Piramida triunghiulară regulată (descriere și desfășurare)

În continuare vom discuta despre piramida triangulară regulată, însă mai înainte să vedem ce înseamnă piramida regulată, fie că este triangulară, patrulateră sau hexagonală.

O piramidă regulată este o piramidă cu baza poligon regulat și munchile laterale sunt congruente.

Atunci, ce înseamnă piramidă triangulară regulată?

Ei bine, este o piramidă cu baza triunghi, pentru că se numește triangulară, iar triunghiul trebuie să fie un poligon regulat, asta înseamnă că avem baza triunghi echilateral și munchile laterale sunt congruente.

Iată, piramida triangulară regulată este o piramidă cu baza triunghi echilateral și cu munchile laterale congruente.

Astfel, triunghiul MNP este triunghi echilateral, reprezentăm acest lucru pe figură, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele, deci QM este congruent cu QN, iar QP este și el congruent cu QN.

Cu alte cuvinte, munchile laterale sunt congruente, haideți să vedem, munchile laterale sunt QM, QN și QP și munchile bazei sunt și ele congruente, munchile bazei sunt MN, PN și MP.

Acum, fețele laterale sunt triunghiurile QMN, QNP și QPM, iar baza este dată de triunghiul MNP.

În continuare, o să facem trei construcții foarte importante într-o piramidă triangulară regulată și, de aceea, cel mai bine este să începem cu construcția piramidei.

Mai întâi, construim baza piramidei triangulare, deci triunghiul ABC, deși nu pare că este un triunghi echilateral, noi considerăm că avem aici un triunghi echilateral, știm că atunci când desenăm în plan corpuri geometrice, distanțele nu se păstrează.

Bun, după ce am trasat triunghiul de la bază, urmează să construim centrul cercului circumscris bazei.

Însă, cum noi avem un triunghi echilateral, noi știm că pentru a construi centrul cercului circumscris bazei, putem să construim, de exemplu, intersecția medianelor, adică centrul de greutate al triunghiului.

Și avem aici medianele acestui triunghi, punctul lor de intersecție, adică centrul de greutate, coincide și cu ortocentru, și cu punctul de intersecție al bisectoarelor, dar și cu centrul cercului circumscris bazei, pentru că, repet, avem un triunghi echilateral.

Și să notăm aici că avem punctul O, centrul cercului circumscris bazei.

Acum, în punctul O, pe planul ABC, vom ridica o perpendiculară, și pentru aceasta, să o trasăm cu altă culoare, deci ridicăm perpendiculara pe planul ABC.

O voi trasa punctat, pentru că ea va fi în interiorul piramidei, deci nu se vede, practic, așa cum nu se vede nici această muchia bazei AC.

Acum, vom trece aici vârful V, adică vârful piramidei, și acum unim vârful piramidei cu vârfurile bazei.

Avem, unim pe A cu V, unim apoi pe V cu B, pardon, bun, și mai unim pe V cu C, dar haide să-l unim mai bine, așa.

Și astfel, am obținut piramida VABC, să trec aici vârful deasupra.

VO este, de fapt, înălțimea acestei piramide.

Înălțimea unei piramide regulate este distanța de la vârful piramidei, da, la centrul cercului circumscris bazei.

VO este perpendiculară pe planul bazei, deci haide să notăm că aici avem înălțimea piramidei regulate, am numit-o VO.

Să construim acum apotema piramidei.

Ce este apotema piramidei? Este distanța de la vârful piramidei la o muchie a bazei.

Asta înseamnă că trebuie să ducem perpendiculara din V pe o muchie a bazei.

Și haide să ducem perpendiculara din vârful piramidei pe muchia BC.

În primul rând, ce reprezintă acest punct?

Păi aceasta este mediană în triunghiul ABC.

Asta înseamnă că acest punct, pe care îl notăm M, este, de fapt, mișlocul segmentului BC.

Avem că MC e congruent cu BM.

Cu alte cuvinte, dacă unim pe V cu M, ce vom obține?

Păi avem, de fapt, o mediană în triunghiul VBC, care este un triunghi isoscel cu vârful în V.

Păi asta înseamnă că VM este pe lângă mediană și înălțime.

Deci avem aici un unghi de 90 de grade.

Asta înseamnă că VM este distanța de la vârful piramidei la muchia bazei BC.

Deci VM este apotema în această piramidă.

Trecem aici, că VM e apotema piramidei, care, atenție, se notează a mic indice P.

Să construim acum apotema bazei,

care, iată, este distanța de la centrul cercului circumscris bazei la o muchie a bazei.

Deci trebuie să ducem perpendicularea din O, să o ducem tot pe muchia BC și vom găsi astfel apotema bazei.

Însă, înainte, ce este AM?

Păi AM este mediană în triunghiul echilateral ABC.

Bun, păi asta înseamnă că AM este și înălțime.

Cum punctele A, O și M sunt cum?

Sunt coliniare, înseamnă că OM, pe care, haideți să o trasăm,

OM este perpendiculară pe BC.

Deci OM reprezintă, de fapt, apotema bazei.

Trecem aici, OM este apotema bazei, care se notează astfel a mic indice B.

Și acum, haideți să facem în așa fel încât să nu se mai vadă medianele în acest triunghi ABC,

pentru că, oricum, ele trebuiau să fie trasate punctat.

Bun, și iată ce avem.

Avem că VO este înălțimea în piramida VABC, deci VO este perpendiculară pe planul bazei.

Asta înseamnă că și aici avem un ung de 90 de grade.

VO este perpendicular automat și pe OM.

Mai știm că VM este apotema piramidei, iar OM este apotema bazei.

Sigur, și OM trebuia trasată punctat, pentru că ea este în interiorul piramidei, însă o lăsăm așa să se vadă mai bine.

Ultima observație legată de notația unei piramide triangulare regulate.

Asemenea, piramidă nu o vom numi, oricum, de exemplu, piramida ABCV, ci vom începe cu vârful.

Deci, ea se numește piramida VABC. Începem întotdeauna cu vârful.

Să vedem acum desfășurarea unei piramide triangulare regulate.

Pentru aceasta, apăsăm pe butonul de deschidere.

Bun, aceasta este desfășurarea unei piramide triangulare regulate.

Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele, iar baza este triunghi echilateral.

Și acum să o închidem la loc.