Operaţii cu vectori. Viteza şi acceleraţia. — Transcript

În cea de-a doua lecție de mecanică newtoniană
vom vorbi despre operații cu vectori și apoi despre viteză și accelerații.
În lecția trecută am introdus noțiunea de vectori și proprietățile ei.
Vom vorbi acum despre adunarea vectorilor și scăderea lor.
Să luăm doi vectori A și B și să construim suma lor S și diferența lor D.
La început folosim metoda paralelogramul.
Primul pas este punerea celor doi vectori, A și B, coadă la coadă,
adică pornind în același punct, și formăm paralelogramul
care are laturile egale cu A și B.
Atunci vectorul sumă S va fi diagonala paralelogramului
ce pleacă din același punct ca și vectorii originali.
Pentru a forma vectorul diferență observăm că diferența doi vectori
A minus B în cazul acesta este de fapt același lucru ca suma lor
în sensul că A minus B este egal cu A plus minus B.
Deci formăm vectorul minus B care este egal în magnitudine cu B,
are aceeași direcție, adică dreaptă de suport, dar sens contrar.
Deci A minus B va fi diagonala paralelogramului
cu o latură egală cu minus B.
Observăm că în paralelogramul original vectorul diferență D
este diagonala mică a paralelogramului.
Există două metode alternative foarte similare cu metoda paralelogramului,
dar pot fi folosite în loc.
Și anume, pentru adunare putem folosi metoda anumită cap-coadă
în care cei doi vectori de adunat A și B sunt puși coadă la cap,
adică alegem latura opusă pentru B,
deci această latură este tot vectorul B,
dar punem vectorul B cu coada la capul vectorului A,
și atunci suma S completează triunghiul.
Deci metoda cap-coadă presupune punerea celor doi vectori
cu coada celui de al doilea la capul primului vector,
deci A și B sunt acești doi vectori,
și atunci vectorul sumă va completa triunghiul format de A și B.
Pentru diferență putem folosi metoda coadă-coadă,
care din nou se vede în metoda paralelogramului,
deci punem vectorii de scăzut A și B coadă la coadă
și atunci vectorul diferență va completa triunghiul.
Deci dacă luăm vectorul A,
punem vectorul B cu coada la coada vectorului A,
deci avem A și B,
și atunci vectorul diferență D va completa triunghiul.
Vârful vectorului D corespunde cu vârful primului vector din diferență,
în cazul acesta vectorul A.
Să dăm un exemplu intuitiv al acestor operații cu vector.
Să considerăm că doriți să ajungeți în Frankfurt plecând din București.
O metodă de a face acest lucru este de a lua un zbor Lufthansa,
să notăm această metodă de zbor cu 1,
dar în același timp puteți ajunge în Frankfurt luând un zbor Tarom.
Zborul Tarom face o escală în Cluj,
deci veți ajunge în Frankfurt întâi zburând de la București la Cluj,
notăm acest vector cu 2,
și apoi din Cluj la Frankfurt, pe care îl notăm cu 3.
Se poate observa imediat că suma vectorilor 2 și 3
este egală cu vectorul 1.
Aceasta deoarece cei doi vectori sunt coadă la cap,
iar vectorul 1 completează triunghiul.
Interpretarea intuitivă fiind că
cei trei vectori dau două metode alternative
de a ajunge în același punct plecând din același punct.
Deci plecând din București ajungem în Frankfurt pe două drumuri,
iar suma vectorilor de pe drumul al doilea va da
același rezultat ca vectorul de pe primul drum.
La fel foarte ușor se poate vedea că vectorul 3
este egal cu diferența dintre vectorul 1 și vectorul 2.
Și interpretarea evidentă fiind că
vectorul diferență ne arată cu cât zboară
cei din Cluj mai puțin decât cei care zboară din București,
care, deși au două alternative de a ajunge în Frankfurt,
vor zbura mai mult.
În operațiile cu vectori, direcția și sensul
sunt la fel de importante ca și magnitudinea.
Pentru a arăta acest lucru important
pe care l-am vom întâlni de multe ori,
să considerăm doi vectori cu aceeași magnitudine,
să zicem 5,
deci o pereche de vectori cu magnitudinea 5
și vom face diferite operații cu ei.
În primul rând să considerăm acești vectori ca fiind coliniari.
Atunci suma celor doi vectori
va da, deci 5 plus 5,
va da 10 în cazul în care ei sunt luați
cu același sens.
Deci în acest caz, 5 plus 5
da 10.
Dar putem să luăm vectorii
ca având sensuri opuse.
Deci 5 plus 5, din nou, dar sensurile
celor doi vectori
sunt contrare.
În acest caz, suma va da 0.
Deci 5 plus 5, în acest caz,
este egal cu 0.
Putem să luăm acești doi vectori ca fiind ortogonali.
Pentru a face suma lor, folosim metoda
cap-coadă, deci punem cel de-al doilea vector
cu coada la capul primului vector
și luăm un unghi de 90 de grade între ei
aceasta înseamnă că sunt ortogonali, deci avem cei doi vectori
și suma lor este
ipotenuză. Deci vectorul sumă este acesta
și el poate fi calculat cu teorema
Pitagora care spune
că ipotenuza
la pătrat, Pitagora
care spune că ipotenuza
la pătrat, deci S pătrat, este egală cu suma
catetelor la pătrat, deci 5 pătrat
plus 5 la pătrat.
Rezultă că, în acest caz,
suma celor doi vectori, 5 plus 5
va da 7.07
vectorial. Deci 5 plus 5
sumă vectorială poate da
7.07.
La fel putem vedea
pentru scădere în cazul
vectorilor coliniari
că diferența
dă rezultate foarte diferite în funcție
de orientarea și sensul, direcția
și sensul celor doi vectori. Deci 5 minus 5
când vectorii au același sens
dă mod evident 0
deci 5 minus 5
este egal cu 0, dar la fel de bine
dacă cei doi vectori au orientări
contrare, sensuri contrare
aceeași direcție, dar sens
contrar, deci
cel de-al doilea vector
are sens contrar, atunci
obținem o diferență egală cu 10.
Deci 5 minus 5
poate fi egal cu 10.
Și pentru vectori
ortogonali punem cei doi vectori
de scăzut coadă la coadă
Vă reamintesc, scăderea se face prin metoda
coadă la coadă, un unghi de 90 de grade
doi vectori cu magnitudinea 5
și vectorul diferență este ipotenuza
și aplicând metoda Pitagora
obținem la fel că 5 minus 5
pentru vectori ortogonali dă
7,07 vector
Deci folosind doi vectori
cu aceeași magnitudine sau modul
și anume 5, putem obține pentru adunarea
și scăderea lor rezultate foarte diferite
în funcție de
direcția și sensul celor doi vectori
Să introducem viteza unui mobil
aflat pe o traiectorie rectilinie
de-a lungul coordonatei X
deci ne aflam pe axa de coordonate OX
aleasă de-a lungul traiectoriei
Dacă acest mobil trece prin punctul A
aflat în poziția X1 la momentul T1
și prin punctul B
aflat în poziția X2
la momentul T2, putem defini
viteza medie a mobilului pe segmentul
AB al traiectoriei ca fiind
delta X, adică X2 minus X1
împărțit la delta T, adică T2 minus T1
Să observăm că dacă
luăm mai multe puncte de-a lungul acestei traiectoriei
notate aici cu C, D și E, de exemplu
viteza medie pe
varii segmente ale traiectoriei este în general
diferită pentru că de obicei
mișcarea este neuniformă, adică
mai înceată sau mai rapidă pe varii segmente ale traiectoriei
Aceasta este o problemă dacă dorim
să definim viteza momentană
la un moment dat T. Deci dacă considerăm
un moment dat T de-a lungul traiectoriei
și vrem să definim viteza exact
în acest punct, nu putem
deoarece viteza medie este definită pentru un interval
în jurul momentului T
interval în care, în mod uzual, viteza variază
nu avem o singură valoare pentru acest V
la momentul T. Deci pentru a rezolva
această problemă trebuie să considerăm
punctele sau momentele T1 și T2
ce încadrează momentul T
astfel încât delta T să fie
foarte mică, acest interval temporal să tindă
către 0. Pentru că atunci nu mai avem
de a face cu o variație a vitezei în acest
interval, valoarea vitezei
e unică, deci definită,
și putem introduce viteza momentană
la momentul T, definită ca și
viteza medie, dar cu
specificarea foarte importantă că delta T
tinde către 0. Pentru a
introduce
viteza, în cazul mai general,
treidimensional, facem extensia simplă
vectorul viteză medie
pe același sector AB, dar al unei traiectorii
treidimensionale în acest caz, va fi
definit ca delta R
pe delta T, adică
R2-R1, diferența dintre
vectorii poziție la cele două momente
T2 și T1
împărțit la diferența dintre T2 și T1.
Bineînțeles, această diferență este o diferență
vectorială. La fel se introduce și
vectorul viteză momentană
ca fiind delta R
împărțit la delta T,
dar cu delta T tinde la 0.
Să considerăm un alt caz, cel al
traiectoriei curbiliniei.
Deci, pentru traiectoria curbiliniei
în particular în acest desen
considerăm o traiectorie circulară.
Vectorul poziției a varii
descrie varii poziții
pe acest cerc
corespunzând variilor momente
T1 și T2 în acest caz.
Dacă delta T tinde
către 0,
atunci cei doi vectori
R1 și R2 se apropie foarte mult
pentru că distanța
dintre cele două poziții
scade și
atunci vectorul R
din mijlocul acestui
segment de cerc
va fi
perpendicular pe
delta R.
Deci pentru delta T tinde
către 0, R1 și R2 se apropie foarte mult
unul de celălalt devenind un vector R
care devine perpendicular pe R.
Dar viteza la momentul T
este definită
ca delta R pe delta T.
Deci în concluzie
viteza momentană la momentul T
este perpendicular
pe vectorul poziției
la acel moment T.
În consecință, dacă acesta este
vectorul R la momentul T, viteza
la momentul T
va fi tangentă
la cerc în raza
descrisă de R de T.
Magnitudinea
vitezei momentane V de T
este definită tot prin delta R
împărțită la delta T.
Deci magnitudinea vectorului
este magnitudinea acestei diferențe.
Pentru accelerație
dăm formulele directe
fără a mai
explica foarte mult
pentru că ideea este aceeași.
Accelerația pe un segment AB
de dreaptă este viteza de variație
a vitezei, deci delta V împărțit la delta T
pe acel segment AB.
Accelerația momentană se definește
identic ca viteza momentană, este viteza
de variație a vitezei, deci delta V
pe delta T, dar cu un delta T
tinzând către 0. Iar extensia
pentru cazul treidimensional, deci pentru vector
este imediată
AM, accelerația medie
vectorială pe segmentul AB, este
definită ca delta V vector
împărțită la delta T, deci diferența
celor doi vectori viteză
V1-V2 împărțit la delta T
iar accelerația
momentană este definită ca
delta V împărțită la delta T
cu delta T tinzând către 0.

Transcript: Operaţii cu vectori. Viteza şi acceleraţia.