Bătăile. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare.

În cea de-a patra lecție despre oscilații și unde e mecanice,

vom discuta despre fenomenul de bătăi

și apoi despre compunerea oscilațiilor perpendiculare.

Bătăile se obțin la compunerea oscilațiilor armonice paralele

cu frecvențe diferite, dar apropiate.

Am discutat despre compunerea oscilațiilor armonice paralele

în lecția trecută

și vom discuta acum despre cazul particular

al comportării ecuațiilor obținute

în cazul în care delta omega este mult mai mic decât omega.

Vom redefini imediat acești parametri

care au fost definiți în lecția trecută.

Considerăm cazul simplu al amplitudinor egale.

Și deci, după cum spuneam,

în lecția trecută am demonstrat că

în cazul a două oscilații armonice paralele,

elongația oscilației compuse,

Y ca funcție de timp,

este egală cu dublul amplitudinii comune

a celor două oscilații individuale

mulțit cu cosinus de delta omega t

și sinus de omega t,

unde delta omega t a fost definit ca jumătatea diferenței

dintre pulsațiile individuale

ale celor două oscilații paralele,

iar omega t ca jumătatea sumei celor două pulsații.

Pentru a vedea ce se întâmplă în acest caz particular,

în care cei doi parametri sunt relaționați în felul acesta,

să reprezentăm grafic această funcție

pentru două valori ale pulsațiilor omega 1 și omega 2

care îndeplinesc această condiție.

Deci, ce vedeți în acest grafic

cu albastru este y de t,

deci elongația oscilației compuse

după această formulă,

iar cu roșu amplitudinea ei

reprezentată de termenul din fața funcției sinusoidale

sinus de omega t,

adică 2a cosinus de delta omega t.

Am ales două valori ale pulsațiilor individuale

omega 1 și omega 2,

astfel încât jumătatea diferenței să fie

mult mai mică decât jumătatea sumei.

Deci, pentru aceste două frecvențe

obținem un delta omega de 2 Hz

și un omega de 20 Hz, de 10 ori mai mare.

Și vedem că atunci

oscilația compusă are o

dependență sinusoidală, periodică,

dar și amplitudinea ei,

care este această funcție,

se înscrie într-o anvelopă

care este periodică,

dar cu o perioadă mult mai mare.

Acest tip de dependență temporală

a unei oscilații se numește bătăi.

Deci bătăile sunt oscilații de pulsație omega

cu albastru într-o anvelopă oscilantă

de pulsație delta omega,

unde omega este mult mai mare decât delta omega,

ceea ce înseamnă că perioada bătăilor

care sunt în scris în această anvelopă

cu roșu întrerupt,

perioada bătăilor este mult mai mare

decât perioada oscilației în sine.

Să trecem acum la compunerea

oscilațiilor perpendiculare.

Oscilațiile perpendiculare

apar atunci când oscilatorul este legat

la două oscilații produse de forțe elastice

cu direcții perpendiculare, ca în acest desen.

Deci omega1 este egal cu omega2

considerăm acest caz particular,

ceea ce înseamnă că cele două resorturi

au constante elastice egale.

Și atunci putem scrie oscilațiile

individuale produse de cele două resorturi.

x de t este a1 sin omega t plus fi 0,1

y de t este a2 sin omega t plus fi 0,2.

Ce dorim în următorul calcul trigonometric

este să eliminăm dependența de omega t

și să obținem o dependență directă

între x și y, între cele două elongații.

Procedăm întâi prin desfacere

argumentului acestor două funcții.

Mai exact folosim următoarea identitate trigonometrică

sin alpha plus beta este egal cu

sin alpha cos beta plus

cos alpha sin beta.

Deci, folosind această relație trigonometrică

desfăcând aceste funcții sinusoidale,

obținem aceste două ecuații pentru x și y.

Apoi, procedăm în felul următor.

Înmulțim prima ecuație cu cos fi 0,2

și a doua cu sin fi 0,2.

Motivul fiind că

procedând în felul acesta, primul termen

al adunării din dreapta egalului devine egal.

Deci, obținem termeni egali în această parte

a ecuațiilor și apoi scăzându-le

obținem următoarea relație.

x împărțit la 1 cos fi 0,2

minus y împărțit la 2 cos fi 0,1

Deci, înmulțim cea de-a doua ecuație cu cos fi 0,1.

Așa. Este egal cu...

Prin scădere, observăm că primul termen se simplifică.

Deci, sin fi omega t, cos fi 0,1, cos fi 0,2

va fi termenul în ambele ecuații

de sus și de jos. Deci, se simplifică prin scădere.

Și apoi, scăzând termenii

numărul 2 din adunare, obținem cos fi omega t

sin fi 0,1 cos fi 0,2

minus sin fi 0,2 cos fi 0,1

Dar această diferență

este egală cu

minus sin fi 0,2 minus fi 0,1

Deci putem scrie în continuare

această relație în care, după cum am spus,

expresia din paranteze este minus sin fi 0,2 minus fi 0,1

În următoarea etapă a demonstrației

înmulțim aceleași două ecuații cu sin

de fi 0,2, prima

și sin

de fi 0,1, cea de-a doua.

Motivul fiind același, de data aceasta

termenii numărul 2 din adunare se vor simplifica

la scădere. Deci obținem

x împărțit la 1 sin fi 0,2

minus y împărțit la 2 sin fi 0,1

va fi egal cu sin fi omega t

factorul comun, înmulțit cu cos fi 0,1

minus cos fi 0,2 sin fi 0,1

care este egal cu sin fi 0,2 minus fi 0,1

Din nou, termenii numărul 2 din sumă se simplifică

fiind identici.

Deci am obținut aceste două relații.

Reamintesc, scopul nostru este eliminarea

acestor doi termeni. Și observăm că dacă ridicăm

la pătrat și adunăm, vom obține cos pătrat plus sin pătrat

acești doi termeni fiind identici. Deci în felul acesta

putem elimina cele două

dependențe temporale. Deci, din nou,

ridicăm la pătrat ambele ecuații și le adunăm.

Reamintesc că avem următoarea relație

a plus b sau a minus b

A minus b la pătrat este egal cu

a pătrat plus b pătrat

minus 2ab

Deci ridicăm la pătrat și obținem

la următorul lucru x pătrat împărțit la a1

la pătrat cos pătrat de fi 0,2

asta din prima ecuație. Din a doua obținem

x pătrat împărțit la a1 la pătrat

sin pătrat de fi 0,2

apoi termenii numărul doi

y pătrat împărțit la a2 la pătrat

cos pătrat de fi 0,1

plus y pătrat împărțit la a2

la pătrat sin pătrat

la pătrat de fi 0,1

apoi termenii de tipul 2ab

minus 2x împărțit la a1

y împărțit la a2

și obținem de sus

cos pătrat de fi 0,1 cos pătrat de fi 0,2

plus sin pătrat de fi 0,1

sin pătrat de fi 0,2

Aceasta este ce obținem din adunarea

pătratelor din stânga egalului

iar din dreapta egalului obținem

cos pătrat de omega t

plus sin pătrat de omega t

totul mulțit cu factorul comun la pătrat

sin pătrat de fi 0,2 minus fi 0,1

Ce este important de observat

este că acest termen

care este singurul dependent de timp devine egal cu 1

și apoi de asemenea observăm că avem

alți termeni de tipul cos pătrat plus sin pătrat

spre exemplu acest termen va fi egal cu x pătrat

în părțila a1 la pătrat. La fel acest termen

va fi egal cu y pătrat în părțila a2 la pătrat.

În concluzie obținem următoarea ecuație

x pătrat în părțila a1 la pătrat plus y pătrat în părțila a2 la pătrat

plus acest termen

va fi egal cu termenul din dreapta

unde, din nou, acest termen

este egal cu 1, acest termen

este egal cu cos

de fi-02 minus fi-01

și definind

următoarea mărime

delta-fi-0 prin definiție

fi-02 este fi-02 minus fi-01

obținem ecuația finală

între x și y. Deci obținem că x în părțila a1 la pătrat

plus y în părțila a2 la pătrat minus 2x în părțila a1

și y în părțila a2 cos de delta-fi-0

este egal cu sin la pătrat de delta-fi-0

în care, din nou, am eliminat dependența temporală

și avem o relație directă între elongațiile celor două

și oscilații perpendiculare, x și y.

Aceasta este o ecuație generalizată a elipsei, adică

ea este o elipsă cu un anumit unghi de înclinare

în planul x-y, dat de delta-fi-0.

Avem următoarele cazuri particulare.

Oscilații eliptice apar atunci când

delta-fi-0 este un multiplu de pi-pi-2. Când delta-fi-0 este

un multiplu de pi-pi-2, cos de delta-fi-0

devine egal cu 0, deci

acest termen dispare în întregime, iar sin

de delta-fi-0 devine egal cu

plus sau minus 1, care la pătrat este egal cu 1

și deci obținem acest tip de ecuație.

În cazul și mai particular în care a1 este egal cu a2

și a2 au amplitudini egale, obținem o oscilație

compusă circulară. x pătrat plus y pătrat

egal cu a pătrat. Aceasta este ecuația unui cerc.

Scuzați!

Următorul caz particular este cel al

oscilațiilor în fază, în care delta-fi-0 este

un multiplu par de pi. În acest caz,

sin devine egal cu 0

și cos devine egal cu plus 1.

Și deci obținem

x pătrat împărțit la a1 la pătrat

plus y pătrat împărțit la a2

la pătrat minus 2

x pe a1, y pe a2

egal cu 0. Această relație

este echivalentă cu x împărțit la a1

minus y împărțit la a2, totul la pătrat egal cu 0.

Deci y este egal cu a2 împărțit la a1

împărțit mulțit cu x.

Deci obținem o simplă oscilație lineară.

Oscilatorul compus va oscila

pe o dreaptă. Iar oscilațiile în o poziție de fază

în care delta fi zero este egal cu un multiplu impar

de pi, corespund cazului

în care delta fi zero este egal cu

0, sin de delta fi zero este egal cu 0, iar cos

este egal cu minus 1. Și în acest

caz obținem semnul minus în loc de plus

în această dependență lineară.

Ca și comentariu final, aceste

oscilații compuse de tip paralel sau perpendicular

sau chiar și mai complexe, sunt

folosite în vari

mașini industriale.

Spre exemplu, vedeți un caz relativ simplu

al amortizoarelor de șocur

folosite într-un automobil. Dar chiar și în acest caz

putem vedea că sistemul

de resorturi sau de alte oscilatoare

folosite pentru amortizarea șocurilor din roată este

destul de complex. Ele pot fi

oscilații de tip pur mecanic, ca de exemplu un resort

din oțel, dar pot fi și alte tipuri de oscilatoare,

spre exemplu, avem

suspensii telescopice, suspensii

pneumatice, dar toate execută mișcării

oscilatorii, care sunt compuse în așa fel

încât să absorbim șocurile din

mai multe direcții asupra roată.