Transcript: Mişcarea rectilinie uniform variată: ecuaţia de mişcare şi relaţia Galilei.

În cea de-a treia lecție de mecanică newtoniană
vom discuta despre mișcarea rectilinei uniform-variată.
Să începem cu definiția acestei mișcări.
Mișcarea rectilinei uniform-variată a unui mobil
are loc atunci când traiectoria sa este rectiline
și vectorul accelerației este constant.
De aici vine numele de mișcare uniform-variată
și anume viteza unei astfel de mișcări se schimbă în timp,
dar la o rată de schimbare constantă,
deci a crește sau scade uniform în timp,
deci uniform-variat.
Din definiția accelerației medii pe care am dat-o în lecția trecută
putem scrie că accelerația medie
este egală cu viteza finală minus viteza inițială
împărțită la momentul final minus momentul inițial al mișcării
și, în concluzie, această cantitate este o constantă
în cazul mișcării despre care vorbim.
Amintesc că, în general, această accelerație medie
este o funcție de delta T.
În cazul mișcării rectilinei uniform-variate
această dependență nu mai are loc.
Dacă alegem sistemul de referință
astfel încât T0 să fie egal cu 0,
deci nu mai avem un moment inițial în acea ecuație,
obținem direct din această relație
legea vitezi și anume V
ca funcție de timp este egal cu V0 plus A mulțit cu T.
Important de notat în această ecuație
este că singura variabilă în partea dreaptă a relației
este timpul T, V0 și A fiind două constante.
Iarăși, important de notat este că avem două tipuri de mișcări
care corespund unui semn pozitiv al accelerației
sau unui semn negativ al accelerației.
Mișcarea în care accelerația este pozitivă se numește accelerată.
Iar cea în care accelerația este negativă se numește decelerată
sau frânată.
Următorul pas este deducerea
legii de mișcare
sau ecuației de mișcare, adică a dependenței
poziției X de timp.
Pentru aceasta pornim de la definiția vitezii medii
care a fost dată și ea în lecția trecută și anume viteza medie
care este o funcție de ∆T
este ∆X împărțit la ∆T.
Reamintesc, ∆X este X-X0
și ∆T este T-T0
dar în cazul nostru am considerat că T0 este egal cu 0.
Deci ∆T este T.
În concluzie obținem că X este egal cu X0
plus produsul dintre viteza medie care este o funcție
de ∆T și T.
Această ecuație nu poate fi considerată încă
o ecuație de mișcare
pentru că într-o ecuație de mișcare am avea
în partea dreaptă a ecuației
toți termenii mai puțin timpul
ca și constante.
Pentru a obține o adevărată ecuație de mișcare
adică explicită, trebuie să calculăm
viteza medie ca funcție de timp
și să o înlocuim în această ecuație.
Pentru a face acest lucru dăm o teoremă
imediat pe care nu o voi demonstra
ci numai o voi formula și apoi o voi folosi
pentru a calcula această viteză medie.
Totuși, la sfârșitul acestei lecții
voi face câteva comentarii apropo de această teoremă.
Deci, enunțarea unei teoreme.
Valoarea medie a unei funcții f de x
în intervalul x1, x2
este dată de această formulă fm
care este o valoare, un număr, valoarea media
a funcției f de x în intervalul x1, x2
egal cu a, unde a este area delimitată
de funcție și ax sau x
între valorile x1 și x2 unde calculăm media
și diferența dintre x2 și x1.
Deoarece imediat voi folosi această teoremă
pentru a calcula viteza medie
nu mai dau niciun alt exemplu
pentru această teoremă matematică.
Vom vedea cum funcționează ea și cum se aplică
direct pentru cazul nostru
și anume unde funcția f de x este de fapt v de t.
Deci, pentru a obține ecuația de mișcare
folosim această teoremă.
Știm că, și am demonstrat că
legea vitezei este v de t
egal cu v₀ plus a t
unde din nou v₀ și a sunt două constante.
Acest grafic arată această dependență
a legii vitezei
și anume, pe axa verticală avem viteza
măsurată în metrii pe secundă
pe axa orizontală avem timpul măsurat în secunde
iar această dreaptă
este funcția noastră
și anume v de t
este egal cu v₀ plus a t
avem o dependență liniară de timp
care, la momentul 0, t egal cu 0
vedem că v este egal cu v₀
deci, la timpul 0
funcția trece prin punctul v₀
și apoi avem o pantă
care este dată de accelerația constantă a.
Și apoi aplicăm direct
teorema pe care am prezentat-o
în acest caz. Deci funcția noastră f de x
din acea teoremă este v de t
deci vom avea f
care corespunde funcției noastre viteză
iar coordonata x corespunde
coordonatei noastre t, argumentului t
timpul.
Intervalul pe care facem
calculul vitezei medii
corespunde lui x₁ care este
t₀ egal cu 0
și x₂ va corespunde momentului final
t. Deci facem
înlocuirile tuturor
acestor relații de substituție
în relația noastră pentru
valoarea medie a funcției f. Deci valoarea medie
a vitezei este egală
cu area de subgrafic pe care o voi arăta imediat
împărțită la x₂-x₁
care în cazul nostru va fi t-0
deci împărțit la t. Area de subgrafic
este area de subgraficul
funcției noastre care este
v de t în intervalul în care vrem să calculăm
media și anume 0t.
Deci este area pe care o hașurez eu acum
area de subgrafic
în intervalul considerat
0t în cazul nostru. Deci viteza
medie este area hașurată împărțită la
timpul t.
Observăm că area hașurată
este un trapez dreptunghic
asta deoarece avem unghiuri de 90 de grade
în aceste două puncte
și area unui trapez dreptunghic
din geometrie știm că este egală
cu suma dintre baza mare
a trapezului și baza mică
înmulțită cu înălțimea
trapezului împărțit la 2.
În cazul graficului nostru
baza mare este v
viteza finală
baza mică este v0
viteza inițială și înălțimea este timpul
trecut. Deci
area este v plus v0
înmulțit cu timp împărțit la 2.
Deci viteza medie se va obține împărțind
această relație
la t.
În concluzie, viteza medie va fi
v plus v0 împărțit la 2.
Ne aducem aminte că ultima relație
pentru ecuația de mișcare pe care o aveam
era x egal cu x0 plus vm
înmulțit cu timpul. Și tot acest exercițiu
care l-am făcut până acum este pentru a scrie
o ecuație explicită
pentru viteza medie. Deci facem substituția
și obținem că x este egal cu x0
plus v0 plus v împărțit la 2
înmulțit cu timpul. Și în fine știm
că v
de aici depinde
de timp
printr-o lege dată de legea vitezi
și anume v0 plus at.
Făcând această substituție finală
aici, obținem că x
este egal cu x0
plus v0 pentru că avem 2 de v0
și deci împărțit la 2 va da v0
înmulțit cu timpul și în final
plus jumătate din a înmulțit cu timpul
la pătrat. Aceasta este ecuația de mișcare
pentru mișcarea rectiliniei uniform-variat.
Vom continua cu deducerea relației Galilei.
Până acum am găsit
vari legi pentru mișcarea rectiliniei
uniform-variat, în care singura variabilă
explicită era timpul, celălalt
fiind constant. În relația Galilei
eliminăm timpul din legea vitezei
și ecuația de mișcare pentru a obține
o dependență vitezei de distanța parcursă.
Reamintesc, legea vitezei
era vdt, ca funcție de t
este egal cu v0 plus at
unde din nou singura variabilă
este timpul t, v0 și a sunt constante
iar viteza medie
era definită ca delta x
împărțit la delta t
unde delta t în cazul nostru era egal
cu timpul t pentru că am ales un sistem
de referință în care t0 era egal cu 0.
Și procedăm la eliminarea timpului din această ecuație.
Pentru prima parte a ecuației, delta x
egal cu viteza medie ori timpul
vedem că o putem obține direct din
definiția vitezei medii.
Delta x egal cu viteza medie mulți cu timpul.
Viteza medie, tocmai am dedus-o
pentru acest tip de mișcare și este
v plus v0 împărțit la 2.
Deci delta x este egal cu v plus v0 împărțit la 2 mulți cu timpul.
Și în sfârșit, din
legea vitezei v egal cu v0
plus a or t, eliminăm timpul.
Deci timpul este v minus v0
împărțit la a, care este
ultimul termen din această ecuație.
În concluzie putem scrie că
2a împărțit cu delta x
este egal cu acest produs
de la numărător
care este v pătrat
minus v0 pătrat. Și în final
putem obține așa numita relație Galilei
care spune că viteza la pătrat
este egală cu viteza inițială la pătrat
plus 2a
or delta x. Delta x este mișcarea
efectuată între cele două momente,
t0 și t.
Un tip particular de mișcare uniform
variată este mișcarea uniform încetinită.
Ea este mișcarea rectilinie frânată
cu accelerație constantă.
Deci scrind explicit faptul că
accelerația este negativă. Asta înseamnă
decelerat sau frânată. Scriem că a este egal cu minus
modulului a. Acest minus
arată explicit faptul că
accelerația este negativă.
Să calculăm timpul de oprire
într-o mișcare uniform frânată.
Pentru aceasta punem condiția
ca viteza finală să fie egal cu 0. Asta înseamnă oprire.
Ne-am oprit, viteza finală este 0.
Punând v egal cu 0
în legea vitezei, aceasta de sus,
deci v final este 0,
obținem că v0 plus a
care devine minus modul din a
înmulțit cu timpul, în acest caz timpul de oprire
este egal cu 0. Deci obținem
că timpul de oprire într-o mișcare uniform
frânată sau încetinită este viteza
inițială împărțită la modulul accelerației.
Pentru a calcula distanța de oprire
punem aceeași condiție și anume v egal cu 0
viteza finală egal cu 0 în relația
Galilei și obținem că viteza
inițială la pătrat minus
modul din a
deci 2 modul din a
înmulțit cu distanța de oprire
este egal cu 0. Deci
distanța de oprire este viteza
inițială la pătrat împărțit la 2 ori
modulului a.
Și în sfârșit v-am promis o
discuție în legătură cu teorema
din această lecție.
În încercarea de a dezvolta teoria mecanicii
clasice Newton a remarcat că există
câteva tipuri de probleme ce nu pot fi modelate
cu ajutorul matematicii existente pe vremea lui.
Aceiași tip de probleme o aveți și dumneavoastră
acum pentru că
în clasa noua când se face
mecanica clasică există anumite
noțiuni de matematică ce vor fi făcute în clasa
12-a care sunt foarte utile
în dezvoltarea modelelor cinematici.
Despre ce vorbim?
Primul tip de mărimi
pentru care avem nevoie de o matematică
mai evoluată sunt așa numitele mărimi momentane
raportate la o variație infinitezimală x.
Mai exact ați întâlnit astfel
de mărimi. Delta y împărțit la delta x
cu delta x tinzând către 0
sau infinitezimal sau foarte mic.
În lecția trecută în special în definirea
vitezii medii
viteza medie, accelerația medie
dar și mai mult
viteza momentană și accelerația
momentană erau definite
folosind acest concept de variație
infinitezimală.
Când această variație
este suficient de mică? Când delta t
este suficient de mic?
Nu am discutat acest subiect
ci nu mai am prezentat conceptul în general
și am trecut mai departe.
Această problemă
este rezolvată în
analiza matematică sau calculul
diferențial notând această cantitate
cu așa numită
derivată dy
la dx
și în felul acesta dezvoltând întregul
aparat matematic care adresează
problemele legate de variații
infinitezimale.
Un alt set, un al doilea set de mărimi pe care
Newton le-a întâlnit
și pentru care nu avea o soluție matematică
sunt mărimile medii
ale unei mărimi y ce variază continuu
într-un interval x1, x2.
Deci, cum am avut
y de x sau
în practică v de t
viteza era o mărime ce varia continuu
în funcție de timpul t într-un interval
0t și pentru aceste mărimi
trebuie calculate mărimi medii
pentru un interval dat.
Pentru aceste mărimi
analiza matematică introduce
integrala, conceptul de integrală
deci această mărime medie
este integrala de la x1 la x2
din y de x de x.
Nu trebuie, bineînțeles,
să știți în clasa 9
nici derivata, nici integrala
vor fi făcute în clasa 12
dar ar fi util
să știți de unde vin
anumite concepte de matematică legate de cinematică.
Și în final, ca un comentariu revenind la Newton
în încercarea sa reușită de a găsi
legile mecanicii clasice, a cinematicii
în acest caz, a fost nevoit să dezvolte
o nouă ramură a matematicii împreună cu
alți avanțe vremii sale. Deci Newton
încercând să
dezvolte legile cinematici până la
capăt a fost nevoit să dezvolte primele
versiune ale calculului infinitezimal
derivate și a calculului integral
pentru a calcula
până la capăt mărimile cinematici.
Analiza matematică, deci aceste concepte de matematică
se studiază în clasa 12.