Dinamica

Dinamica este partea mecanicii care studiază cauzele mișcării. Dinamica are la bază o serie de principii. Principiul în mecanică este echivalentul axiomei din matematică. Un principiu al mecanicii nu se demonstrează dar este probat de fiecare dată de rezultatele experimentale.

Principul inerției

Principiul inerției afirmă că un corp își va menține starea de repaus sau mișcare rectilinie uniformă atâta timp cât asupra lui nu va acționa un alt corp care să-i schimbe starea de mișcare.

Altfel spus în absența acțiunilor exterioare un corp își păstrează starea de mișcare, adică starea de repaus sau mișcare rectilinie uniformă.

Trebuie remarcat faptul că starea de mișcare a corpului trebuie determinată în raport cu un sistem de referință. Sistemul de referință ales trebuie la rândul lui să fie în repaus sau în stare de mișcare rectilinie uniformă. Un astfel de sistem de referință se numește sistem de referință inerțial - SRI.

Conform principiului inerției toate corpurile vor avea proprietatea de a-și păstra starea de repaus sau de mișcare rectilinie uniformă în absența acțiunilor exterioare. Această proprietate a tuturor corpurilor se numește inerție.

Mărimea fizică ce caracterizează inerția este masa. Masa este o mărime scalară. Unitatea de măsură pentru masă, în Sistemul Internațional de Măsuri și Unități, este kilogramul. Masa este, alături de lungime și timp, mărime fundamentală în SI.

$\left[m\right]=1kg$

Observăm că inerția unui corp este cu atât mai mare cu cât corpul are masă mai mare.

În final putem spune că principiul inerției ne dă un răpuns la întrebarea ”Ce se întâmplă cu un corp izolat, adică cu un corp asupra cărui a nu acționează alte corpuri?”.

Principiul fundamental al mecanicii

Următoarea întrebare logică este ”Ce se întâmplă cu un corp neizolat, adică cu un corp asupra căruia acționează alte corpuri, asupra căruia au loc acțiuni exterioare?”

Mărimea fizică ce descrie interacțiunea dintre corpuri sau descrie acțiunea unui corp asupra altui corp se numește forță. Forța este o mărime vectorială.

Rezultatul acțiunii unei forțe este o schimbare a stării de mișcare, adică o schimbare a vitezei. Variația vitezei este descrisă de accelerație.

Putem spune că rezultul acțiunii unei forțe asupra unui corp este mișcarea accelerată a corpului. Accelerația rezultată în urma acțiunii forței este proporțională cu forța.

$\overrightarrow{a}~\overrightarrow{F}$

De asemenea putem spune că inerția corpului va influența rezultatul acțiunii forței, în sensul că cu cât inerția va fi mai mare cu atât accelerația va fi mai mică, adică accelerația este invers proporțională cu masa corpului.

$\overrightarrow{a}~\frac{1}{m}$

Punând cele două relații la un loc putem spune că:

Accelerația imprimată unui corp, de către o forță, este proporțională cu raportul dintre forța aplicată corpului și masa corpului.

$\overrightarrow{a}~\frac{\overrightarrow{F}}{m}$

Trebuie remarcat faptul că accelerația imprimată corpului are direcția și sensul forței aplicate corpului.

Dacă alegem unitatea de măsură pentru forță în funcție de masă și accelerație atunci putem lua constanta de proporționalitate ca fiind unitară și atunci rezultă că:

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

Adică:

Forța aplicată unui corp este egală cu produsul dintre masa și accelerația corpului. Acesta este principiul fundamental al mecanicii sau principiul al II-lea al mecanicii.

Folosind relația de mai sus putem deduce unitatea de măsură pentru forță:

$\left[F\right]=\left[m\right]·\left[a\right]=1kg·1\frac{m}{s^2}=1N \left(Newton\right)$

Un Newton reprezintă forța ce trebuie aplicată unui corp cu masa de 1 kg pentru a-i imprima acestuia accelerația de $1 \raisebox{1ex}{$m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$s^2$}\right.$ în direcția și sensul forței.

Observații:

1. Relația ce descrie principiul fundamental al mecanicii se constituie într-o ecuație generală a forței. Relația $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ descrie orice tip de forță.

2. Dacă asupra unui corp acționează ami multe forțe atunci acestea se însumează vectorial ca orice vectori, iar rezultanta forțelor determină o accelerație a corpului.

$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+...+\overrightarrow{F_n}=\overrightarrow{R}=m\overrightarrow{a}$

3. Dacă asupra unui corp nu acționează nici o forță, atunci accelerația corpului este nulă, adică corpul este în repaus sau își păstrează mișcarea rectilinie uniformă. Observăm că absența forței, adică a acțiunilor exterioare, ne conduce la principiul inerției.

Principiul acțiunii și reacțiunii

Principiul acțiunii și reacțiunii sau principiul al III-lea al mecanicii răspunde la întrebarea ”Ce se întâmplă cu corpul care acționează asupra altui corp?”

Dacă un corp A acționează asupra unui corp B cu o forță numită acțiune, atunci și corpul B va reacționa acționând asupra corpului A cu o forță numită reacțiune egală în modul și opusă ca sens cu acțiunea.

Întotdeauna interacțiunea dintre două corpuri este caracterizată de o pereche de forțe egale în modul și opuse ca sens, numite acțiune și reacțiune, fiecare acționând asupra altui corp.

Din reprezentarea de mai sus se poate vedea cum corpul A acționează asupra corpului B cu forța $\overrightarrow{F_1}$, iar corpul B acționează asupra corpului A cu o forță $\overrightarrow{F_2}$, egală în modul și opusă ca sens.

Despre cele două forțe putem spune că:

$\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_1}$.

Observații:

1. Reacțiunea normală la suprafață sau normala

Atunci când un corp este așezat pe o suprafață, deoarece el este atras de Pământ cu forța de greutate, el va exercita o forță de apăsare pe suprafața de sprijin. Suprafața de sprijin va reacționa și va acționa asupra corpului cu o forță egală în modul și opusă ca sens cu forța de apăsare, numită reacțiune normală la suprafață.

Putem concluziona ca normala la suprafață nu este forța de reacțiune a greutății, ci forța de reacțiune a forței de apăsare pe care o exercită corpul pe suprafața de sprijin.

2. Tensiunea în fir

Firele sunt folosite pentru transmiterea forțelor și datorită flexibilității lor, în combinație cu scripeți, pot schimba direcția și sensul de acțiune al unei forțe.

Rolul firului este de a transmite forța sau interacțiunea între corpuri. Astfel dacă la un capăt al unui fir acționăm cu o forță și dacă firul este inextensibil și are masă neglijabilă, atunci la celălalt capăt al firului vom regăsi aceeași forță.

În exemplul de mai sus corpul din dreapta eset acționat de o forță. Mai departe acest corp trage de fir, iar firul trage de corp. La celălalt capăt al firului firul trage de corpul din stânga, iar corpul trage de fir. Pe desen sunt reprezentate doar forțele care acționează asupra celor două corpuri, care sut egale și opuse ca sens.

Existența tensiunii în fir se poate constata și experimental prin inserarea în fir a unui dinamometru, care va măsura o forță de tensiune ori de câte ori firul este întins.

În orice secțiune a firului putem identifica o pereche de forțe egale în modul și opuse ca sens, acțiune și reacțiune, cu care capetele firului acționează unul spura celuilalt.

Legea lui Hooke

Acțiunea unei forțe asupra unui corp poate avea drept rezultat deformarea corpului, iar în acest caz forța se numește forță deformatoare.

Elasticittatea este proprietatea corpurilor de a reveni la forma inițială după dispariția forței deformatoare.

Plasticitatea este proprietatea corpurilor de a se deforma sub influența unei forțe deformatoare fără a reveni la forma inițială.

Pentru forțe deformatoare rezonabile orice corp are proprietăți elastice.

Pentru studiul proprietăților elastice ale corpurilor cel mai potrivit este studiul comportării unui resort sau al unei benzi elastice sub acțiunea unei forțe deformatoare.

Resortul este caracterizat de dimenisiunile sale inițiale, adică lungimea $l_0$ și aria secțiunii transversale $S_0$.

Sub influența unei forțe deformatoare, care poate fi greutatea unui corp, resortul se deformează. Deoarece aria secțiunii transversale este mult mai mică decât lungimea resortului, considerăm că ea nu se modifică.

Ca măsură a deformării corpului măsurăm sau determinăm alungirea absolută:

$\Delta l=l-l_0$

și alungirea relativă:

$\epsilon =\frac{\Delta l}{l_0}$.

Experimental se constată că alungirea absolută este proporțională cu lungimea inițială și forța deformatoare și invers proporțională cu aria secțiunii transversale a resortului:

$$\begin{gathered} \Delta l~l_0 \\ \Delta l~F_{def} \\ \Delta l~\frac{1}{S_0} \end{gathered}$$

Astfel:

$\Delta l~\frac{F_{def}}{S_0}{l}_0$

Pentru a putea egala se introduce o constantă de proporționalitate, numită modul de elasticitate longitudinal sau modului lui Young. Modulu lui Young este o constantă de material.

$\Delta l=\frac{1}{E}\frac{F_{def}}{S_0}{l}_0$

de unde rezultă Legea lui Hooke:

$\frac{\Delta l}{l_0}=\frac{1}{E}\frac{F_{def}}{S_0}$

Raportul dintre forța deformatoare și aria secțiunii transversale se numește efort unitar:

$\sigma =\frac{F_{def}}{S_0}$

Efortul unitar se  măsoară în:

$\left[\sigma \right]=1\frac{N}{m^2}$

Folosind aceste notații legea lui Hooke ia forma:

$\sigma =E\epsilon$.

De aici se vede că unitatea de măsură pentru modulul de elasticitate longitudinal este:

$\left[E\right]=1\frac{N}{m^2}$

Forța elastică

Din legea lui Hooke forța deformatoare se scrie:

$F_{def}=\frac{E{S}_0}{l_0}\Delta l$

Cum mărimile scrise sub formă de fracție sunt caracteristici ale resortului, le reducem la o singură constantă numita constantă elastică:

$k=\frac{E{S}_0}{l_0}$

a cărei unitate de măsură este:

$\left[k\right]=1\frac{N}{m}$

Forța deformatoare este descrisă de relația:

$F_{def}=k\Delta l$

Dacă deformăm elastic un corp, atunci respectând principiul acțiunii și reacțiunii, în interiorul lui va apărea o forță ce se va opune deformării și va tinde să aducă corpul la forma inițială. Această forță este forța elastică este egală și de sens opus cu forța deformatoare și este direct proporțională cu deformarea.

În cazul reprezentării de mai sus, introducem vectorul deformare care este pozitiv atunci când resortul se alungește și negativ când el se comprimă:

$\overrightarrow{x}=\Delta \overrightarrow{l}$

În această situație forța elastică se scrie:

$\overrightarrow{F}=-k\overrightarrow{x}$

Observăm că forța elastică este direct proporțională cu deformarea, dar se opune acesteia și constanta elastică este constantă de proporționalitate.

Forțe de frecare

Frecarea apare la suprafața de contact dintre două corpuri solide. Cauzele frecării sunt atât asperitățile celor două suprafețe ce intră în contact cât și atracția moleculară ce apare între cele două suprafețe. Asperitățile celor două suprafețe se întrepătrund și vot impiedica mișcarea celeor două suprafețe tangențial una față de alta. Macroscopic se va constata apariția unei forțe de rezistență ce se opune mișcării suprafețelor una față de alta.

Putem concluziona că forța de frecare este o forță de rezistență ce se opune mișcării relative a suprafețelor una față de alta.

Forța de frecare poate fi:

- forță de frecare statică;

- forță de frecare la alunecare;

- forță de frecare la rostogolire;

În continuare vom discuta de alunecarea unui corp ep o suprafață:

Dacă acționăm cu o forță de tracțiune asupra unui corp așezat pe un plan, corpul va rămâne nemișcat dacă forța de tracțiune este suficient de mică deoarece va fi egalată de o forță de frecare statică. Odată ce forța de tracțiune devine mai mare decât forța de frecare statică maximă, corpul începe să alunece accelerat pe plan. Forța de frecare la launecare este puțin mai mică decât forța de frecare statică maximă.

Experimental se demostrează că forța de frecare statică maximă este mai mare ddecât forța de frecare la alunecare, care la rîndul ei este mai mare3 decât forța de frecare la rostogolire.

Legile frecării

Legea I

Forța de frecare la alunecare este direct proporțională cu forța de apăsare exercitată de corp pe suprafața de alunecare care este egală în mărime cu forța de reacțiune normală la suprafața de contact dintre corpuri.

$F_f~N$

Legea aII-a

Forța de frecare la alunecare depinde de natura și gradul de prelucrare al suprafețelor aflate în contact. Dependența este careacterizată de o mărime adimensională numită coeficient de frecare al alunecare ce ia valor între 0 și 1 și se notează cu $\mu$.

Legea a III-a

Forța de frecare al alunecare nu depinde de aria suprafeței de contact dintre corpuri.

În final putem scrie că forța de frecare este determinată de relația:

$F_f=\mu N$

Planul înclinat. Unghiul de frecare.

Considerăm un corp de masă m ce alunecă uniform (cu viteză constantă) pe un plan înclinat sub unghiul $\alpha$.

Asupra corpului vor acționa trei forțe, greutatea, reacțiunea normală la suprafață și forța de frecare. Deoarece corpul coboară uniform pe plan, accelerația sa este nulă.

Scriem:

$\overrightarrow{G}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F_f}=0$

Proiectând pe cele două axe rezultă:

$\left\{\begin{array}{l}{G}_x-F_f=0, după axa Ox\\ N-G_y=0, după axa Oy\end{array}\right.$

Proiecțiile greutății pe cele două axe sunt:

$\left\{\begin{array}{l}{G}_x=mg\sin \left(\alpha \right)\\ G_y=mg\cos \left(\alpha \right)\end{array}\right.$

Înlocuim proiecțiile greutății, determinăm reacțiunea normlă la suprafață din ecuația după axa Oy și obținem forța de frecare:

$F_f=\mu N=\mu mg\cos \left(\alpha \right)$

Înlocuim forța de frecare în relația după axa Ox și obținem:

$\mu =\tan \left(\alpha \right)$

Deoarece coeficientul de frecare la alunecare depinde doar de unghiul planuluii înclinat, acest unghi se numește unghi de frecare.

Spunem că unghiul de frecare este unghiul unui plan înclinat la care un corp coboară pe plan cu viteză constantă.

Legea atracției universale

Legea atracției universale a fost enunțată de Sir Isaac Newton.

Legea afirmă că oricare două corpuri se atrag cu o forță proporțională cu masele corpurilor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre corpuri.

Scalar legea atracției universale se scrie:

$F=k\frac{m_1{m}_2}{r^2}$

unde k este constanta atracției universale și are valoarea:

$k=6,67·{10}^{-11}\frac{N·m^2}{k{g}^2}$

Vectorial, dacă considerăm punctul de referință în centrul de masă al primului corp și definim versorul unitate cu direcția și sensul vectoruli de poziție al centrului de masă al celui de-al doilea corp:

$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{OA}}{\left|OA\right|}$

cele două forțe de atracție se scriu:

$\overrightarrow{F_{21}}=-\overrightarrow{F_{12}}=-k\frac{m_1{m}_2}{r^2}\overrightarrow{u}$

Valoarea constantei atracției universale determină valori foarte mici al e forțelor de atracție universale. Cu toate acestea forța gravitațională guvernează interacțiunile dintre corpurile cerești, dintre planete și stele, dintre stele, galaxii, etc.

Câmpul gravitațional

În încercarea de a explica faptul că interacțiunea gravitațională este o interacțiune la distanță, a fost introdusă noțiunea de câmp gravitațional.

Orice corp cu masă schimbă proprietățile spațiului din jurul său, lucru ce poate fi constatat prin apariția unor forțe de atracție ce acționează asupra corpurilor aduse în câmp. În fiecare punct al câmpului se manifestă forța de atracție gravitațională.

Linia de câmp este curba în lungul căreia se va mișca un corp lăsat liber în câmp.

În jurul unui corp sferic cum este Pământul liniile de câmp vor avea o simetrie radială sau sferică fiind orientate spre centrul Pământului.

De asemenea câmpul gravitațional este descris de o mârime vectorială numită intensitae a câmpului gravitațional.

$\overrightarrow{\Gamma }=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$

Dacă ținem cont de faptul că greutatea unui corp, de masă m, poate fi descrisă de două relații:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{G}=m\overrightarrow{g} \\ \overrightarrow{G}=-k\frac{M_{P}m}{r^2}\overrightarrow{u} \end{gathered}$$

unde

$r=R_P+h$

În vecinătatea Pământului, intensitatea câmpului gravitațional, la înălțimea h deasupra Pământului, este:

$\overrightarrow{\Gamma }=\overrightarrow{g}=-k\frac{M_P}{r^2}\overrightarrow{u}$

Dacă determinăm experimental raza Pământului și accelerația gravitațională la nivelul mării, putem calcula masa Pământului:

$M_P=\frac{g_0{R_P}^2}{k}\simeq 5,9·{10}^{24}kg$

De asemenea putem calcula dependența accelerației gravitaționale de înălțime:

$g=g_0{\left(\frac{h}{R_P+h}\right)}^2$

unde $g_0$ este accelerația gravitațională la nivelul mării.

În imediata vecinătate a Pământului pe distanțe mici putem considera câmpul gravitațional ca fiind uniform, cu linii de câmp paralele și echidistante.