Operaţii cu vectori. Viteza şi acceleraţia.

1,997 vizualizări · 58 voturi

Concepte: Viteza Accelerația

Test: Test de evaluare pentru viteza şi accele...

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

Adunarea și scăderea vectorilor

Vectorii se pot aduna după metoda paralelogramului.

$\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$

Se așează cei doi vectori astfel încât să aibă originea în același punct. Se construiește un paralegram ducând paralele la cei doi vectori prin vârfurile lor. Vectorul sumă va fi diagonala paralelogramului cu originea în originea comună a celor doi vectori.

De asemenea vectorii se pot aduna folosind metoda patrulaterului.

$\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$

Se așează vectorii succesiv unul cu originea în vârful celuilalt. Vectorul sumă va fi vectorul cu originea în originea primului vector și vârful în vârful ultimului vector.

Scăderea a doi vectori înseamnă adunarea descăzutului cu opusul scăzătorului.

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

Folosind metoda paralelogramului se demonstrează că diferența a doi vectori este vectorul de unește vârful scăzătorului cu vărful descăzutului.

Dacă vectorii sunt ortogonali (perpendiculari unul pe altul), paraleogramul devine dreptunghi. La calculul mărimii sumei și diferenței se poate folosi teorema lui Pitagora. Vectorii sumă și diferență vor avea aceeași mărime sau modul, dar vor avea orientări diferite.

Dacă vectorii sunt coliniari, atât suma cât și diferența se vor calcula algebric, ținându-se cont de sensul vectorilor.

Viteza

Viteza reprezintă distanța parcursă în unitatea de timp. Viteza este o mărime vectorială.

Viteza în mișcarea rectilinie

Dacă avem un mobil ce efectuează o mișcare rectilinie și determinăm două poziții, A și B, ale mobilului, atunci putem calcula distanța parcursă de mobil:

$Δ x = x_{2} - x_{1}$

și intervalul de timp necesar parcurgerii acestei distanțe:

$Δ t = t_{2} - t_{1}$

În această situație, viteza medie pe porțiunea AB, va fi:

$v_{A B} = \frac{Δ x}{Δ t}$ .

Unitatea de măsură a vitezei in sistemul internațional de măsuri și unități este:

$[v] = 1 \frac{m}{s} = 1 m s^{- 1}$ .

Dacă vrem să determinăm viteza momentană sau viteza la momentul t, atunci trebuie să alegem un interval de timp infinitezimal, care tinde la zero. În această situație și distanța parcursă de mobil este și ea infinitezimală, adică foarte mică, dar viteza este o mărime diferită de zero dacă distanța parcursă este diferită de zero.

$v (t) = \frac{Δ x}{Δ t} c â n d Δ t \to 0$

sau

$v (t) = \frac{d x}{d t}$

Viteza în mișcarea curbilinie

Dacă avem o mișcare curbilinie, atunci vom descrie pozițiile mobilului cu ajutorul vectorului de poziție.

Dacă determinăm două poziții,

$A (\vec{r_{1}}; t_{1}) ș i B (\vec{r_{2}}; t_{2})$ ,

de pe traiectoria mobilului, atunci putem determina vectorul deplasare și intervalul de timp:

$Δ \vec{r} = \vec{r_{2}} - \vec{r_{1}} ș i Δ t = t_{2} - t_{1}$

Viteza medie este mărimea vectorială exprimată prin relația:

$\vec{v_{m}} = \frac{Δ \vec{r}}{Δ t}$

Viteza medie are direcția și sensul vectorului deplasare.

Pentru determinarea vitezei la un moment dat alegem un interval de timp infinitezimal. În acest caz cele două puncte de pe traiectorie sunt foarte apropiate, iar vectorul deplasare tinde să devină din secantă la traiectorie, tangentă al traiectorie. Viteza la momentul t este:

$\vec{v} = \frac{Δ \vec{r}}{Δ t} c â n d Δ t \to 0$

sau

$\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{d t}$

Putem afirma că viteza la momentul t sau viteza momentană este tangentă la traiectorie.

Accelerația

Accelerația este mărimea vectorială egală cu variația vitezei în unitatea de timp.

Cunoscând vitezele momentane în două pozițiiA și B, de pe traiectoria unui mobil, putem determina vairația vitezei și intervalul de timp necesar parcurgerii distanței de al A la B:

$Δ \vec{v} = \vec{v_{2}} - \vec{v_{1}} ș i Δ t = t_{2} - t_{1}$

Accelerația medie între cele două poziții A și B este:

$\vec{a_{m}} = \frac{Δ \vec{v}}{Δ t}$

Unitatea de măsură a accelerației este:

$[a] = 1 \frac{\frac{m}{s}}{s} = 1 \frac{m}{s^{2}} = 1 m s^{- 2}$

În cazul mișcării rectilinii, dacă viteza crește accelerația este pozitivă, iar dacă viteza scade accelerația este negativă.

Deschide pagina de teorie: Operaţii cu vectori. Viteza şi acceleraţia. →

În cea de-a doua lecție de mecanică newtoniană

vom vorbi despre operații cu vectori și apoi despre viteză și accelerații.

În lecția trecută am introdus noțiunea de vectori și proprietățile ei.

Vom vorbi acum despre adunarea vectorilor și scăderea lor.

Să luăm doi vectori A și B și să construim suma lor S și diferența lor D.

La început folosim metoda paralelogramul.

Primul pas este punerea celor doi vectori, A și B, coadă la coadă,

adică pornind în același punct, și formăm paralelogramul

care are laturile egale cu A și B.

Atunci vectorul sumă S va fi diagonala paralelogramului

ce pleacă din același punct ca și vectorii originali.

Pentru a forma vectorul diferență observăm că diferența doi vectori

A minus B în cazul acesta este de fapt același lucru ca suma lor

în sensul că A minus B este egal cu A plus minus B.

Deci formăm vectorul minus B care este egal în magnitudine cu B,

are aceeași direcție, adică dreaptă de suport, dar sens contrar.

Deci A minus B va fi diagonala paralelogramului

cu o latură egală cu minus B.

Observăm că în paralelogramul original vectorul diferență D

este diagonala mică a paralelogramului.

Există două metode alternative foarte similare cu metoda paralelogramului,

dar pot fi folosite în loc.

Și anume, pentru adunare putem folosi metoda anumită cap-coadă

în care cei doi vectori de adunat A și B sunt puși coadă la cap,

adică alegem latura opusă pentru B,

deci această latură este tot vectorul B,

dar punem vectorul B cu coada la capul vectorului A,

și atunci suma S completează triunghiul.

Deci metoda cap-coadă presupune punerea celor doi vectori

cu coada celui de al doilea la capul primului vector,

deci A și B sunt acești doi vectori,

și atunci vectorul sumă va completa triunghiul format de A și B.

Pentru diferență putem folosi metoda coadă-coadă,

care din nou se vede în metoda paralelogramului,

deci punem vectorii de scăzut A și B coadă la coadă

și atunci vectorul diferență va completa triunghiul.

Deci dacă luăm vectorul A,

punem vectorul B cu coada la coada vectorului A,

deci avem A și B,

și atunci vectorul diferență D va completa triunghiul.

Vârful vectorului D corespunde cu vârful primului vector din diferență,

în cazul acesta vectorul A.

Să dăm un exemplu intuitiv al acestor operații cu vector.

Să considerăm că doriți să ajungeți în Frankfurt plecând din București.

O metodă de a face acest lucru este de a lua un zbor Lufthansa,

să notăm această metodă de zbor cu 1,

dar în același timp puteți ajunge în Frankfurt luând un zbor Tarom.

Zborul Tarom face o escală în Cluj,

deci veți ajunge în Frankfurt întâi zburând de la București la Cluj,

notăm acest vector cu 2,

și apoi din Cluj la Frankfurt, pe care îl notăm cu 3.

Se poate observa imediat că suma vectorilor 2 și 3

este egală cu vectorul 1.

Aceasta deoarece cei doi vectori sunt coadă la cap,

iar vectorul 1 completează triunghiul.

Interpretarea intuitivă fiind că

cei trei vectori dau două metode alternative

de a ajunge în același punct plecând din același punct.

Deci plecând din București ajungem în Frankfurt pe două drumuri,

iar suma vectorilor de pe drumul al doilea va da

același rezultat ca vectorul de pe primul drum.

La fel foarte ușor se poate vedea că vectorul 3

este egal cu diferența dintre vectorul 1 și vectorul 2.

Și interpretarea evidentă fiind că

vectorul diferență ne arată cu cât zboară

cei din Cluj mai puțin decât cei care zboară din București,

care, deși au două alternative de a ajunge în Frankfurt,

vor zbura mai mult.

În operațiile cu vectori, direcția și sensul

sunt la fel de importante ca și magnitudinea.

Pentru a arăta acest lucru important

pe care l-am vom întâlni de multe ori,

să considerăm doi vectori cu aceeași magnitudine,

să zicem 5,

deci o pereche de vectori cu magnitudinea 5

și vom face diferite operații cu ei.

În primul rând să considerăm acești vectori ca fiind coliniari.

Atunci suma celor doi vectori

va da, deci 5 plus 5,

va da 10 în cazul în care ei sunt luați

cu același sens.

Deci în acest caz, 5 plus 5

da 10.

Dar putem să luăm vectorii

ca având sensuri opuse.

Deci 5 plus 5, din nou, dar sensurile

celor doi vectori

sunt contrare.

În acest caz, suma va da 0.

Deci 5 plus 5, în acest caz,

este egal cu 0.

Putem să luăm acești doi vectori ca fiind ortogonali.

Pentru a face suma lor, folosim metoda

cap-coadă, deci punem cel de-al doilea vector

cu coada la capul primului vector

și luăm un unghi de 90 de grade între ei

aceasta înseamnă că sunt ortogonali, deci avem cei doi vectori

și suma lor este

ipotenuză. Deci vectorul sumă este acesta

și el poate fi calculat cu teorema

Pitagora care spune

că ipotenuza

la pătrat, Pitagora

care spune că ipotenuza

la pătrat, deci S pătrat, este egală cu suma

catetelor la pătrat, deci 5 pătrat

plus 5 la pătrat.

Rezultă că, în acest caz,

suma celor doi vectori, 5 plus 5

va da 7.07

vectorial. Deci 5 plus 5

sumă vectorială poate da

7.07.

La fel putem vedea

pentru scădere în cazul

vectorilor coliniari

că diferența

dă rezultate foarte diferite în funcție

de orientarea și sensul, direcția

și sensul celor doi vectori. Deci 5 minus 5

când vectorii au același sens

dă mod evident 0

deci 5 minus 5

este egal cu 0, dar la fel de bine

dacă cei doi vectori au orientări

contrare, sensuri contrare

aceeași direcție, dar sens

contrar, deci

cel de-al doilea vector

are sens contrar, atunci

obținem o diferență egală cu 10.

Deci 5 minus 5

poate fi egal cu 10.

Și pentru vectori

ortogonali punem cei doi vectori

de scăzut coadă la coadă

Vă reamintesc, scăderea se face prin metoda

coadă la coadă, un unghi de 90 de grade

doi vectori cu magnitudinea 5

și vectorul diferență este ipotenuza

și aplicând metoda Pitagora

obținem la fel că 5 minus 5

pentru vectori ortogonali dă

7,07 vector

Deci folosind doi vectori

cu aceeași magnitudine sau modul

și anume 5, putem obține pentru adunarea

și scăderea lor rezultate foarte diferite

în funcție de

direcția și sensul celor doi vectori

Să introducem viteza unui mobil

aflat pe o traiectorie rectilinie

de-a lungul coordonatei X

deci ne aflam pe axa de coordonate OX

aleasă de-a lungul traiectoriei

Dacă acest mobil trece prin punctul A

aflat în poziția X1 la momentul T1

și prin punctul B

aflat în poziția X2

la momentul T2, putem defini

viteza medie a mobilului pe segmentul

AB al traiectoriei ca fiind

delta X, adică X2 minus X1

împărțit la delta T, adică T2 minus T1

Să observăm că dacă

luăm mai multe puncte de-a lungul acestei traiectoriei

notate aici cu C, D și E, de exemplu

viteza medie pe

varii segmente ale traiectoriei este în general

diferită pentru că de obicei

mișcarea este neuniformă, adică

mai înceată sau mai rapidă pe varii segmente ale traiectoriei

Aceasta este o problemă dacă dorim

să definim viteza momentană

la un moment dat T. Deci dacă considerăm

un moment dat T de-a lungul traiectoriei

și vrem să definim viteza exact

în acest punct, nu putem

deoarece viteza medie este definită pentru un interval

în jurul momentului T

interval în care, în mod uzual, viteza variază

nu avem o singură valoare pentru acest V

la momentul T. Deci pentru a rezolva

această problemă trebuie să considerăm

punctele sau momentele T1 și T2

ce încadrează momentul T

astfel încât delta T să fie

foarte mică, acest interval temporal să tindă

către 0. Pentru că atunci nu mai avem

de a face cu o variație a vitezei în acest

interval, valoarea vitezei

e unică, deci definită,

și putem introduce viteza momentană

la momentul T, definită ca și

viteza medie, dar cu

specificarea foarte importantă că delta T

tinde către 0. Pentru a

introduce

viteza, în cazul mai general,

treidimensional, facem extensia simplă

vectorul viteză medie

pe același sector AB, dar al unei traiectorii

treidimensionale în acest caz, va fi

definit ca delta R

pe delta T, adică

R2-R1, diferența dintre

vectorii poziție la cele două momente

T2 și T1

împărțit la diferența dintre T2 și T1.

Bineînțeles, această diferență este o diferență

vectorială. La fel se introduce și

vectorul viteză momentană

ca fiind delta R

împărțit la delta T,

dar cu delta T tinde la 0.

Să considerăm un alt caz, cel al

traiectoriei curbiliniei.

Deci, pentru traiectoria curbiliniei

în particular în acest desen

considerăm o traiectorie circulară.

Vectorul poziției a varii

descrie varii poziții

pe acest cerc

corespunzând variilor momente

T1 și T2 în acest caz.

Dacă delta T tinde

către 0,

atunci cei doi vectori

R1 și R2 se apropie foarte mult

pentru că distanța

dintre cele două poziții

scade și

atunci vectorul R

din mijlocul acestui

segment de cerc

va fi

perpendicular pe

delta R.

Deci pentru delta T tinde

către 0, R1 și R2 se apropie foarte mult

unul de celălalt devenind un vector R

care devine perpendicular pe R.

Dar viteza la momentul T

este definită

ca delta R pe delta T.

Deci în concluzie

viteza momentană la momentul T

este perpendicular

pe vectorul poziției

la acel moment T.

În consecință, dacă acesta este

vectorul R la momentul T, viteza

la momentul T

va fi tangentă

la cerc în raza

descrisă de R de T.

Magnitudinea

vitezei momentane V de T

este definită tot prin delta R

împărțită la delta T.

Deci magnitudinea vectorului

este magnitudinea acestei diferențe.

Pentru accelerație

dăm formulele directe

fără a mai

explica foarte mult

pentru că ideea este aceeași.

Accelerația pe un segment AB

de dreaptă este viteza de variație

a vitezei, deci delta V împărțit la delta T

pe acel segment AB.

Accelerația momentană se definește

identic ca viteza momentană, este viteza

de variație a vitezei, deci delta V

pe delta T, dar cu un delta T

tinzând către 0. Iar extensia

pentru cazul treidimensional, deci pentru vector

este imediată

AM, accelerația medie

vectorială pe segmentul AB, este

definită ca delta V vector

împărțită la delta T, deci diferența

celor doi vectori viteză

V1-V2 împărțit la delta T

iar accelerația

momentană este definită ca

delta V împărțită la delta T

cu delta T tinzând către 0.

Deschide transcriptul lecției: Operaţii cu vectori. Viteza şi acceleraţia. →

Continuă cu testul

Test de evaluare pentru viteza şi acceleraţia.

Comentarii (1)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

I

iuliaelisa15 9 ani în urmă

Ce înseamnă vectorul deplasare?distanta

|

V

VasileMih 9 ani în urmă

Vectorul deplasare este vectorul cu originea în poziția inițială și vârful în cea finală. Deplasarea nu este același lucru cu distanța parcursă. Traiectoria poate fi una curbilinie sau sub forma unei lini frânte (vezi exemplele din film), dar vectorul deplasare va fi întotdeauna un segment de dreaptă orientat de la poziția inițială la cea finală.Modulul vectorului deplasare este egal cu distanța parcursă doar în cazul mișcării rectilinii, adică a mișcării în line dreaptă.