Forţa rezistivă. Amortizarea oscilaţiilor. Compunerea oscilaţiilor paralele.

În cea de-a treia lecție despre oscilații și unde mecanice,

vom discuta despre oscilațiile amortizate și despre compunerea oscilațiilor paralele.

Oscilațiile amortizate ale unui oscilator într-un mediu

au loc datorită forțelor de frecare dintre oscilatorul respectiv și mediul,

de obicei de tip fluid, prin care el se mișcă.

Această forță de frecare este prezentată în această ecuație.

Ea este proporțională cu viteza de mișcare și, bineînțeles, se opune acestei mișcări,

de aceea are sensul minus.

Constanta de proporționalitate dintre forța de frecare și viteză se notează cu R

și ea depinde de geometria, de forma oscilatorului și de natura mediului prin care are loc oscilația.

Cât de vâscos este acest mediu.

Odată ce avem o formulă pentru forța de frecare, putem scrie formula fundamentală a dinamicii,

care este masa ori accelerația egală cu forțele care acționează.

În cazul unui oscilator armonic, avem o forță de tip elastic, care este minus K înmulțită cu elongația oscilației,

plus această nouă forță de frecare, care acționează și ea asupra corpului.

Această ecuație poate fi rescrisă în felul următor, pentru a fi rezolvată.

Trecând în partea stângă a ecuației, avem KY, care este o funcție de timp, plus RV,

dar viteza prin definiție este delta Y împărțit la delta T.

Viteza este variația elongației în unitate de timp.

Și ne-a mai rămas MA, deci plus M, ori accelerația, pe care o voi scrie în felul următor, delta,

variația dublă a elongației împărțită la timp, egal cu 0,

bineînțeles pentru delta T tinde la 0.

Acest tip de ecuație nu l-ați mai văzut încă.

O scriu numai în trecere, fără a face nicio demonstrație din ea,

numai pentru a vă sugera cum putem extrage dintr-o astfel de ecuație ecuația pentru Y de T.

Deci, pur și simplu scriem viteza ca variația lui Y ca funcție de timp,

iar accelerația care este variația vitezei va fi variația dublă a elongației în raport cu timpul.

Această cantitate o veți învăța un pic mai încolo, când veți face calcul diferențial.

Acestea sunt diferențiale de ordinul 1 și ordinul 2, derivate de ordinul 1 și ordinul 2 ale elongației.

Nu le știți încă, dar numai ca să vedeți cum se rezolvă această ecuație pe scurt,

avem o ecuație diferențială de ordinul 2, în care singura necunoscută este Y,

forma lui Y a elongației ca funcție de timp.

Dar, din nou, aceasta este doar un comentariu.

Nu trebuie să știți deocamdată aceste lucruri.

Dar, în felul acesta, se rezolvă în calculul diferențial această ecuație și obținem următoarea soluție.

Y, elongația ca funcție de timp, va fi o amplitudine îmulțită cu o funcție exponențială e la minus alpha t

și îmulțită apoi cu o funcție sinusoidală de timp.

Deci avem funcția sinusoidală tipică cu care suntem obișnuiți pentru o mișcare oscilatorii armonică.

Dar, în particular, pentru oscilații amortizate, avem în amplitudine un factor dependent de timp, această exponențială.

Dacă reprezentăm grafic această funcție,

am uitat să definesc alpha.

Deci alpha, coeficientul exponențialei din această formulă, este definit ca raportul dintre R și 2M.

Deci R este constanta de proporționalitatea forței de frecare și M este masa oscilatorului.

Deci alpha este definit ca R în părțila 2M și se numește coeficient de amortizare.

După cum spuneam, dacă reprezentăm grafic această soluție pentru elongația unei oscilații armonice amortizate,

obținem această formă.

Deci în verde, cu culoarea verde, obținem sau desenăm această valoare a lui Ydt, ca funcție de timp, bineînțeles.

Cu linie roșie întreruptă, am desenat doar funcția din fața funcției sinus.

Deci cu roșu avem Ae-at.

Deci e o funcție care scade exponențial în timp.

Ea se numește anvelopa oscilației.

Și după cum ne așteptăm, vedem că într-adevăr avem o funcție sinusoidală, deci avem o oscilație periodică,

dar efectul amortizării este descris de această anvelopă ce scade exponențial,

în care vedem că amplitudinea acestei oscilații scade în timp.

Deci acesta este efectul forței de frecare care duce la oscilații amortizate.

Amplitudinea scade în timp exponențial după această legi.

Oscilațiile sunt de mai multe tipuri din acest punct de vedere.

Primul tip, bineînțeles, este cel discutat până acum,

cel al oscilațiilor libere sau nedisipative,

în care nu avem forțe de frecare sau disipative care pot amortiza oscilația.

În acest tip de oscilații energia totală se conserve, după cum am văzut în lecția trecută.

Bineînțeles, și al doilea tip este cel al oscilațiilor amortizate, pe care le-am discutat acum,

care se mai numește disipative, pentru că energia totală se consumă.

Deci oscilatorul cedează energie mediului cu care interacționează, prin forța de frecare.

Iar al treilea tip de oscilații este cel al oscilațiilor forțate sau întreținute,

despre care vom mai discuta în curând,

și în care furnizăm energie din exterior pentru compersarea pierdelor.

Deci oscilațiile sunt amortizate în acest caz,

sau ar fi amortizate, pentru că există o forță de frecare semnificativă,

dar noi furnizăm din exterior, printr-o anumită metodă,

energia care s-ar consuma și se consumă,

și în felul acesta păstrăm energia totală a oscilatorului constantă,

obținând un tip de oscilație caracteristic celor libere,

dar, bineînțeles, având în același timp o disipare de energie.

Aceste tip de oscilații se numesc forțate sau întreținute.

Să mergem acum la compunerea oscilațiilor paralele.

Deci considerăm două oscilații armonice,

care sunt paralele, în sensul că forțele elastice au aceiași direcție,

precum vedem în această schemă.

Deci ce vedem este un corp care este atașat la două resorturi.

Și, bineînțeles, el atunci este supus la două forțe elastice,

care produc elongații complementare,

adică când unul din resorturi se întinde, celălalt se strânge.

Deci forțele elastice au sensuri opuse, dar au aceiași direcție.

Și presupunem pentru simplicitatea calculelor

că frecvențele proprii ale celor două resorturi sunt egale.

Vă reamintesc că omega este egal cu radical din KPM.

Asta înseamnă că cele două resorturi au aceiași constantă elastică.

Haideți să calculăm în acest caz

ecuațiile mișcării acestui oscilator,

compus format din două oscilatoare.

Deci plecăm de la ecuația pentru fiecare,

elongație pentru fiecare din cele două resorturi, cele două oscilatoare,

în care am pus condiția ca frecvențele sau pulsațiile să fie egale.

În lecția 6 de curent alternativ

am studiat proprietățile funcțiilor sinusoidale.

Deci, haideți să scriu undeva.

Lecția 6 de curent alternativ.

Pe care vă invit să o revedeți.

Acolo am demonstrat că atunci când adunăm două funcții sinusoidale

obținem tot o funcție sinusoidală de aceiași pulsații.

Deci,

elongația mișcării oscilatorii compuse

va fi A sin omega t plus phi zero.

Pentru a o descrie complet trebuie să calculăm A, amplitudinea, și phi zero.

Pentru aceasta folosim diagrama fazorială.

Deci aceasta este diagrama fazorială.

A acestor mișcării oscilatorii.

Deci, vectorul A1 descrie elongația Y1.

A2 descrie elongația Y2.

Și bineînțeles, suma lor vectorială,

deci A1 plus A2 adunate vectorial,

va reprezenta fazorul A,

ce descrie elongația mișcării oscilatorii compuse.

Deci, tot ce trebuie să facem este să calculăm

proprietățile acestei sume vectoriale A1 și A2.

Pentru aceasta,

proiectăm această ecuație pe cele două axe.

Când proiectăm această ecuație vectorială pe axe OX,

obținem următoarea ecuație.

A cosinus de phi zero

este egal cu A1 cosinus de phi zero unu.

Plus A2 cosinus de phi zero doi.

Deci, pentru fiecare vector calculăm proiecția.

Și bineînțeles, proiecția va fi dată de cosinusul unghiului.

La fel, pe OY putem scrie că A sinus de phi zero

este egal cu A1 sinus de phi zero unu.

Plus A2 sinus de phi zero doi.

Observăm că dacă împărțim a doua ecuație la prima ecuație,

una din cele două necunoscute și anume amplitudinea se simplifică

și rămânem cu o singură necunoscută, phi zero.

Deci obținem ecuația pentru phi zero.

Și anume, că tangentă de phi zero, sinus împărțit la cosinus este tangentă,

este egală cu raportul dintre mărimile din dreapta acestor două ecuații.

Pentru a calcula magnitudinea A,

folosim următoarea identitate trigonometrică,

și anume, că într-un triunghi, și anume, în cazul acesta, în acest triunghi,

dacă notăm cu unghiul theta, unghiul opus laturei A,

și bineînțeles, această latură va fi A1,

putem scrie următoarea ecuație.

A pătrat este egal cu A1 pătrat

plus A2 pătrat

minus 2A1 A2 cosinus de theta.

Aceasta este o ecuație general valabilă

între laturile unui triunghi și unghiul opus laturei A, în cazul acesta.

Putem însă observa că unghiul theta,

care este acest unghi,

deci theta este acest unghi,

theta este egal cu 180 de grade minus unghiul delta fi.

Deci notăm unghiul dintre fazorii A1 și A2 cu delta fi,

sau delta fi zero, mai exact,

și atunci unghiul theta este egal cu 180 de grade,

sau pi radian, minus delta fi.

Dar știm că cosinus de,

deci în concluzie, cosinus de theta este egal cu cosinus de pi minus delta fi,

care este egal cu minus cosinus de delta fi.

Cosinus de 180 de grade minus un unghi alfa este minus cosinus de alfa,

asta e o relație generală,

în care, după cum am spus, delta fi zero

este definit ca fi zero unu minus fi zero doi.

Deci am introdus această nouă mărime.

Și în concluzie putem înlocui minus cosinus de theta cu cosinus de delta fi zero

și obținem pentru magnitudinea,

sau amplitudinea lui elongației compuse,

următoare ecuație radical din A1 pătrat plus A2 pătrat

plus 2A1 A2 cosinus de delta fi zero,

unde delta fi zero este fi zero unu minus fi zero doi.

Și în felul acesta am obținut ecuațiile

pentru elongația mișcării oscilatorii compuse în acest caz,

paralele de aceeași frecvență.

Haideți să vedem proprietățile ei.

Deci aceasta este ecuația pentru amplitudinea

și avem următoarele cazuri particulare.

În cazul în care delta fi zero,

care, din nou, este prin definiție fi zero unu minus fi zero doi,

în cazul în care acest unghi relativ inițial

este un multiplui împar de 90 de grade,

în acest caz cosinusul va fi zero,

oscilațiile se numesc în coadratură,

pentru că cosinusul fiind zero

obține imediat că amplitudinea este egal cu radical

din suma pătratelor amplitudelor individuale.

De aici numele de coadratură.

Un alt caz particular este acela

al oscilațiilor în fază,

în care delta fi zero este un multiplu par de 180 de grade,

adică 0, 360 și așa mai departe.

În acest caz, cosinus de fi zero este egal cu plus 1

și atunci obținem a1 pătrat plus a2 pătrat plus 2a1 a2,

care este a1 plus a2 la pătrat,

deci obținem că, în acest caz,

amplitudinea este suma amplitudinilor și de individual,

și de aceea oscilațiile se numesc în fază.

Și, bineînțeles, avem cazul opus,

oscilațiile în opoziție de fază,

în care delta fi zero este un multiplu împar de pi,

adică 180 de grade, 270 de grade,

nu, 180 de grade, 3 ori 180 de grade și așa mai departe.

În acest caz, cosinus de delta fi zero va fi minus 1

și deci obținem a1 pătrat plus a2 pătrat minus 2a1 a2,

care este a1 minus a2 la pătrat.

Și deci, în acest caz, amplitudinea oscilației compuse

este modulul diferenței dintre amplitudine oscilațiilor individuale,

acestea fiind cazurile particulare mai important

ale oscilațiilor compuse.

Paralele

Oscilațiile paralele cu amplitudini egale

și faze inițiale nule.

Haideți să discutăm despre acest caz,

pentru că vom vedea în lecția viitoare,

când vom discuta despre bătăi în oscilații,

cum anume acest caz este relevant.

Deci considerăm amplitudini egale și faze inițiale nule.

Bineînțeles că în acest caz, care este un caz simplificat,

avem următoarele două ecuații

pentru elungațiile individuale.

Y1 este Asin1t,

Y2 este Asin2t.

Deci, în acest caz, avem frecvențe sau pulsații proprii diferite.

Dar celelalte, celălalti doi parametri ai oscilației,

și anume amplitudinea, sunt egale,

iar în cazul fazei sunt egale cu 0.

Deci, un caz simplificat, totuși,

în care ne îndreptăm către discuția

situației în care pulsațiile nu sunt egale.

Bun.

În acest caz,

putem scrie, bineînțeles, că

Yt, care este suma celor două,

este egal cu

A îmulțit cu Sin1t

plus Sin2t.

Iar apoi facem apel, sau folosim,

următoarea identitate trigonometrică.

Sin α plus Sin β

este egal cu

2cos α minus β

împărțit la 2

și Sin α plus β

împărțit la 2.

Și deci, în concluzie,

dacă notăm cu o anumită valoare,

un anumit parametru,

această cantitate,

și anume

notăm cu Δω

ω1 minus ω2

împărțit la 2 și cu

ω1 plus ω2 împărțit la 2,

obținem următoarea ecuație pentru

elongația oscilației compass.

Yt va fi 2 îmulțit cu A

cos Δω

adică diferența împărțită la 2 îmulțită cu t

Sin ω

adică suma împărțit la 2 împărțită cu t.