Oscilaţii forţate. Rezonanţa oscilaţiilor cuplate.

În cea de-a cincia lecție despre oscilații și unde mecanice,

vom discuta despre oscilațiile forțate și despre condiția de rezonanță.

Oscilațiile forțate ale unui sistem

apar atunci când asupra lui acționează un alt sistem, într-un mod periodic.

Uzual, ambele sisteme sunt oscilatori, dar nu neapărat.

Pentru a da un exemplu foarte comun și intuitiv,

să considerăm un leagăn în care acest copil se balancează,

el execută o mișcare periodic,

în jurul punctului de echilibru aflat la baza

sau la punctul de înălțime minimă a oscilației leagănului.

Bineînțeles că, după cum știm,

amplitudinea oscilațiilor leagănului va scădea în timp,

pentru că apar forțe disipative în acest sistem.

Rezistența aerului la mișcarea corpului

sau frecările inelelor leagănului de bara verticală.

Pentru a putea menține o amplitudine constantă,

trebuie ca sistemul acestui oscilator să-i se dea energie din exterior.

Asta se face ori de obicei prin faptul că altcineva împinge leagănul cu copilul

și, în felul acesta, furnizează energia necesară,

sau copilul însuși execută o anumită mișcare de balansare în leagăn

pentru a furniza această energie.

Deci, între oscilatorul excitator și oscilatorul excitat

are loc un transfer periodic de energie

pentru a compensa energia pierdută

de cel de-al doilea prin procese disipative.

În particular, spre exemplu, copilul periodic face o anumită mișcare a corpului

prin care transferă energie leagănului

care pierde energia prin frecări cu aerul sau cu bara de susținere.

E foarte important de reținut acest aspect

și anume că nu e suficient numai să transferăm energie,

ci trebuie să o transferăm într-un anumit fel

și anume periodic și de o anumită cantitate la un anumit moment.

După cum știe oricine care s-a dat în leagăn,

nu putem da energie în orice fel leagănului

pentru a menține amplitudinea lui.

Haideți să discutăm un pic cum anume

și să vedem cum anume trebuie transferată această energie

pentru a forța oscilația să aibă amplitudine constantă.

Să considerăm un resort, adică un pendul elastic.

El va executa o oscilație pe verticală

a cărei frecvențe proprii este radical din constanta elastică

împărțită la masa oscilatorului.

Dacă nu apar alte forțe asupra oscilatorului,

el va oscila indefinit cu această pulsație,

cu această frecvență.

Haideți să introducem o forță disipativă.

Spre exemplu, introducem oscilatorul într-o cuvă cu apă.

Bineînțeles că atunci vor apărea forțe disipative

datorită rezistenței apei la oscilația corpului de masa M.

După cum am văzut, în acest caz,

elongația oscilațiilor amortizate

are această dependență de timp.

Deci, ce vedeți în acest grafic cu verde

este dependența temporală a elongației,

deci a oscilației, acestui corp.

Ecuația acestei oscilații era următoarea.

O oscilație amortizată.

y de t este egal cu a0

e la minus alfa t

sinus de omega t plus fi zero.

Această ecuație a fost discutată în lecția despre oscilații amortizate.

Deci, ce vedem este că avem o oscilație periodică

a cărei perioade este legată de pulsația omega 0,

pulsația proprie,

amortizarea apărând nu prin schimbarea perioadei

care rămâne aceeași, vă reamintesc,

perioada t este egal cu 2pi

supra omega 0.

Deci, perioada rămâne constantă.

Ce se schimbă în cazul unei forțe disipative

este amplitudinea.

Amplitudinea scade

după

graficul descris de

curba roșie întreruptă.

Deci, curba roșie întreruptă este graficul

acestei amplitudini

care are o dependență

exponențială de timp.

În concluzie,

pentru a forța oscilația să rămână

la amplitudinea inițială,

a0 este amplitudinea la momentul t0,

pentru a forța oscilația să rămână

la această amplitudine constantă,

trebuie să furnizăm energie

exact

periodic,

exact după aceeași perioadă

ca cea a oscilatorului nostru

și în cantitatea

necesară pentru a compensa

această scădere de amplitudine.

Deci, trebuie să furnizăm energie

în acest moment

și de această cantitate.

De aceea vorbim de

fenomenul de rezonanță.

Deci, rezonanța

e procesul de oscilație cuplată

între un oscilator

excitat și unui excitator

cu transfer maxim de energie

care apare atunci când

frecvența oscilatorului excitator

e egală cu frecvența

oscilatorului excitat.

Deci, omega,

frecvența cu care copilul

furnizează energie leagănului

trebuie să fie egală cu

frecvența proprie a leagănului.

În cazul unui leagăn,

ea va fi radical

din LPG, cum am

demonstrat într-o lecție trecută.

Dacă ar fi fost un resort,

frecvența proprie ar fi radical

din KPM. Ideea este că orice

sistem oscilator

are o frecvență proprie dată

de caracteristicile specifice

oscilatorului

respectiv. Și deci, dacă vrem

să menținem

oscilațiile lui

și să compensăm pierderile,

frecvența cu care îi furnizăm energie

trebuie să fie egală cu

sau foarte apropiată

cu frecvența proprie.

Haideți să vedem

de ce se întâmplă

sau cum se întâmplă acest lucru printr-un experiment

simplu. Să considerăm

un

pendul elastic, un oscilator

elastic,

după cum am

discutat

mai devreme,

care are un corp de masă

M și este legat

de un suport, deținat

aici cu roșu, pe care îl

supunem unei oscilații

de frecvență omega

1 și amplitudine A.

Ce observăm este că

atunci, bineînțeles, corpul va

intra și el într-o oscilație

a cărei pulsații

omega 0 este

pulsația proprie, deci omega 0

nu depinde de omega 1

și

care are o anumită amplitudine

A1.

Ce facem în continuare?

Păstrăm amplitudinea

oscilației

impuse de

noi, constantă,

și mărim frecvența.

Deci păstăm A constant și mărim

omega 1 la o valoare omega 2

mai mare. Când facem

acest lucru, deci

ce am făcut? Am păstrat A

constant și am mărit

omega 1 la o valoare mai mare

omega 2. Corpul atunci

va oscila tot la omega 0,

care este pulsația lui dată

de proprietățile sistemului

K și M, dar

ce va crește?

Mărimea care va crește

va fi amplitudinea

oscilației lui. Deci A2

va deveni mai mare decât

A1. Și continuăm

acest lucru, creștem

omega

omega de la

valoarea 1, 2, 3 și așa mai

departe, observăm o creștere

graduală a

amplitudinii oscilației corpului,

dar la un moment dat, observăm

că

procesul se inversează, adică

de la un moment dat

obținem un

maxim al acestei amplitudini,

după care o descreștere

a amplitudinii. Deci de la un

anumit punct încolo,

chiar dacă mărim în continuare

pulsația omega la valoare

omega 3, spre exemplu, mai mari,

păstrând în tot acest timp

amplitudinea constantă,

amplitudinea oscilațiilor

corpului va începe să scadă,

deși omega crește,

pulsația lui fiind o timpul constantă,

omega 0.

Deci ceea ce se întâmplă,

ca să exprimăm grafic

rezultatele

acestui tip de experiment, este

că amplitudinea

a oscilațiilor

corpului, ca funcție de

pulsația omega

a oscilațiilor care

induc oscilațiile corpului,

are această dependență,

ea crește ca funcție de omega,

ajunge la un maxim și apoi descrește.

Se observă că

valoarea la care obținem această

amplitudină maximă este exact

omega 0, adică

pulsația proprie a

oscilatorului

nostru. Acesta este

fenomenul de rezonanță. Deci

faptul că

amplitudinea maximă

se obține la o pulsație

a oscilatorului ce

întreaga oscilație a sistemului

egală cu omega 0.

Dacă

ne aducem aminte

ecuația energiei unui oscilator

și anume, în cazul acesta,

energia oscilatorului nostru este

m omega 0 pătrat

a pătrat, împărțit la 2,

unde omega 0 este o constantă,

deci e, energia

oscilatorului depinde

de amplitudinea oscilațiilor lui,

observăm imediat că

acest grafic se traduce

sau

implică următoarea

dependență a energiei

oscilatorului funcție de

omega, care nu este frecvența

lui, ci frecvența

oscilatorului care induce întreaga

oscilație. Din nou, frecvența

oscilatorului este fixă.

Deci, energia

oscilatorului

mesei m,

deci corpul de masă m,

are această dependență

identică, deci are un maxim

pentru o pulsație

egală cu pulsația proprie

a oscilatorului elastic.

Deci, de aici rezultă

această definiție a procesului de rezonanță.

inducem o oscilație

a unui oscilator

folosind

o oscilație a unui oscilator

inductor, așa numit inductor,

facem un transfer

maxim de energie de la oscilatorul

inductor la cel

indus, atunci când

pulsația

oscilatorului inductor este egală

cu pulsația proprie

a oscilatorului indus,

a oscilației induce.

Oscilațiile

forțate au multiple aplicații

în vari tipuri de

mașini industriale.

Spre exemplu, oscilația

fierăstrăului unui drujbe

e întreținută prin cuplarea la o volantă.

Deci, ce vedem în această

imagine este

un fierăstrău mecanic,

o drujbă, în care avem

un motor

cuplat la o volantă

care induce

oscilația

orizontală a fierăstrăului

prin care se taie acest

butuc de lemn. Bineînțeles că

oscilația orizontală a fierăstrăului

este amortizată datorită

frecărilor puternice dintre

fierăstrău și lemn

care produc tăierea

și atunci, pentru a

împiedica oprirea

funcționării mașinii,

deci a acestei oscilații, trebuie

să cuplăm fierăstrăul

la un motor care

furnizează energia necesară

menținerii oscilației.

Dar, după cum am spus,

el trebuie să facă acest lucru

într-un anumit fel,

adică periodic,

într-o anumită dependență temporală

și o anumită cantitate.

De aceea nu cuplăm direct

motorul la fierăstrăul, pentru că

atunci energia

cedată de motor fierăstrăului ar fi

în dependența

temporală greșită.

Volanta are rolul

de a furniza această energie

periodic, într-un mod rezonant.

Rezonanța are și consecințe

nedorite, în practică.

Spre exemplu,

efectul

catastrofal al diferitelor

fenomene naturale periodice.

Ce vedeți aici este

un pod care s-a surpat

în urma

replicilor seismice

ale unui cutremur. Este cunoscut

că de multe ori

structurile, construcțiile

rezistă cu tremurul

inițial, dar

colapsează după ce

apar repereluri care

sunt de amplitudini mai mici.

Aceasta deoarece

ele implică

sau forțează

construcția într-o

mișcare oscilatorie, în care

amplitudinea totală

este crescută

a vibrațiilor

și aceasta duce la

colapsarea clădirii

sau podului. La fel se întâmplă

când o furtună

vine în rafale

de vânt, adică se întâmplă câteodată

ca furtuna să aibă

în sine o comportare periodică.