Mărimi fizice

Mărimea fizică este o mărime ce caracterizează o proprietate sau o stare a unui corp sau sistem fizic. Mărimea fizică descrie cantitativ (numeric) proprietatea sau starea prin raportare la o unitate de măsură a mărimii fizice ce este convenită în prealabil.

Mărimile fizice sunt de două feluri:

Mărimi fizice scalare

Pentru exprimarea unei mărimi fizice scalare este suficient un număr care arată raportul între mărime si unitatea de măsură a mărimii fizice. De exemplu masa unui corp exprimă un anumit număr de kg, temperatura un număr de ºC, etc.

Mărimi fizice vectoriale

O mărime fizică vectorială are trei proprietăți:

- mărime sau modul sau magnitudine - este numărul de unități de măsură;

- direcție - dreapta în lungul căreia este orientată mărimea vectorială;

- sens - orientarea mărimii vectoriale.

De exemplu: un avion zboară de la est la vest 500 de km. Pentru a descrie deplasarea avionului nu este suficientă mărimea - 500 km, mai trebuie specificată directia - est-vest și sensul spre vest.

Notația științifică a mărimilor fizice

Pentru exprimarea unor mărimi fizice foarte mari sau foarte mici se folosește notația exponențială sau științifică. Ea are forma:

$a·{10}^n$

unde a se numește mantisă și n se numește exponent.

Mantisa este de regulă un număr cuprins între 1 și 10. Uneori, în special când comparăm mărimi fizice, se acceptă și numere subunitare sau mai mari de 10. Mantisa conține un set de cifre semnificative. Exponentul ne descrie ordinul de mărime al mărimii fizice exprimate.

Exemplu: Distanța de la Pământ la Soare este de 149.600.000 km. ea poate fi scrisă:

$d_{PS}=149,6·{10}^6 km= 1,496·{10}^8 km$

Diametrul atomului de hidrogen este de aproximativ 0,00000000011 m sau a zecea miliarda parte dintr-un metru. Diametrul poate fi scris:

$d_H=1,1·{10}^{-10}m$.

Domeniile mecanicii clasice

Mecanica clasică se împarte în trei mari părți sau domenii.

1. Cinematica - se ocupă cu studiul mișcării fără a analiza cauzele acesteia mulțumindu-se să descrie mișcarea.
2. Dinamica - se ocupă cu studiul cauzelor mișcării corpurilor.
3. Statica - se ocupă cu studiul echilibrului corpurilor în interacțiune cu alte corpuri.

Punct material. Mobil

În foarte multe situații dimensiunea corpurilor studiate este foarte mică (neglijabilă) în raport cu distanțele parcurse sau cu distanțele până la corpurile înconjurătoare sau pur și simplu în gradul de aproximare în care lucrăm nu ne interesează forma corpului studiat. În acestă situație se poate aproxima corpul cu un punct numit punct material. Punctul material este caracterizat doar de masa sa.

Dacă studiem doar cinematica punctului material masa lui nu va fi relevantă și atunci punctul material se va numi mobil.

Mișcare și repaus

Pentru determinarea stării de mișcare a unui corp este nevoie de un al doilea corp, numit corp de referință sau reper sau observator.

Dacă poziția corpului studiat se modifică în raport cu reperul atunci corpul se află în mișcare. Dacă poziția corpului studiat nu se modifică în raport cu reperul atunci corpul este în repaus.

Putem constata că starea de mișcare sau de repaus este realtivă, ea depinzănd de starea reperrului. Spre exemplu un călător aflat într-un autobuz care se mișcă este în mișcare față de pământ dar în repaus față de autobuz.

Pentru a studia mișcarea unui corp avem nevoie pe lângă corpul de referință de un instrument de măsurat distanțele - riglă și de unul de măsurat timpul - ceas.

Corpul de referință, rigla și ceasul formează sistemul de referință.

De fiecare dată când studiem mișcarea unui corp alegem  mai întâi sistemul de referință în care vom studia mișcarea.

Mulțimea punctelor prin care trece un corp în mișcarea sa se numește traiectorie. În funcție de traiectoria sa mișcarea unui corp poate fi:

1. Mișcare rectilinie - mișcare în linie dreaptă.
2. Mișcare circulară - mișcare în formă de arc de cerc sau de cerc.
3. Mișcare curbilinie - mișcare pe o traiectorie curbă.

Traiectoria depinde de sistemul de referință ales pentru studierea mișcării.

Ecuația de mișcare sau legea de mișcare

Cea mai simplă mișcare este cea rectilinie. Pentru studiul ei se alege un sistem de referință unidimensional. cu o axă de coordonate ce coincide cu direcția de mișcare.

Din studierea mișcării rezultă un set de date în care fiecărui moment de timp îi corespunde o singură poziție în spațiu, o singură coordonată pe axa Ox.

Relația dintre momentul de timp t și poziție

$x=x\left(t\right)$,

se numește lege sau ecuație de mișcare.

Din punct de vedere matematic legea de mișcare este o funcție. Sistemul de referință ales și legea de mișcare descriu complet mișcarea mobilului.

Pentru mișcări mai complexe, mișcare circulară sau curbilinie, este nevoie de alegerea unui sistem de refeință unde determinarea poziției spațiale a mobilului să necesite două sau trei coordonate spațiale. în acest caz se alege convenabil un sistem de coordonate xOy sau xOyz. Mișcarea ce poate fi descrisă cu două coordonate spațiale se numește mișcare bidimensională sau mișcare în plan, iar miscarea descrisă de trei coordonate spațiale se numește mișcare tridimensională sau mișcare în spațiu.

Pentru descrierea mișcării, pe lângă sistemul de coordonate xOyz, numit și sistem de coordonate cartezieine, se mai pot alege și alte sisteme de coordonate.

Exemplu: Sistemul GPS folosește pentru determinarea coordonatelor unui punct de pe suprafața Pământului trei coordonate: latitudine, longitudine și altitudine.

Pentru mișcarea în plan vom obține câte o lege de mișcare pentru fiecare axă de coordonate:

$$\begin{gathered} x=x\left(t\right) \\ y=y\left(t\right) \end{gathered}$$

Pentru mișcarea în spațiu vom obține:

$$\begin{gathered} x=x\left(t\right) \\ y=y\left(t\right) \\ z=z\left(t\right) \end{gathered}$$

Mișcarea se poate descrie și cu ajutorul vectorului de poziție. Vectorul de poziție este vectorul ce leagă punctul de referință de poziția mobilului la un moment dat.

Mișcarea mobilului poate fi descrisă printr-o lege de mișcare vectorială:

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(t\right)$

Între descrierea vectorială a mișcării și descrierea cu ajutorul coordonatelor cartezieine este o relație de echivalentă.

Mărimea vectorului de poziție este:

$\left|\overrightarrow{r}\right|=\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)}$

iar orientarea vectorului de poziție poate fi determinată de două unghiuri calculate tot cu ajutorul coordonatelor.

Dacă se atașează fiecărei axe un vector unitar, numit versor, atunci legea de mișcare vectorială se poate scrie:

$\overrightarrow{r}\left(t\right)=x\left(t\right)·\overrightarrow{i}+y\left(t\right)·\overrightarrow{j}+x\left(t\right)·\overrightarrow{k}$

Adunarea și scăderea vectorilor

Vectorii se pot aduna după metoda paralelogramului.

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Se așează cei doi vectori astfel încât să aibă originea în același punct. Se construiește un paralegram ducând paralele la cei doi vectori prin vârfurile lor. Vectorul sumă va fi diagonala paralelogramului cu originea în originea comună a celor doi vectori.

De asemenea vectorii se pot aduna folosind metoda patrulaterului.

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$

Se așează vectorii succesiv unul cu originea în vârful celuilalt. Vectorul sumă va fi vectorul cu originea în originea primului vector și vârful în vârful ultimului vector.

Scăderea a doi vectori înseamnă adunarea descăzutului cu opusul scăzătorului.

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$

Folosind metoda paralelogramului se demonstrează că diferența a doi vectori este vectorul de unește vârful scăzătorului cu vărful descăzutului.

Dacă vectorii sunt ortogonali (perpendiculari unul pe altul), paraleogramul devine dreptunghi. La calculul mărimii sumei și diferenței se poate folosi teorema lui Pitagora. Vectorii sumă și diferență vor avea aceeași mărime sau modul, dar vor avea orientări diferite.

Dacă vectorii sunt coliniari, atât suma cât și diferența se vor calcula algebric, ținându-se cont de sensul vectorilor.

Viteza

Viteza reprezintă distanța parcursă în unitatea de timp. Viteza este o mărime vectorială.

Viteza în mișcarea rectilinie

Dacă avem un mobil ce efectuează o mișcare rectilinie și determinăm două poziții, A și B, ale mobilului, atunci putem calcula distanța parcursă de mobil:

$\Delta x=x_2-x_1$

și intervalul de timp necesar parcurgerii acestei distanțe:

$\Delta t=t_2-t_1$

În această situație, viteza medie pe porțiunea AB, va fi:

$v_{AB}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$.

Unitatea de măsură a vitezei in sistemul internațional de măsuri și unități este:

$\left[v\right]=1\frac{m}{s}=1m{s}^{-1}$.

Dacă vrem să determinăm viteza momentană sau viteza la momentul t, atunci trebuie să alegem un interval de timp infinitezimal, care tinde la zero. În această situație și distanța parcursă de mobil este și ea infinitezimală, adică foarte mică, dar viteza este o mărime diferită de zero dacă distanța parcursă este diferită de zero.

$v\left(t\right)=\frac{\Delta x}{\Delta t} când \Delta t\to 0$

sau

$v\left(t\right)=\frac{dx}{dt}$

Viteza în mișcarea curbilinie

Dacă avem o mișcare curbilinie, atunci vom descrie pozițiile mobilului cu ajutorul vectorului de poziție.

Dacă determinăm două poziții,

$A\left(\overrightarrow{r_1};t_1\right) și B\left(\overrightarrow{r_2};t_2\right)$,

de pe traiectoria mobilului, atunci putem determina vectorul deplasare și intervalul de timp:

$\Delta \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1} și \Delta t=t_2-t_1$

Viteza medie este mărimea vectorială exprimată prin relația:

$\overrightarrow{v_m}=\frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}$

Viteza medie are direcția și sensul vectorului deplasare.

Pentru determinarea vitezei la un moment dat alegem un interval de timp infinitezimal. În acest caz cele două puncte de pe traiectorie sunt foarte apropiate, iar vectorul deplasare tinde să devină din secantă la traiectorie, tangentă al traiectorie. Viteza la momentul t este:

$\overrightarrow{v}=\frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t} când \Delta t\to 0$

sau

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$

Putem afirma că viteza la momentul t sau viteza momentană este tangentă la traiectorie.

Accelerația

Accelerația este mărimea vectorială egală cu variația vitezei în unitatea de timp.

Cunoscând vitezele momentane în două pozițiiA și B,  de pe traiectoria unui mobil, putem determina vairația vitezei și intervalul de timp necesar parcurgerii distanței de al A la B:

$\Delta \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1} și \Delta t=t_2-t_1$

Accelerația medie între cele două poziții A și B este:

$\overrightarrow{a_m}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$

Unitatea de măsură a accelerației este:

$\left[a\right]=1\frac{\frac{m}{s}}{s}=1\frac{m}{s^2}=1m{s}^{-2}$

În cazul mișcării rectilinii, dacă viteza crește accelerația este pozitivă, iar dacă viteza scade accelerația este negativă.

Mișcarea rectilinie uniform variată

Mișcarea rectilinie uniform variată este mișcarea în linie dreaptă cu accelerație constantă.

Mișcarea rectilinie uniform variată a unui mobil poate fi reprezentată schematic ca mai jos.

Legea vitezei

Dacă cunoaștem proprietățile mișcării în două stări, inițială notată cu  A și finală notată cu B, din definiția accelerației rezultă:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=const.$

Exprimând variația vitezei și intervalul de timp rezultă:

$a=\frac{v-v_0}{t-t_0}$

și considerând că:

$t_0=0$,

rezultă:

$v\left(t\right)=v_0+at$.

Relația obținută se numește legea vitezei.

Dacă acelerația este pozitivă atunci viteza crește odată cu timpul, iar dacă accelerația este negativă atunci viteza scade odată cu timpul.

Din punct de vedere matematic, legea vitezei este o funcție de gradul I care descrie dependența vitezei de timp.

Dacă reprezentăm grafic legea vitezei în coordonate tOv rezultă un grafic de forma unei drepte:

Legea de mișcare

Pentru deducerea legii de mișcare a mișcării rectilinii uniform variate ne folosim de relația de definiție a vitezei medii:

$v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}$.

De asemenea datorită faptului că viteza variază liniar cu timpul atunci, putem determina viteza medie cunoscând două valori ale vitezei momentane:

$v_m=\frac{v_0+v}{2}$

Considerând că:

$t_0=0$

și folosind cele două relații enunțate mai sus rezultă că:

$\Delta x=v_{m}t$

adică,

$\Delta x=\frac{v_0+v}{2}t$

Dacă analizăm din punct de vedere geometric graficul vitezei în funcție de timp, constatăm că distanța parcursă între momentul inițial și cel final este reprezentată de aria cuprinsă între graficul vitezei și axa timpului.

Putem generaliza această afirmație pentru orice tip de mișcare.

Pentru obținerea legii de mișcare înlocuim viteza la momentul t în relația de mai sus și rezultă:

$\Delta x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$,

și cum,

$\Delta x=x-x_0$

rezultă legea de mișcare:

$x\left(t\right)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Legea de mișcare este din punct de vedere matematic o funcție de gradul II care descrie poziția mobilului în funcție de timp.

Legea lui Galilei

Considerăm legea vitezei și legea de mișcare:

$v=v_0+at$

$x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Deducem timpul din legea vitezei:

$t=\frac{v-v_0}{a}$

și îl înlocuim în legea de mișcare. Rezultă:

$x-x_0=\frac{v^2-{v_0}^2}{2a}$

sau:

$v^2={v_0}^2+2a\Delta x$

Relația poartă numele de legea lui Galilei, ea fiind dedusă pentru prima dată de Galileo Galilei.

Mișcarea circulară uniformă

Definiție

Mișcarea circulară uniformă este mișcare pe o traiectorie în formă de cerc cu viteza constantă în mărime.

În mișcarea circulară uniformă vectorul viteză își schimbă în permanență orientarea (direcția și sensul), dar modulul vitezei rămâne constant.

$\left|\overrightarrow{v}\right|=const.$

Pe timpul mișcării circulare uniforme, mobilul va parcurge arce de cerc egale în intervale de timp egale.

Parametri mișcării circulare uniforme

Mișcarea circulară uniformă este caracterizată de un centru de rotație și o rază de curbură numită și rază vectoare.

Dacă considerăm centrul de curbură O ca punct de referință, atunci raza vectoare coincide cu vectorul de poziție al mobilului.

Raza vectoare este constantă în modul fiind egală cu raza cercului, dar are direcția și sensul dependente de timp.

$\left|\overrightarrow{R}\right|=\left|\overrightarrow{r}\left(t\right)\right|=R$

Perioada mișcării reprezintă timpul necesar efectuării unei rotații complete.

$$\begin{gathered} T=\frac{\Delta t}{N}, unde \\ \Delta t este intervalul de tmp, iar N numărul de rotații complete \end{gathered}$$

Perioada se măsoară în secunde:

$\left[T\right]=1s.$

Frecvența este numărul de rotații efectuate în unitatea de timp.

$\nu =\frac{N}{\Delta t}$

Frecvența se măsoară în:

$\left[\nu \right]=\frac{1}{s}=1s^{-1}=1Hz \left(Hertz\right)$.

Observăm că frecvența este inversa perioadei sau:

$T\nu =1$.

Ecuația abscisei curbilinii

Pentru calculul vitezei ținem cont de faptul că o rotație completă este efectuată într-un interval de timp egal cu perioada de rotație:

$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2\pi R}{T}$

sau dacă înlocuim perioada cu frecvența:

$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=2\pi R\nu$

Pornind de la relația vitezei putem deduce o lege de mișcare, numită legea sau ecuația abscisei curbilinii, care descrie distanța parcursă de mobil pe cerc.

Considerând:

$$\begin{gathered} \Delta s=s-s_0 \\ și \\ {t}_0=0 \end{gathered}$$

rezultă,

$s=s_0+vt$.

Viteza unghiulară și ecuația abscisei unghiulare

Observăm că lungimea unui arc de cerc este proporțională cu raza cercului și cu unghiul la centru determinat de arcul de cerc.

Pentru a putea scrie lungimea arcului de cerc în funcție de unghiul la centru se introduce o unitate de măsură pentru unghiuri numită radian (prescurtat rad).

Un radian reprezintă unghiul la centrul unui cerc ce determină pe cerc un arc de cerc cu lungimea egală cu raza cercului.

Pornind de la această defniție rezultă că:

$360°\iff 2\pi rad$

Pentru a determina unghiul în radiani folosim relația:

$\alpha \left[rad\right]=2\pi \frac{\alpha \left[°\right]}{360°}$.

Folosind noua unitate de măsură pentru unghiuri putem scrie:

$\Delta s=R·\Delta \alpha$

Dacă scriem încă odată relația de definiție a vitezei rezultă:

$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=R·\frac{\Delta \alpha }{\Delta t}$

Variația unghiului la centru în unitatea de timp se numește viteză unghiulară:

$\omega =\frac{\Delta \alpha }{\Delta t}$

Unitatea de măsură pentru viteza unghiul ară este:

$\left[\omega \right]=\frac{\left[\Delta \alpha \right]}{\left[\Delta t\right]}=1\frac{rad}{s}=1rad·s^{-1}$.

Folosind viteza unghiulară deducem legea sau ecuația abscisei unghiulare.

Considerând:

$$\begin{gathered} \Delta \alpha =\alpha -{\alpha }_0 \\ și \\ {t}_0=0 \end{gathered}$$

rezultă,

$\alpha ={\alpha }_0+\omega t$.

Accelerația centripetă

În mișcarea circulară uniformă modulul vitezei este constant în timp dar direcția și sensul vitezei sunt dependente de timp.

Mișcarea circulară uniformă este o mișcare accelerată.

Pentru deducerea accelerației considerăm două poziții ale mobilului pe traiectoria sa circulară:

Aceelerația se determină cu relația:

$\overrightarrow{a}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$

Pentru a calcula variația vitezei, translatăm viteza finală în același punct cu viteza inițială,

Observăm că avem două triunghiuri asemenea, unul determinat de cele două viteze și variașia vitezei și unul determinat de cele două raze vectoare și secanta cercului.

Din asemănare putem scrie:

$\frac{\Delta v}{M{M}_0}=\frac{v}{R}$.

Deoarece vrem să determinăm accelerația instantanee reducem intervalul de timp la unul infinetizimal.

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}, unde dt\to 0$

În această situație si secanta devine foarte mică și putem considera că este egală cu lungimea arcului de cerc.

$M{M}_0\simeq \stackrel{⏜}{M{M}_0}=R\Delta \alpha$

Introducem relația în relația de asemănare și calculăm variația vitezei:

$\Delta v=v\Delta \alpha$

pe care o introducem în relația de calcul a accelerației și rezultă:

$a=v\frac{\Delta \alpha }{\Delta t}=v\omega ={\omega }^{2}R=\frac{v^2}{R}$

Vectorul viteza este perpendicular pe raza vectoare, iar variația infinitezimală a vitezei este perpendiculară pe viteză, deci are aceeași direcție cu raza vectoare dar sens opus. Cum accelerația are direcția și sensul vectorului variație a vitezei putem spune că și accelerația are direcția razei vectoare dar sens opus acesteia. Putem scrie aceelearația, pe care o numim accelerație centripetă:

$\overrightarrow{a_{cp}}=-{\omega }^2\overrightarrow{R}$.