Transcript: Lucrul mecanic. Forţe conservative. Cazuri particulare de lucru mecanic.

În prima lecție despre legi de conservare în mecanică vom vorbi despre noțiunile de lucru mecanic și forțe conservative.
Noțiunea de lucru mecanic este foarte aproape de sensul usual întâlnit în viața de zi cu zi al cuvântului lucru sau dacă doriți muncă sau efort.
Ea implică un om sau o mașină ce acționează asupra unui corp cu o forță F pentru a provoca o anumită deplasare a corpului, pe care o notăm cu D.
Deci definiția lucrului mecanic este următoare.
Lucrul mecanic efectuat de o forță constantă asupra unui corp este produsul dintre modulul forței și distanța parcursă de corp pe direcția și în sensul forței ca urmare a acțiunii ei.
Câteva comentarii în legătură cu această definiție, dar înainte să dăm ecuația lucrului mecanic ce rezultă din această definiție.
Deci lucrul mecanic este produsul dintre forță și deplasarea de produsă de acea forță.
Comentariile sunt următoare.
Lucrul mecanic este definit aici pentru o forță constantă.
Bineînțeles, va exista un lucru mecanic și pentru forțe ce variază în timp sau cu deplasarea.
Vom vorbi despre acest caz puțin mai târziu.
Celălalt comentariu se referă la partea a doua subliniată în această definiție
și anume că deplasarea D trebuie să fie în sensul forței F
sau viceversa forța F trebuie să fie în sensul deplasării.
Altfel lucrul mecanic va fi 0.
Ce vreau să spun cu asta?
Spre exemplu, dacă avem o altă forță F2 ce acționează asupra acelui ași corp,
deși corpul se deplasează, lucrul mecanic al forței F2 este egal cu 0
pentru că această forță F2, fiind perpendiculară pe deplasarea corpului,
nu ar fi putut produce această deplasare.
Corpul se deplasează, dar cauza deplasării trebuie să fie alta.
În cazul acesta, forța F.
În consecință, lucrul mecanic al forței F2 este 0.
Ea nu produce o deplasare.
În general, fără deplasare nu există lucruri mecanice.
Spre exemplu, dacă împingeți un perete cu o anumită forță,
dar peretele nu se mișcă, nu ați efectuat un lucru mecanic.
O altă consecință, după cum se vede din acest desen,
dacă forța este perpendiculară pe deplasare, lucrul mecanic este 0.
În general, forțele sunt de două tipuri,
din punctul de vedere al consecințelor lor.
Putem avea forțe motoare, precum forța F în acest desen,
care sunt forțele ce produc deplasarea.
Putem, de asemenea, avea forțe rezistente,
precum o forță de frecare.
Deci, dacă corpul nostru și suprafața pe care se află
au o forță de frecare, ce acționează între ele,
atunci forța de frecare este o forță rezistentă.
Ea se opune deplasării.
Lucrul mecanic al forței motoare se numește lucrul mecanic motor
și este luat cu semn pozitiv.
Lucrul mecanic al unei forțe rezistente,
precum forța de frecare în cazul nostru,
se numește lucrul mecanic rezistent
și este luat cu semn negativ.
Deci, lucrul mecanic al forței F în cazul nostru este pozitiv
și lucrul mecanic al forței de frecare este negativ.
Să considerăm un exemplu simplu.
Un corp de masă M care este tractat de o forță F
ce face un unghi alfa cu suprafața orizontală.
Astfel încât el se deplasează cu accelerație zero.
Deci are viteză constantă și obținem o deplasare
datorită acestei forțe motoare F.
Dorim să calculăm lucrurile mecanice
ale tuturor forțelor ce acționează asupra corpului.
Forțele sunt, bineînțeles, forța motoare F,
greutatea corpului G,
forța normală care este reacțiunea suprafaței
la acțiunea corpului asupra ei prin greutatea corpului
și forța de frecare.
Scriem ecuația fundamentală a dinamicii
și anume că suma tuturor forțelor F plus N plus G plus FF,
forța de frecare, este egal cu MA,
care în cazul nostru este zero.
După cum am rezolvat de multe ori
în capitolul de mecanică newtoniană,
în probleme similare,
vom proiecta această ecuație
pe cele două axe de coordonate OX și OY
și obținem următoarele ecuații.
Pe axe OX obținem
F cos alpha
este egal cu forța de frecare.
Pe axe OY avem
că forța normală plus F sin alpha,
proiecția forței F pe OY,
este egal cu G, care este MG.
Din prima ecuație rezultă că
F cos alpha este egal cu mu N.
Din cea de-a doua ecuație rezultă că
N este egal cu MG minus F sin alpha.
Cuplând cele două ecuații
obținem ecuația pentru forța F,
care este mu MG
împărțit la cos alpha
minus mu sin alpha.
Acum suntem pregătiți să
calculăm lucrurile mecanice.
În primul rând, lucrurile mecanice
ale forțelor N, G și a componentei FY
vor fi egale cu 0 prin definiție
pentru că ele sunt perpendiculare
pe deplasarea produsă de.
Deci, L, lucrul mecanic al lui N,
este egal cu lucrul mecanic al lui G,
este egal cu lucrul mecanic al lui FY
și toate sunt egale cu 0.
Nu produc deplasare, deși corpul se deplasează.
Rămân forțele Fx și Ff.
Doar componenta orizontală, bineînțeles, Fx,
va efectua un lucru mecanic.
Acesta este lucrul mecanic motor,
deci LFx va fi mai mare ca 0,
pe când lucrul mecanic al forței de frecare
este un lucru mecanic rezistent,
el se opune deplasării
și va fi mai mic decât 0.
Putem calcula direct,
LFx este egal cu
Fx mulțit cu D.
Deci este Fcosα mulțit cu D.
Și în concluzie putem scrie că
lucrul mecanic al forței F,
care se datorează doar componentei ei
orizontale, este egal cu
minus lucrul mecanic al forței de frecare
și este egal cu
μMgD
împărțit la 1 minus
μtgα.
Și în felul acesta am calculat lucrurile mecanice
ale tuturor forțelor implicate.
Un ultim comentariu.
Dacă forța C efectuează lucrul mecanic
face un unghi α cu deplasarea,
precum avem în acest exemplu,
lucrul mecanic se calculează
folosind componenta forței de-a lungul deplasării,
exact cum am făcut noi.
Deci lucrul mecanic al forței F
este egal cu lucrul mecanic al
componentei de-a lungul deplasării, Fx.
Deci, în cazul general,
va fi F, forța F
îmulțită cu deplasarea, îmulțită cu
cosinusul unghiului dintre ele.
Dintre forța motoare și
deplasarea produsă de ea.
În general, lucrul mecanic efectuat de o forță F
pentru a deplasa un corp între două puncte
A și B, deci avem două puncte
A și B și forța F
deplasează corpul
de la punctul A la punctul F.
În general, lucrul mecanic efectuat
depinde de drumul ales. Dacă alegem alt drum
sau altă traiectorie,
obținem altă valoare a lucrului mecanic.
Deoarece, bineînțeles, drumul este diferit pe traiectorii diferite.
Există însă forțe, numite forțe
conservative, pentru care lucrul mecanic
efectuat nu depinde
de acest drum sau de această traiectorie.
Mai precis, el depinde doar de poziția
punctului inițial și a punctului final.
Și nu de traiectoria luată între cele două puncte.
Exemple sunt forțele gravitaționale
sau greutatea,
forța și forța elastică.
Pentru a da un exemplu,
să considerăm un corp de masă M
care poate ajunge
din punctul A pe suprafață orizontală
având două traiectorii.
Prima este traiectoria verticală
de-a lungul segmentului AB
cea de-a doua de-a lungul segmentului AC
pe un plan înclinat
pe care presupunem că nu există frecare.
Calculăm cele două lucruri mecanice.
Lucrul mecanic al greutății G
pe traiectoria AB
este egal cu G ori AB.
Adică este egal cu MG, greutatea,
înmulțită cu H
înălțimea
sau înălțimea la care se află
punctul A față de punctul B.
Pe cel de-a doilea drum, lucrul mecanic al greutății
deci pe drumul AC
este egal cu G
înmulțit cu sinus de alfa
deoarece am spus că
întotdeauna trebuie să considerăm
componenta forței motoare de-a lungul deplasării
deci deplasarea
noastră este de-a lungul planului
înclinat, acesta este unghiul alfa
deci componenta forței motoare care este G
de-a lungul deplasării va fi
aceasta care este G
sinus de alfa, deci G sinus de alfa
mulțit cu AC care este
L, lungimea planului inclinat
dar L este egal cu H
împărțit la sinus de alfa
repet din nou, considerăm
că nu există frecare în acest caz
deci obținem că
acest lucru mecanic este egal cu
MG sinus de alfa
mulțit cu H împărțit la
sinus de alfa.
În concluzie, lucrul mecanic al greutății
este același pe ambele
traiectorii, AB și AC
și este egal cu
MGH
greutatea fiind un exemplu de
forță conservativă
valoarea lucrului mecanic este aceeași pe două
traiectorii diferite.
O proprietate particulară importantă
a forțelor conservative
este că
lucrul mecanic
pe o traiectorie închisă este 0
deci dacă plecăm dintr-un punct
A și ne deplasăm pe o traiectorie
oarecare, dar întorcându-ne tot în punctul
A, lucrul mecanic va fi 0.
Un exemplu foarte
simplu este cel al unui corp
considerăm un corp de masă M și greutate G
aruncat pe verticală
deci el urcă până la înălțimea H
și apoi coboară
înălțimea H.
Lucrul mecanic total al greutății este egal
cu suma dintre lucrul mecanic la urcare
și lucrul mecanic la coborâre.
La urcare, greutatea G
este forță rezistentă, ea se opune
mișcării corpului și deci lucrul
mecanic va fi minus MGH.
La coborâre,
greutatea are aceeași
direcție ca și
deplasarea corpului, deci este forță
motoare, ea ajută la deplasarea
sau cauzează deplasarea corpului și deci
lucrul mecanic va fi pozitiv, plus MGH.
În consecință, lucrul mecanic total
este 0.
Interpretarea geometrică a lucrului
mecanic spune că lucrul mecanic
al unei forțe F
ce produce o anumită deplasare
este egal cu area de sub
graficul funcției F de-a lungul
deplasării D. Pentru a exemplifica
cu cel mai simplu exemplu
posibil această ecuație, să considerăm
o forță constantă. Deci
acesta este graficul forței F care se
măsoară în newton ca funcție
de deplasarea D care se măsoară
în metrii în cazul în care forța este
constantă. Atunci funcția va fi o dreaptă
orizontală, deci funcția va lua o
valoare constantă, să spunem F0
în toate punctele deplasării care are
loc între punctele A și B. După cum
știm, lucrul mecanic al unei forțe constante
este F ori D. F
în cazul acesta, forța constantă, este 0.
F0 este înălțimea acestui
dreptunghi
și D este lungimea.
Deci, înălțimea ori lungimea.
Deci, lucrul mecanic în mod evident este
egal, într-adevăr, cu area
de sub graficul funcției F
ca funcție de D.
Bineînțeles, această ecuație este
dată, în general, nu numai pentru forțe constante
și o putem folosi
într-un caz
particular și anume pentru a calcula
lucrul forței elastice. Forța elastică
este
dependentă de deplasarea
produsă, deoarece este egală cu minus
forța deformatoare, după cum știm
din lecția despre forța
elastică și egală cu minus
constanta elastică mulțită cu vectorul
deplasare X. Deci, forța elastică este o
forță care nu e constantă, ci depinde de deplasarea
produsă. Dacă
reprezentăm graficul
forței elastice ca funcție
de deformarea sau deplasarea
produsă X, în cazul acesta
deplasarea este deformarea resortului.
Ea este dependentă
cu o dependență lineară
de această deformare. Și putem calcula lucrul
mecanic folosind această ecuație generală
ca fiind aria
graficului de sub funcție.
Deci, aria așurată.
Această
arie, această formă geometrică
este cea unui trapez dreptunghic
și din geometrie știm că aria
trapezului dreptunghic este
suma dintre
baza mare și baza mică
înmulțită cu înălțimea
și împărțită la 2.
În cazul nostru, baza mare
este valoarea
forței elastice în punctul X2.
FE în X2
plus baza mică care va fi valoarea
forței elastice în punctul X1
sau pentru deformarea sau deplasarea X1
împărțit la 2 înmulțit cu înălțimea
înălțimea H a trapezului
este X2-X1
și apoi înlocuim
forța elastică.
Deci obținem
minus KX2 minus KX1
împărțit la 2
înmulțit cu X2-X1
de unde rezultă că lucrul
mecanic al forței elastice
este egal cu minus K împărțit la 2
înmulțit cu X2-X1 pătrat.
Aceasta este o aplicație directă
a ecuației ce rezultă
din interpretarea geometrică a lucrului mecanic.