Transcript: Oscilaţii forţate. Rezonanţa oscilaţiilor cuplate.

În cea de-a cincia lecție despre oscilații și unde mecanice,
vom discuta despre oscilațiile forțate și despre condiția de rezonanță.
Oscilațiile forțate ale unui sistem
apar atunci când asupra lui acționează un alt sistem, într-un mod periodic.
Uzual, ambele sisteme sunt oscilatori, dar nu neapărat.
Pentru a da un exemplu foarte comun și intuitiv,
să considerăm un leagăn în care acest copil se balancează,
el execută o mișcare periodic,
în jurul punctului de echilibru aflat la baza
sau la punctul de înălțime minimă a oscilației leagănului.
Bineînțeles că, după cum știm,
amplitudinea oscilațiilor leagănului va scădea în timp,
pentru că apar forțe disipative în acest sistem.
Rezistența aerului la mișcarea corpului
sau frecările inelelor leagănului de bara verticală.
Pentru a putea menține o amplitudine constantă,
trebuie ca sistemul acestui oscilator să-i se dea energie din exterior.
Asta se face ori de obicei prin faptul că altcineva împinge leagănul cu copilul
și, în felul acesta, furnizează energia necesară,
sau copilul însuși execută o anumită mișcare de balansare în leagăn
pentru a furniza această energie.
Deci, între oscilatorul excitator și oscilatorul excitat
are loc un transfer periodic de energie
pentru a compensa energia pierdută
de cel de-al doilea prin procese disipative.
În particular, spre exemplu, copilul periodic face o anumită mișcare a corpului
prin care transferă energie leagănului
care pierde energia prin frecări cu aerul sau cu bara de susținere.
E foarte important de reținut acest aspect
și anume că nu e suficient numai să transferăm energie,
ci trebuie să o transferăm într-un anumit fel
și anume periodic și de o anumită cantitate la un anumit moment.
După cum știe oricine care s-a dat în leagăn,
nu putem da energie în orice fel leagănului
pentru a menține amplitudinea lui.
Haideți să discutăm un pic cum anume
și să vedem cum anume trebuie transferată această energie
pentru a forța oscilația să aibă amplitudine constantă.
Să considerăm un resort, adică un pendul elastic.
El va executa o oscilație pe verticală
a cărei frecvențe proprii este radical din constanta elastică
împărțită la masa oscilatorului.
Dacă nu apar alte forțe asupra oscilatorului,
el va oscila indefinit cu această pulsație,
cu această frecvență.
Haideți să introducem o forță disipativă.
Spre exemplu, introducem oscilatorul într-o cuvă cu apă.
Bineînțeles că atunci vor apărea forțe disipative
datorită rezistenței apei la oscilația corpului de masa M.
După cum am văzut, în acest caz,
elongația oscilațiilor amortizate
are această dependență de timp.
Deci, ce vedeți în acest grafic cu verde
este dependența temporală a elongației,
deci a oscilației, acestui corp.
Ecuația acestei oscilații era următoarea.
O oscilație amortizată.
y de t este egal cu a0
e la minus alfa t
sinus de omega t plus fi zero.
Această ecuație a fost discutată în lecția despre oscilații amortizate.
Deci, ce vedem este că avem o oscilație periodică
a cărei perioade este legată de pulsația omega 0,
pulsația proprie,
amortizarea apărând nu prin schimbarea perioadei
care rămâne aceeași, vă reamintesc,
perioada t este egal cu 2pi
supra omega 0.
Deci, perioada rămâne constantă.
Ce se schimbă în cazul unei forțe disipative
este amplitudinea.
Amplitudinea scade
după
graficul descris de
curba roșie întreruptă.
Deci, curba roșie întreruptă este graficul
acestei amplitudini
care are o dependență
exponențială de timp.
În concluzie,
pentru a forța oscilația să rămână
la amplitudinea inițială,
a0 este amplitudinea la momentul t0,
pentru a forța oscilația să rămână
la această amplitudine constantă,
trebuie să furnizăm energie
exact
periodic,
exact după aceeași perioadă
ca cea a oscilatorului nostru
și în cantitatea
necesară pentru a compensa
această scădere de amplitudine.
Deci, trebuie să furnizăm energie
în acest moment
și de această cantitate.
De aceea vorbim de
fenomenul de rezonanță.
Deci, rezonanța
e procesul de oscilație cuplată
între un oscilator
excitat și unui excitator
cu transfer maxim de energie
care apare atunci când
frecvența oscilatorului excitator
e egală cu frecvența
oscilatorului excitat.
Deci, omega,
frecvența cu care copilul
furnizează energie leagănului
trebuie să fie egală cu
frecvența proprie a leagănului.
În cazul unui leagăn,
ea va fi radical
din LPG, cum am
demonstrat într-o lecție trecută.
Dacă ar fi fost un resort,
frecvența proprie ar fi radical
din KPM. Ideea este că orice
sistem oscilator
are o frecvență proprie dată
de caracteristicile specifice
oscilatorului
respectiv. Și deci, dacă vrem
să menținem
oscilațiile lui
și să compensăm pierderile,
frecvența cu care îi furnizăm energie
trebuie să fie egală cu
sau foarte apropiată
cu frecvența proprie.
Haideți să vedem
de ce se întâmplă
sau cum se întâmplă acest lucru printr-un experiment
simplu. Să considerăm
un
pendul elastic, un oscilator
elastic,
după cum am
discutat
mai devreme,
care are un corp de masă
M și este legat
de un suport, deținat
aici cu roșu, pe care îl
supunem unei oscilații
de frecvență omega
1 și amplitudine A.
Ce observăm este că
atunci, bineînțeles, corpul va
intra și el într-o oscilație
a cărei pulsații
omega 0 este
pulsația proprie, deci omega 0
nu depinde de omega 1
și
care are o anumită amplitudine
A1.
Ce facem în continuare?
Păstrăm amplitudinea
oscilației
impuse de
noi, constantă,
și mărim frecvența.
Deci păstăm A constant și mărim
omega 1 la o valoare omega 2
mai mare. Când facem
acest lucru, deci
ce am făcut? Am păstrat A
constant și am mărit
omega 1 la o valoare mai mare
omega 2. Corpul atunci
va oscila tot la omega 0,
care este pulsația lui dată
de proprietățile sistemului
K și M, dar
ce va crește?
Mărimea care va crește
va fi amplitudinea
oscilației lui. Deci A2
va deveni mai mare decât
A1. Și continuăm
acest lucru, creștem
omega
omega de la
valoarea 1, 2, 3 și așa mai
departe, observăm o creștere
graduală a
amplitudinii oscilației corpului,
dar la un moment dat, observăm
că
procesul se inversează, adică
de la un moment dat
obținem un
maxim al acestei amplitudini,
după care o descreștere
a amplitudinii. Deci de la un
anumit punct încolo,
chiar dacă mărim în continuare
pulsația omega la valoare
omega 3, spre exemplu, mai mari,
păstrând în tot acest timp
amplitudinea constantă,
amplitudinea oscilațiilor
corpului va începe să scadă,
deși omega crește,
pulsația lui fiind o timpul constantă,
omega 0.
Deci ceea ce se întâmplă,
ca să exprimăm grafic
rezultatele
acestui tip de experiment, este
că amplitudinea
a oscilațiilor
corpului, ca funcție de
pulsația omega
a oscilațiilor care
induc oscilațiile corpului,
are această dependență,
ea crește ca funcție de omega,
ajunge la un maxim și apoi descrește.
Se observă că
valoarea la care obținem această
amplitudină maximă este exact
omega 0, adică
pulsația proprie a
oscilatorului
nostru. Acesta este
fenomenul de rezonanță. Deci
faptul că
amplitudinea maximă
se obține la o pulsație
a oscilatorului ce
întreaga oscilație a sistemului
egală cu omega 0.
Dacă
ne aducem aminte
ecuația energiei unui oscilator
și anume, în cazul acesta,
energia oscilatorului nostru este
m omega 0 pătrat
a pătrat, împărțit la 2,
unde omega 0 este o constantă,
deci e, energia
oscilatorului depinde
de amplitudinea oscilațiilor lui,
observăm imediat că
acest grafic se traduce
sau
implică următoarea
dependență a energiei
oscilatorului funcție de
omega, care nu este frecvența
lui, ci frecvența
oscilatorului care induce întreaga
oscilație. Din nou, frecvența
oscilatorului este fixă.
Deci, energia
oscilatorului
mesei m,
deci corpul de masă m,
are această dependență
identică, deci are un maxim
pentru o pulsație
egală cu pulsația proprie
a oscilatorului elastic.
Deci, de aici rezultă
această definiție a procesului de rezonanță.
inducem o oscilație
a unui oscilator
folosind
o oscilație a unui oscilator
inductor, așa numit inductor,
facem un transfer
maxim de energie de la oscilatorul
inductor la cel
indus, atunci când
pulsația
oscilatorului inductor este egală
cu pulsația proprie
a oscilatorului indus,
a oscilației induce.
Oscilațiile
forțate au multiple aplicații
în vari tipuri de
mașini industriale.
Spre exemplu, oscilația
fierăstrăului unui drujbe
e întreținută prin cuplarea la o volantă.
Deci, ce vedem în această
imagine este
un fierăstrău mecanic,
o drujbă, în care avem
un motor
cuplat la o volantă
care induce
oscilația
orizontală a fierăstrăului
prin care se taie acest
butuc de lemn. Bineînțeles că
oscilația orizontală a fierăstrăului
este amortizată datorită
frecărilor puternice dintre
fierăstrău și lemn
care produc tăierea
și atunci, pentru a
împiedica oprirea
funcționării mașinii,
deci a acestei oscilații, trebuie
să cuplăm fierăstrăul
la un motor care
furnizează energia necesară
menținerii oscilației.
Dar, după cum am spus,
el trebuie să facă acest lucru
într-un anumit fel,
adică periodic,
într-o anumită dependență temporală
și o anumită cantitate.
De aceea nu cuplăm direct
motorul la fierăstrăul, pentru că
atunci energia
cedată de motor fierăstrăului ar fi
în dependența
temporală greșită.
Volanta are rolul
de a furniza această energie
periodic, într-un mod rezonant.
Rezonanța are și consecințe
nedorite, în practică.
Spre exemplu,
efectul
catastrofal al diferitelor
fenomene naturale periodice.
Ce vedeți aici este
un pod care s-a surpat
în urma
replicilor seismice
ale unui cutremur. Este cunoscut
că de multe ori
structurile, construcțiile
rezistă cu tremurul
inițial, dar
colapsează după ce
apar repereluri care
sunt de amplitudini mai mici.
Aceasta deoarece
ele implică
sau forțează
construcția într-o
mișcare oscilatorie, în care
amplitudinea totală
este crescută
a vibrațiilor
și aceasta duce la
colapsarea clădirii
sau podului. La fel se întâmplă
când o furtună
vine în rafale
de vânt, adică se întâmplă câteodată
ca furtuna să aibă
în sine o comportare periodică.