Mișcarea oscilatorie. Mișcarea oscilatorie armonică. Pendulul elastic.

Mișcarea oscilatorie

Mișcarea oscilatorie este mișcarea unui sistem fizic care se repetă periodic și simetric față de o poziție de echilibru.

Mărimile ce caracterizează mișcarea oscilatorie sunt:

Perioada egală cu timpul necesar efectuării unei oscilații complete. Se notează cu T și se măsoară în secunde (s).

Frecvența egală numărul de oscilații efectuate în unitatea de timp. Se notează cu ν și se măsoară în Hertz (Hz).

$\nu =\frac{1}{T}$

Eleongația reprezintă distanța față de poziția de echilibru la un moment dat. Se notează cu y și se măsoară în metri (m)

Amplitudinea este elongația maximă. Se notează cu A și se măsoară în metri (m)

Mișcarea oscilatorie armonică este mișcarea oscilatorie efectuată sub acțiunea unei forțe de timp elastic:

$\overrightarrow{F}=-k\overrightarrow{y}$

Rezultă că:

$a\left(t\right)=-\frac{k}{m}y\left(t\right)$

Mișcarea oscilatorie poate fi descrisă matematic pornind de la proiecția pe o axă a mișcării circulare uniforme.

Legile ce descriu mișcarea oscilatorie armonică sunt:

$y\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right)$ - legea mișcării;

$v\left(t\right)=\omega A\cos \left(\omega t+{\phi }_0\right)$ - legea vitezei;

$a\left(t\right)=-{\omega }^{2}A\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right)$ - legea accelerației.

Pulsația mișcării oscilatorii armonice este dată de relația:

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

Perioada miscării oscilatorii armonice este dată de relația:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Pendulul elastic 

Pendulul elastic este un ansamblu format dintr-un resort de care este atârnat un corp de masă m, scos din poziția de echilibru și lăsat să oscileze liber. Pendulul elastic se comportă ca un oscilator liniar armonic.

Proprietățile mișcării oscilatorii armonice. Pendulul gravitațional.

Proprietățile mișcării oscilatorii armonice

Ecuațiile mișcării oscilatorii aduse la formă sinusoidală sunt:

$y\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right)$ - legea mișcării;

$v\left(t\right)=\omega A\cos \left(\omega t+{\phi }_0\right)=\omega A\sin \left(\omega t+{\phi }_0+\frac{\pi }{2}\right)$ - legea vitezei;

$a\left(t\right)=-{\omega }^{2}A\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right)={\omega }^{2}Asin\left(\omega t+{\phi }_0+\pi \right)$ - legea accelerației.

Putem observa că viteza este defazată înainte cu π/2 radiani, iar accelerația este defazată înainte cu π radiani față de elongație.

Energia oscilatorului liniar armonic

Energia oscilatoruli este egală cu suma dintre energia cinetică și energia potențială.

$$\begin{gathered} E_c=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m}{2}{\omega }^2{A}^2{\cos }^2\left(\omega t+{\phi }_0\right) \\ {E}_p=\frac{k{y}^2}{2}=\frac{k}{2}{A}^2{\sin }^2\left(\omega t+{\phi }_0\right) \end{gathered}$$

Însumând, rezultă că energia totală a oscilatorului armonic este constantă:

$E=\frac{m{\omega }^2{A}^2}{2}=\frac{k{A}^2}{2}$

Pendulul gravitațional

Pendulul gravitațional este un ansamblu format dintr-un corp punctiform de masă m, atârnat de un fir inextensibil, de masă neglijabilă și lungime l. Dacă corpul este scos din poziția de echilibru și lăsat liber, pentru unghiuri mici de deviație el va oscila liniar armonic cu perioada de oscilație:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Oscilații amortizate

Un oscilator real va intereacționa cu mediul în care oscilează și va întâmpina o forță de frecare proporțională cu viteza.

$\overrightarrow{F_f}=-r\overrightarrow{v}$

Legea de mișcare a unei astfel de oscilații este descrisă de relația:

$y\left(t\right)=A{e}^{-\alpha t}\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right), unde \alpha =\frac{r}{m} - coeficient de amortizare$

Oscilațiile pot fi libere, amortizate sau forțate.

Compunerea oscilațiilor paralele

Două oscilații paralele de forma:

$$\begin{gathered} y_1\left(t\right)=A_1\sin \left(\omega t+{\phi }_{01}\right) \\ {y}_2\left(t\right)=A_{2}sin\left(\omega t+{\phi }_{02}\right) \end{gathered}$$

Oscilația rezultată în urma compunerii lor va avea forma:

$y\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right)$

unde:

$A=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2-2A_1{A}_2\cos \left(\Delta {\phi }_0\right)}, unde \Delta {\phi }_0={\phi }_{01}-{\phi }_{02} -diferența de fază$

$\tan \left({\phi }_0\right)=\frac{A_1\sin \left({\phi }_{01}\right)+A_2\sin \left({\phi }_{02}\right)}{A_1\cos \left({\phi }_{01}\right)+A_2\cos \left({\phi }_{02}\right)}$

Dacă:

$$\begin{gathered} \Delta {\phi }_0=\left(2n+1\right)\frac{\pi }{2} \Rightarrow A=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2} oscilațiile sunt în cuadratură \\ \Delta {\phi }_0=2n\pi \Rightarrow A=A_1+A_2 oscilațiile sunt în fază \\ \Delta {\phi }_0=\left(2n+1\right)\pi \Rightarrow A=\left|A_1-A_2\right| oscilațiile sunt în opoziție de fază \end{gathered}$$

Bătăile

Bătăile apar atunci când se compun două oscilații paralele cu frecvențe foarte apropiate.

$y_1\left(t\right)=Asin\left({\omega }_{1}t\right) și y_2\left(t\right)=Asin\left({\omega }_{2}t\right)$

Considerând oscilațiile ca având aceeași amplitudine, oscilația rezultantă este:

$$\begin{gathered} y\left(t\right)=2Ac\cos \left(\Delta \omega t\right)\sin \left(\omega t\right), unde \\ \Delta \omega =\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2} și \omega =\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2} \end{gathered}$$

Compunerea oscilațiilor perpendiculare

Două oscilații perpendiculare compuse:

$$\begin{gathered} x\left(t\right)=A_1\sin \left(\omega t+{\phi }_{01}\right) \\ y\left(t\right)=A_{2}sin\left(\omega t+{\phi }_{02}\right) \end{gathered}$$

vor determina o oscilație caracterizată de relația:

${\left(\frac{x}{A_1}\right)}^2+{\left(\frac{y}{A_2}\right)}^2-2\frac{x}{A_1}\frac{y}{A_2}\cos \left(\Delta {\phi }_0\right)={\sin }^2\left(\Delta {\phi }_0\right)$

Oscilațiile forțate

Fiecare oscilator este caracterizar de o pulsatie sau o frecvență proprie de oscilație:

$$\begin{gathered} {\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}} - la pendulul elastic \\ {\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}} - la pendulul gravitațional \end{gathered}$$

Oscilațiile forțate sunt oscilațiile unui sistem (sistem excitat) determinate de influența altui sistem (excitator).

De regulă oscilațiile forțate sunt folosite pentru a compensa pierderile de energie ale sistemului excitat.

Rezonanța

Procesul de oscilație cuplată între excitator și sistemul excitat atunci când pulsațiile proprii ale celor doi oscilatori sunt egale se numește rezonanță. La rezonanță transferul de energie între excitator și sistemul excitat este maxim.