Mişcarea rectilinie uniform variată: ecuaţia de mişcare şi relaţia Galilei.

În cea de-a treia lecție de mecanică newtoniană

vom discuta despre mișcarea rectilinei uniform-variată.

Să începem cu definiția acestei mișcări.

Mișcarea rectilinei uniform-variată a unui mobil

are loc atunci când traiectoria sa este rectiline

și vectorul accelerației este constant.

De aici vine numele de mișcare uniform-variată

și anume viteza unei astfel de mișcări se schimbă în timp,

dar la o rată de schimbare constantă,

deci a crește sau scade uniform în timp,

deci uniform-variat.

Din definiția accelerației medii pe care am dat-o în lecția trecută

putem scrie că accelerația medie

este egală cu viteza finală minus viteza inițială

împărțită la momentul final minus momentul inițial al mișcării

și, în concluzie, această cantitate este o constantă

în cazul mișcării despre care vorbim.

Amintesc că, în general, această accelerație medie

este o funcție de delta T.

În cazul mișcării rectilinei uniform-variate

această dependență nu mai are loc.

Dacă alegem sistemul de referință

astfel încât T0 să fie egal cu 0,

deci nu mai avem un moment inițial în acea ecuație,

obținem direct din această relație

legea vitezi și anume V

ca funcție de timp este egal cu V0 plus A mulțit cu T.

Important de notat în această ecuație

este că singura variabilă în partea dreaptă a relației

este timpul T, V0 și A fiind două constante.

Iarăși, important de notat este că avem două tipuri de mișcări

care corespund unui semn pozitiv al accelerației

sau unui semn negativ al accelerației.

Mișcarea în care accelerația este pozitivă se numește accelerată.

Iar cea în care accelerația este negativă se numește decelerată

sau frânată.

Următorul pas este deducerea

legii de mișcare

sau ecuației de mișcare, adică a dependenței

poziției X de timp.

Pentru aceasta pornim de la definiția vitezii medii

care a fost dată și ea în lecția trecută și anume viteza medie

care este o funcție de ∆T

este ∆X împărțit la ∆T.

Reamintesc, ∆X este X-X0

și ∆T este T-T0

dar în cazul nostru am considerat că T0 este egal cu 0.

Deci ∆T este T.

În concluzie obținem că X este egal cu X0

plus produsul dintre viteza medie care este o funcție

de ∆T și T.

Această ecuație nu poate fi considerată încă

o ecuație de mișcare

pentru că într-o ecuație de mișcare am avea

în partea dreaptă a ecuației

toți termenii mai puțin timpul

ca și constante.

Pentru a obține o adevărată ecuație de mișcare

adică explicită, trebuie să calculăm

viteza medie ca funcție de timp

și să o înlocuim în această ecuație.

Pentru a face acest lucru dăm o teoremă

imediat pe care nu o voi demonstra

ci numai o voi formula și apoi o voi folosi

pentru a calcula această viteză medie.

Totuși, la sfârșitul acestei lecții

voi face câteva comentarii apropo de această teoremă.

Deci, enunțarea unei teoreme.

Valoarea medie a unei funcții f de x

în intervalul x1, x2

este dată de această formulă fm

care este o valoare, un număr, valoarea media

a funcției f de x în intervalul x1, x2

egal cu a, unde a este area delimitată

de funcție și ax sau x

între valorile x1 și x2 unde calculăm media

și diferența dintre x2 și x1.

Deoarece imediat voi folosi această teoremă

pentru a calcula viteza medie

nu mai dau niciun alt exemplu

pentru această teoremă matematică.

Vom vedea cum funcționează ea și cum se aplică

direct pentru cazul nostru

și anume unde funcția f de x este de fapt v de t.

Deci, pentru a obține ecuația de mișcare

folosim această teoremă.

Știm că, și am demonstrat că

legea vitezei este v de t

egal cu v₀ plus a t

unde din nou v₀ și a sunt două constante.

Acest grafic arată această dependență

a legii vitezei

și anume, pe axa verticală avem viteza

măsurată în metrii pe secundă

pe axa orizontală avem timpul măsurat în secunde

iar această dreaptă

este funcția noastră

și anume v de t

este egal cu v₀ plus a t

avem o dependență liniară de timp

care, la momentul 0, t egal cu 0

vedem că v este egal cu v₀

deci, la timpul 0

funcția trece prin punctul v₀

și apoi avem o pantă

care este dată de accelerația constantă a.

Și apoi aplicăm direct

teorema pe care am prezentat-o

în acest caz. Deci funcția noastră f de x

din acea teoremă este v de t

deci vom avea f

care corespunde funcției noastre viteză

iar coordonata x corespunde

coordonatei noastre t, argumentului t

timpul.

Intervalul pe care facem

calculul vitezei medii

corespunde lui x₁ care este

t₀ egal cu 0

și x₂ va corespunde momentului final

t. Deci facem

înlocuirile tuturor

acestor relații de substituție

în relația noastră pentru

valoarea medie a funcției f. Deci valoarea medie

a vitezei este egală

cu area de subgrafic pe care o voi arăta imediat

împărțită la x₂-x₁

care în cazul nostru va fi t-0

deci împărțit la t. Area de subgrafic

este area de subgraficul

funcției noastre care este

v de t în intervalul în care vrem să calculăm

media și anume 0t.

Deci este area pe care o hașurez eu acum

area de subgrafic

în intervalul considerat

0t în cazul nostru. Deci viteza

medie este area hașurată împărțită la

timpul t.

Observăm că area hașurată

este un trapez dreptunghic

asta deoarece avem unghiuri de 90 de grade

în aceste două puncte

și area unui trapez dreptunghic

din geometrie știm că este egală

cu suma dintre baza mare

a trapezului și baza mică

înmulțită cu înălțimea

trapezului împărțit la 2.

În cazul graficului nostru

baza mare este v

viteza finală

baza mică este v0

viteza inițială și înălțimea este timpul

trecut. Deci

area este v plus v0

înmulțit cu timp împărțit la 2.

Deci viteza medie se va obține împărțind

această relație

la t.

În concluzie, viteza medie va fi

v plus v0 împărțit la 2.

Ne aducem aminte că ultima relație

pentru ecuația de mișcare pe care o aveam

era x egal cu x0 plus vm

înmulțit cu timpul. Și tot acest exercițiu

care l-am făcut până acum este pentru a scrie

o ecuație explicită

pentru viteza medie. Deci facem substituția

și obținem că x este egal cu x0

plus v0 plus v împărțit la 2

înmulțit cu timpul. Și în fine știm

că v

de aici depinde

de timp

printr-o lege dată de legea vitezi

și anume v0 plus at.

Făcând această substituție finală

aici, obținem că x

este egal cu x0

plus v0 pentru că avem 2 de v0

și deci împărțit la 2 va da v0

înmulțit cu timpul și în final

plus jumătate din a înmulțit cu timpul

la pătrat. Aceasta este ecuația de mișcare

pentru mișcarea rectiliniei uniform-variat.

Vom continua cu deducerea relației Galilei.

Până acum am găsit

vari legi pentru mișcarea rectiliniei

uniform-variat, în care singura variabilă

explicită era timpul, celălalt

fiind constant. În relația Galilei

eliminăm timpul din legea vitezei

și ecuația de mișcare pentru a obține

o dependență vitezei de distanța parcursă.

Reamintesc, legea vitezei

era vdt, ca funcție de t

este egal cu v0 plus at

unde din nou singura variabilă

este timpul t, v0 și a sunt constante

iar viteza medie

era definită ca delta x

împărțit la delta t

unde delta t în cazul nostru era egal

cu timpul t pentru că am ales un sistem

de referință în care t0 era egal cu 0.

Și procedăm la eliminarea timpului din această ecuație.

Pentru prima parte a ecuației, delta x

egal cu viteza medie ori timpul

vedem că o putem obține direct din

definiția vitezei medii.

Delta x egal cu viteza medie mulți cu timpul.

Viteza medie, tocmai am dedus-o

pentru acest tip de mișcare și este

v plus v0 împărțit la 2.

Deci delta x este egal cu v plus v0 împărțit la 2 mulți cu timpul.

Și în sfârșit, din

legea vitezei v egal cu v0

plus a or t, eliminăm timpul.

Deci timpul este v minus v0

împărțit la a, care este

ultimul termen din această ecuație.

În concluzie putem scrie că

2a împărțit cu delta x

este egal cu acest produs

de la numărător

care este v pătrat

minus v0 pătrat. Și în final

putem obține așa numita relație Galilei

care spune că viteza la pătrat

este egală cu viteza inițială la pătrat

plus 2a

or delta x. Delta x este mișcarea

efectuată între cele două momente,

t0 și t.

Un tip particular de mișcare uniform

variată este mișcarea uniform încetinită.

Ea este mișcarea rectilinie frânată

cu accelerație constantă.

Deci scrind explicit faptul că

accelerația este negativă. Asta înseamnă

decelerat sau frânată. Scriem că a este egal cu minus

modulului a. Acest minus

arată explicit faptul că

accelerația este negativă.

Să calculăm timpul de oprire

într-o mișcare uniform frânată.

Pentru aceasta punem condiția

ca viteza finală să fie egal cu 0. Asta înseamnă oprire.

Ne-am oprit, viteza finală este 0.

Punând v egal cu 0

în legea vitezei, aceasta de sus,

deci v final este 0,

obținem că v0 plus a

care devine minus modul din a

înmulțit cu timpul, în acest caz timpul de oprire

este egal cu 0. Deci obținem

că timpul de oprire într-o mișcare uniform

frânată sau încetinită este viteza

inițială împărțită la modulul accelerației.

Pentru a calcula distanța de oprire

punem aceeași condiție și anume v egal cu 0

viteza finală egal cu 0 în relația

Galilei și obținem că viteza

inițială la pătrat minus

modul din a

deci 2 modul din a

înmulțit cu distanța de oprire

este egal cu 0. Deci

distanța de oprire este viteza

inițială la pătrat împărțit la 2 ori

modulului a.

Și în sfârșit v-am promis o

discuție în legătură cu teorema

din această lecție.

În încercarea de a dezvolta teoria mecanicii

clasice Newton a remarcat că există

câteva tipuri de probleme ce nu pot fi modelate

cu ajutorul matematicii existente pe vremea lui.

Aceiași tip de probleme o aveți și dumneavoastră

acum pentru că

în clasa noua când se face

mecanica clasică există anumite

noțiuni de matematică ce vor fi făcute în clasa

12-a care sunt foarte utile

în dezvoltarea modelelor cinematici.

Despre ce vorbim?

Primul tip de mărimi

pentru care avem nevoie de o matematică

mai evoluată sunt așa numitele mărimi momentane

raportate la o variație infinitezimală x.

Mai exact ați întâlnit astfel

de mărimi. Delta y împărțit la delta x

cu delta x tinzând către 0

sau infinitezimal sau foarte mic.

În lecția trecută în special în definirea

vitezii medii

viteza medie, accelerația medie

dar și mai mult

viteza momentană și accelerația

momentană erau definite

folosind acest concept de variație

infinitezimală.

Când această variație

este suficient de mică? Când delta t

este suficient de mic?

Nu am discutat acest subiect

ci nu mai am prezentat conceptul în general

și am trecut mai departe.

Această problemă

este rezolvată în

analiza matematică sau calculul

diferențial notând această cantitate

cu așa numită

derivată dy

la dx

și în felul acesta dezvoltând întregul

aparat matematic care adresează

problemele legate de variații

infinitezimale.

Un alt set, un al doilea set de mărimi pe care

Newton le-a întâlnit

și pentru care nu avea o soluție matematică

sunt mărimile medii

ale unei mărimi y ce variază continuu

într-un interval x1, x2.

Deci, cum am avut

y de x sau

în practică v de t

viteza era o mărime ce varia continuu

în funcție de timpul t într-un interval

0t și pentru aceste mărimi

trebuie calculate mărimi medii

pentru un interval dat.

Pentru aceste mărimi

analiza matematică introduce

integrala, conceptul de integrală

deci această mărime medie

este integrala de la x1 la x2

din y de x de x.

Nu trebuie, bineînțeles,

să știți în clasa 9

nici derivata, nici integrala

vor fi făcute în clasa 12

dar ar fi util

să știți de unde vin

anumite concepte de matematică legate de cinematică.

Și în final, ca un comentariu revenind la Newton

în încercarea sa reușită de a găsi

legile mecanicii clasice, a cinematicii

în acest caz, a fost nevoit să dezvolte

o nouă ramură a matematicii împreună cu

alți avanțe vremii sale. Deci Newton

încercând să

dezvolte legile cinematici până la

capăt a fost nevoit să dezvolte primele

versiune ale calculului infinitezimal

derivate și a calculului integral

pentru a calcula

până la capăt mărimile cinematici.

Analiza matematică, deci aceste concepte de matematică

se studiază în clasa 12.