Tetraedrul este un corp geometric determinat de patru puncte necoplanare.

Elementele unui tetraedru:

• 4 vârfuri: punctele A, B, C, D
• 6 muchii: segmentele [AB], [AC], [AD], [BC], [BD], [CD]
• 4 fețe (cele 4 triunghiuri formate).

Orice față a tetraedrului poate fi considerată bază.

Un tetraedru este o piramidă triunghiulară.

Piramidă triunghiulară regulată= piramidă cu baza triunghi echilateral și muchiile laterale congruente; fețele laterale ale unei piramide triunghiulare regulate sunt triunghiuri isoscele; într-o piramidă triunghiulară regulată, muchiile bazei nu sunt congruente cu muchiile laterale.

Tetraedru regulat= tetraedru cu toate muchiile congruente (muchiile bazei sunt congruente cu muchiile laterale); toate fețele unui tetraedru regulat sunt triunghiuri echilaterale.

Prin urmare, o piramidă triunghiulară regulată nu este același lucru cu tetraedru regulat.

Poligon regulat= poligon cu toate laturile și toate unghiurile congruente.

Piramidă regulată= piramidă cu baza poligon regulat și muchiile laterale congruente.

Piramidă triunghiulară regulată= piramida cu baza triunghi echilateral și muchiile laterale congruente.

VABC- piramidă triunghiulară regulată;

• Muchiile bazei: AB=AC=BC
• Muchiile laterale:VA=VB=VC
• Baza piramidei este triunghiul echilateral ABC.
• Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele.
• Punctul O este centrul cercului circumscris bazei.

Înălțimea unei piramide regulate este distanța de la vârful piramidei la centrul cercului circumscris bazei (în figura de mai sus, înălțimea piramidei este VO).

Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale (distanța de la vârful piramidei la o muchie a bazei); în figura de mai sus, apotema este VM (VM este perpendiculară pe BC).

• Important: triunghiul VBC este isoscel, prin urmare înălțimea VM este și mediană, deci punctul M este mijlocul segmentului [BC].

Apotema bazei este distanța de la centrul cercului circumscris bazei la o muchie a bazei; în figura de mai sus, AM este mediană în triunghiul echilateral ABC, deci AM este și înălțime; prin urmare, apotema bazei este OM.

Concluzii:

$$\begin{gathered} \boxed{ h=VO \\ a_p=VM \\ a_b=OM} \\ unde: \\ VO\perp OM \\ VM\perp BC \\ OM\perp BC \\ BM=MC. \end{gathered}$$

Apotema piramidei

Poligon regulat = poligon cu toate laturile și toate unghiurile congruente.

Piramidă regulată = piramidă cu baza poligon regulat și muchiile laterale congruente.

Piramidă patrulateră regulată= piramida cu baza pătrat și muchiile laterale congruente.

VABCD- piramidă patrulateră regulată;

• Muchiile bazei: AB=BC=CD=DA
• Muchiile laterale:VA=VB=VC=VD
• Baza piramidei este pătratul ABCD.
• Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele.
• Punctul O este centrul cercului circumscris bazei.

Înălțimea unei piramide regulate este distanța de la vârful piramidei la centrul cercului circumscris bazei (în figura de mai sus, înălțimea piramidei este VO).

Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale (distanța de la vârful piramidei la o muchie a bazei); în figura de mai sus, apotema este VM (VM este perpendiculară pe BC).

• Important: triunghiul VBC este isoscel, prin urmare înălțimea VM este și mediană, deci punctul M este mijlocul segmentului [BC].

Apotema bazei este distanța de la centrul cercului circumscris bazei la o muchie a bazei; în figura de mai sus, OM este mediană în triunghiul isoscel BOC, deci OM este și înălțime; prin urmare, apotema bazei este OM.

Concluzii:

$$\begin{gathered} \boxed{ h=VO \\ a_p=VM \\ a_b=OM} \\ unde: \\ VO\perp OM \\ VM\perp BC \\ OM\perp BC \\ BM=MC. \end{gathered}$$

Piramidă triunghiulară regulată= piramida cu baza triunghi echilateral și muchiile laterale congruente.

VABC- piramidă triunghiulară regulată;

• Muchiile bazei: AB=AC=BC
• Muchiile laterale:VA=VB=VC
• Baza piramidei este triunghiul echilateral ABC.
• Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele.
• Punctul O este centrul cercului circumscris bazei.

Înălțimea unei piramide regulate este distanța de la vârful piramidei la centrul cercului circumscris bazei (în figura de mai sus, înălțimea piramidei este VO).

Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale (distanța de la vârful piramidei la o muchie a bazei); în figura de mai sus, apotema este VM (VM este perpendiculară pe BC).

• Important: triunghiul VBC este isoscel, prin urmare înălțimea VM este și mediană, deci punctul M este mijlocul segmentului [BC].

Apotema bazei este distanța de la centrul cercului circumscris bazei la o muchie a bazei; în figura de mai sus, AM este mediană în triunghiul echilateral ABC, deci AM este și înălțime; prin urmare, apotema bazei este OM.

Concluzii:

$$\begin{gathered} \boxed{ h=VO \\ a_p=VM \\ a_b=OM} \\ unde: \\ VO\perp OM \\ VM\perp BC \\ OM\perp BC \\ BM=MC. \end{gathered}$$

Poligon regulat= poligon cu toate laturile și toate unghiurile congruente.

Piramidă regulată= piramidă cu baza poligon regulat și muchiile laterale congruente.

Piramidă patrulateră regulată= piramida cu baza pătrat și muchiile laterale congruente.

VABCD- piramidă patrulateră regulată;

• Muchiile bazei: AB=BC=CD=DA
• Muchiile laterale:VA=VB=VC=VD
• Baza piramidei este pătratul ABCD.
• Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele.
• Punctul O este centrul cercului circumscris bazei.

Înălțimea unei piramide regulate este distanța de la vârful piramidei la centrul cercului circumscris bazei (în figura de mai sus, înălțimea piramidei este VO).

Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale (distanța de la vârful piramidei la o muchie a bazei); în figura de mai sus, apotema este VM (VM este perpendiculară pe BC).

• Important: triunghiul VBC este isoscel, prin urmare înălțimea VM este și mediană, deci punctul M este mijlocul segmentului [BC].

Apotema bazei este distanța de la centrul cercului circumscris bazei la o muchie a bazei; în figura de mai sus, OM este mediană în triunghiul isoscel BOC, deci OM este și înălțime; prin urmare, apotema bazei este OM.

Concluzii:

$$\begin{gathered} \boxed{ h=VO \\ a_p=VM \\ a_b=OM} \\ unde: \\ VO\perp OM \\ VM\perp BC \\ OM\perp BC \\ BM=MC. \end{gathered}$$

Prisma este un corp geometric care are două baze- poligoane congruente, situate în plane paralele, iar muchiile laterale sunt congruente și paralele.

În funcție de poligonul de la bază, prismele pot fi: triunghiulare, patrulatere, hexagonale, etc.

ABCDEFA'B'C'D'E'F'- prismă hexagonală oblică;

• muchiile laterale sunt paralele și congruente: AA'=BB'=CC'=DD'=EE'=FF'
• bazele sunt hexagoanele ABCDEF și A'B'C'D'E'F'
• fețele laterale sunt paralelograme (ex: ABB'A').

Înălțimea unei prisme= segmentul cuprins între cele două baze și perpendicular pe acestea.

O prismă dreaptă este o prismă în care muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor (fețele laterale sunt dreptunghiuri).

O prismă regulată este o prismă dreaptă, cu bazele poligoane regulate.

Prisma triunghiulară regulată:

ABCA'B'C'- prismă triunghiulară regulată;

• muchiile laterale sunt paralele și congruente: AA'=BB'=CC'
• bazele sunt triunghiuri echilaterale congruente
• fețele laterale sunt dreptunghiuri congruente
• înălțimea prismei este oricare dintre segmentele [AA'], [BB'], [CC'].

Paralelipipedul dreptunghic este o prismă patrulateră dreaptă în care toate fețele sunt dreptunghiuri.

ABCDA'B'C'D'- paralelipiped dreptunghic;

• bazele sunt dreptunghiuri congruente: ABCD și A'B'C'D'
• fețele laterale sunt dreptunghiuri
• muchiile laterale sunt congruente: AA'=BB'=CC'=DD'
• diagonalele: [D'B], [DB'], [AC'], [A'C]

Dimensiunile paralelipipedului:

• lungimea: L= AB
• lățimea: l= BC
• înălțimea: h= AA'.

Formula de calcul pentru diagonala unui paralelipiped în funcție de dimensiunile sale:

$\boxed{ d=\sqrt{L^2+l^2+h^2} }$

Cubul este prisma dreaptă cu toate fețele pătrate.

ABCDA'B'C'D'- cub;

• toate fețele sunt pătrate congruente
• toate muchiile sunt congruente
• diagonalele: [D'B], [DB'], [AC'], [A'C]

Dacă notăm cu l muchia unui cub, atunci formula de calcul pentru diagonala cubului este:

$\boxed{ d=l\sqrt{3} }$