțele ce produc deplasarea.

Putem, de asemenea, avea forțe rezistente,

precum o forță de frecare.

Deci, dacă corpul nostru și suprafața pe care se află

au o forță de frecare, ce acționează între ele,

atunci forța de frecare este o forță rezistentă.

Ea se opune deplasării.

Lucrul mecanic al forței motoare se numește lucrul mecanic motor

și este luat cu semn pozitiv.

Lucrul mecanic al unei forțe rezistente,

precum forța de frecare în cazul nostru,

se numește lucrul mecanic rezistent

și este luat cu semn negativ.

Deci, lucrul mecanic al forței F în cazul nostru este pozitiv

și lucrul mecanic al forței de frecare este negativ.

Să considerăm un exemplu simplu.

Un corp de masă M care este tractat de o forță F

ce face un unghi alfa cu suprafața orizontală.

Astfel încât el se deplasează cu accelerație zero.

Deci are viteză constantă și obținem o deplasare

datorită acestei forțe motoare F.

Dorim să calculăm lucrurile mecanice

ale tuturor forțelor ce acționează asupra corpului.

Forțele sunt, bineînțeles, forța motoare F,

greutatea corpului G,

forța normală care este reacțiunea suprafaței

la acțiunea corpului asupra ei prin greutatea corpului

și forța de frecare.

Scriem ecuația fundamentală a dinamicii

și anume că suma tuturor forțelor F plus N plus G plus FF,

forța de frecare, este egal cu MA,

care în cazul nostru este zero.

După cum am rezolvat de multe ori

în capitolul de mecanică newtoniană,

în probleme similare,

vom proiecta această ecuație

pe cele două axe de coordonate OX și OY

și obținem următoarele ecuații.

Pe axe OX obținem

F cos alpha

este egal cu forța de frecare.

Pe axe OY avem

că forța normală plus F sin alpha,

proiecția forței F pe OY,

este egal cu G, care este MG.

Din prima ecuație rezultă că

F cos alpha este egal cu mu N.

Din cea de-a doua ecuație rezultă că

N este egal cu MG minus F sin alpha.

Cuplând cele două ecuații

obținem ecuația pentru forța F,

care este mu MG

împărțit la cos alpha

minus mu sin alpha.

Acum suntem pregătiți să

calculăm lucrurile mecanice.

În primul rând, lucrurile mecanice

ale forțelor N, G și a componentei FY

vor fi egale cu 0 prin definiție

pentru că ele sunt perpendiculare

pe deplasarea produsă de.

Deci, L, lucrul mecanic al lui N,

este egal cu lucrul mecanic al lui G,

este egal cu lucrul mecanic al lui FY

și toate sunt egale cu 0.

Nu produc deplasare, deși corpul se deplasează.

Rămân forțele Fx și Ff.

Doar componenta orizontală, bineînțeles, Fx,

va efectua un lucru mecanic.

Acesta este lucrul mecanic motor,

deci LFx va fi mai mare ca 0,

pe când lucrul mecanic al forței de frecare

este un lucru mecanic rezistent,

el se opune deplasării

și va fi mai mic decât 0.

Putem calcula direct,

LFx este egal cu

Fx mulțit cu D.

Deci este Fcosα mulțit cu D.

Și în concluzie putem scrie că

lucrul mecanic al forței F,

care se datorează doar componentei ei

orizontale, este egal cu

minus lucrul mecanic al forței de frecare

și este egal cu

μMgD

împărțit la 1 minus

μtgα.

Și în felul acesta am calculat lucrurile mecanice

ale tuturor forțelor implicate.

Un ultim comentariu.

Dacă forța C efectuează lucrul mecanic

face un unghi α cu deplasarea,

precum avem în acest exemplu,

lucrul mecanic se calculează

folosind componenta forței de-a lungul deplasării,

exact cum am făcut noi.

Deci lucrul mecanic al forței F

este egal cu lucrul mecanic al

componentei de-a lungul deplasării, Fx.

Deci, în cazul general,

va fi F, forța F

îmulțită cu deplasarea, îmulțită cu

cosinusul unghiului dintre ele.

Dintre forța motoare și

deplasarea produsă de ea.

În general, lucrul mecanic efectuat de o forță F

pentru a deplasa un corp între două puncte

A și B, deci avem două puncte

A și B și forța F

deplasează corpul

de la punctul A la punctul F.

În general, lucrul mecanic efectuat

depinde de drumul ales. Dacă alegem alt drum

sau altă traiectorie,

obținem altă valoare a lucrului mecanic.

Deoarece, bineînțeles, drumul este diferit pe traiectorii diferite.

Există însă forțe, numite forțe

conservative, pentru care lucrul mecanic

efectuat nu depinde

de acest drum sau de această traiectorie.

Mai precis, el depinde doar de poziția

punctului inițial și a punctului final.

Și nu de traiectoria luată între cele două puncte.

Exemple sunt forțele gravitaționale

sau greutatea,

forța și forța elastică.

Pentru a da un exemplu,

să considerăm un corp de masă M

care poate ajunge

din punctul A pe suprafață orizontală

având două traiectorii.

Prima este traiectoria verticală

de-a lungul segmentului AB

cea de-a doua de-a lungul segmentului AC

pe un plan înclinat

pe care presupunem că nu există frecare.

Calculăm cele două lucruri mecanice.

Lucrul mecanic al greutății G

pe traiectoria AB

este egal cu G ori AB.

Adică este egal cu MG, greutatea,

înmulțită cu H

înălțimea

sau înălțimea la care se află

punctul A față de punctul B.

Pe cel de-a doilea drum, lucrul mecanic al greutății

deci pe drumul AC

este egal cu G

înmulțit cu sinus de alfa

deoarece am spus că

întotdeauna trebuie să considerăm

componenta forței motoare de-a lungul deplasării

deci deplasarea

noastră este de-a lungul planului

înclinat, acesta este unghiul alfa

deci componenta forței motoare care este G

de-a lungul deplasării va fi

aceasta care este G

sinus de alfa, deci G sinus de alfa

mulțit cu AC care este

L, lungimea planului inclinat

dar L este egal cu H

împărțit la sinus de alfa

repet din nou, considerăm

că nu există frecare în acest caz

deci obținem că

acest lucru mecanic este egal cu

MG sinus de alfa

mulțit cu H împărțit la

sinus de alfa.

În concluzie, lucrul mecanic al greutății

este același pe ambele

traiectorii, AB și AC

și este egal cu

MGH

greutatea fiind un exemplu de

forță conservativă

valoarea lucrului mecanic este aceeași pe două

traiectorii diferite.

O proprietate particulară importantă

a forțelor conservative

este că

lucrul mecanic

pe o traiectorie închisă este 0

deci dacă plecăm dintr-un punct

A și ne deplasăm pe o traiectorie

oarecare, dar întorcându-ne tot în punctul

A, lucrul mecanic va fi 0.

Un exemplu foarte

simplu este cel al unui corp

considerăm un corp de masă M și greutate G

aruncat pe verticală

deci el urcă până la înălțimea H

și apoi coboară

înălțimea H.

Lucrul mecanic total al greutății este egal

cu suma dintre lucrul mecanic la urcare

și lucrul mecanic la coborâre.

La urcare, greutatea G

este forță rezistentă, ea se opune

mișcării corpului și deci lucrul

mecanic va fi minus MGH.

La coborâre,

greutatea are aceeași

direcție ca și

deplasarea corpului, deci este forță

motoare, ea ajută la deplasarea

sau cauzează deplasarea corpului și deci

lucrul mecanic va fi pozitiv, plus MGH.

În consecință, lucrul mecanic total

este 0.

Interpretarea geometrică a lucrului

mecanic spune că lucrul mecanic

al unei forțe F

ce produce o anumită deplasare

este egal cu area de sub

graficul funcției F de-a lungul

deplasării D. Pentru a exemplifica

cu cel mai simplu exemplu

posibil această ecuație, să considerăm

o forță constantă. Deci

acesta este graficul forței F care se

măsoară în newton ca funcție

de deplasarea D care se măsoară

în metrii în cazul în care forța este

constantă. Atunci funcția va fi o dreaptă

orizontală, deci funcția va lua o

valoare constantă, să spunem F0

în toate punctele deplasării care are

loc între punctele A și B. După cum

știm, lucrul mecanic al unei forțe constante

este F ori D. F

în cazul acesta, forța constantă, este 0.

F0 este înălțimea acestui

dreptunghi

și D este lungimea.

Deci, înălțimea ori lungimea.

Deci, lucrul mecanic în mod evident este

egal, într-adevăr, cu area

de sub graficul funcției F

ca funcție de D.

Bineînțeles, această ecuație este

dată, în general, nu numai pentru forțe constante

și o putem folosi

într-un caz

particular și anume pentru a calcula

lucrul forței elastice. Forța elastică

este

dependentă de deplasarea

produsă, deoarece este egală cu minus

forța deformatoare, după cum știm

din lecția despre forța

elastică și egală cu minus

constanta elastică mulțită cu vectorul

deplasare X. Deci, forța elastică este o

forță care nu e constantă, ci depinde de deplasarea

produsă. Dacă

reprezentăm graficul

forței elastice ca funcție

de deformarea sau deplasarea

produsă X, în cazul acesta

deplasarea este deformarea resortului.

Ea este dependentă

cu o dependență lineară

de această deformare. Și putem calcula lucrul

mecanic folosind această ecuație generală

ca fiind aria

graficului de sub funcție.

Deci, aria așurată.

Această

arie, această formă geometrică

este cea unui trapez dreptunghic

și din geometrie știm că aria

trapezului dreptunghic este

suma dintre

baza mare și baza mică

înmulțită cu înălțimea

și împărțită la 2.

În cazul nostru, baza mare

este valoarea

forței elastice în punctul X2.

FE în X2

plus baza mică care va fi valoarea

forței elastice în punctul X1

sau pentru deformarea sau deplasarea X1

împărțit la 2 înmulțit cu înălțimea

înălțimea H a trapezului

este X2-X1

și apoi înlocuim

forța elastică.

Deci obținem

minus KX2 minus KX1

împărțit la 2

înmulțit cu X2-X1

de unde rezultă că lucrul

mecanic al forței elastice

este egal cu minus K împărțit la 2

înmulțit cu X2-X1 pătrat.

Aceasta este o aplicație directă

a ecuației ce rezultă

din interpretarea geometrică a lucrului mecanic.

Deschide transcriptul lecției: Lucrul mecanic. Forţe conservative. Cazuri particu... →

Continuă cu testul

Test de evaluare pentru lucrul mecanic.

Comentarii (0)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

Niciun comentariu încă.