Mişcarea circulară uniformă: mărimi caracteristice, acceleraţia centripetă.

824 vizualizări · 29 voturi

Concepte: Viteza Accelerația

Test: Test de evaluare pentru mişcarea circula...

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

Mișcarea circulară uniformă

Definiție

Mișcarea circulară uniformă este mișcare pe o traiectorie în formă de cerc cu viteza constantă în mărime.

În mișcarea circulară uniformă vectorul viteză își schimbă în permanență orientarea (direcția și sensul), dar modulul vitezei rămâne constant.

$|\vec{v}| = c o n s t .$

Pe timpul mișcării circulare uniforme, mobilul va parcurge arce de cerc egale în intervale de timp egale.

Parametri mișcării circulare uniforme

Mișcarea circulară uniformă este caracterizată de un centru de rotație și o rază de curbură numită și rază vectoare.

Dacă considerăm centrul de curbură O ca punct de referință, atunci raza vectoare coincide cu vectorul de poziție al mobilului.

Raza vectoare este constantă în modul fiind egală cu raza cercului, dar are direcția și sensul dependente de timp.

$|\vec{R}| = |\vec{r} (t)| = R$

Perioada mișcării reprezintă timpul necesar efectuării unei rotații complete.

$T = \frac{Δ t}{N}, u n d e Δ t e s t e i n t e r v a l u l d e t m p, i a r N n u m ă r u l d e r o t a ț i i c o m p l e t e$

Perioada se măsoară în secunde:

$[T] = 1 s .$

Frecvența este numărul de rotații efectuate în unitatea de timp.

$ν = \frac{N}{Δ t}$

Frecvența se măsoară în:

$[ν] = \frac{1}{s} = 1 s^{- 1} = 1 H z (H e r t z)$ .

Observăm că frecvența este inversa perioadei sau:

$T ν = 1$ .

Ecuația abscisei curbilinii

Pentru calculul vitezei ținem cont de faptul că o rotație completă este efectuată într-un interval de timp egal cu perioada de rotație:

$v = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{2 π R}{T}$

sau dacă înlocuim perioada cu frecvența:

$v = \frac{Δ s}{Δ t} = 2 π R ν$

Pornind de la relația vitezei putem deduce o lege de mișcare, numită legea sau ecuația abscisei curbilinii, care descrie distanța parcursă de mobil pe cerc.

Considerând:

$Δ s = s - s_{0} ș i t_{0} = 0$

rezultă,

$s = s_{0} + v t$ .

Viteza unghiulară și ecuația abscisei unghiulare

Observăm că lungimea unui arc de cerc este proporțională cu raza cercului și cu unghiul la centru determinat de arcul de cerc.

Pentru a putea scrie lungimea arcului de cerc în funcție de unghiul la centru se introduce o unitate de măsură pentru unghiuri numită radian (prescurtat rad).

Un radian reprezintă unghiul la centrul unui cerc ce determină pe cerc un arc de cerc cu lungimea egală cu raza cercului.

Pornind de la această defniție rezultă că:

$360 ° \Leftrightarrow 2 π r a d$

Pentru a determina unghiul în radiani folosim relația:

$α [r a d] = 2 π \frac{α [°]}{360 °}$ .

Folosind noua unitate de măsură pentru unghiuri putem scrie:

$Δ s = R \cdot Δ α$

Dacă scriem încă odată relația de definiție a vitezei rezultă:

$v = \frac{Δ s}{Δ t} = R \cdot \frac{Δ α}{Δ t}$

Variația unghiului la centru în unitatea de timp se numește viteză unghiulară:

$ω = \frac{Δ α}{Δ t}$

Unitatea de măsură pentru viteza unghiul ară este:

$[ω] = \frac{[Δ α]}{[Δ t]} = 1 \frac{r a d}{s} = 1 r a d \cdot s^{- 1}$ .

Folosind viteza unghiulară deducem legea sau ecuația abscisei unghiulare.

Considerând:

$Δ α = α - α_{0} ș i t_{0} = 0$

rezultă,

$α = α_{0} + ω t$ .

Accelerația centripetă

În mișcarea circulară uniformă modulul vitezei este constant în timp dar direcția și sensul vitezei sunt dependente de timp.

Mișcarea circulară uniformă este o mișcare accelerată.

Pentru deducerea accelerației considerăm două poziții ale mobilului pe traiectoria sa circulară:

Aceelerația se determină cu relația:

$\vec{a} = \frac{Δ \vec{v}}{Δ t}$

Pentru a calcula variația vitezei, translatăm viteza finală în același punct cu viteza inițială,

Observăm că avem două triunghiuri asemenea, unul determinat de cele două viteze și variașia vitezei și unul determinat de cele două raze vectoare și secanta cercului.

Din asemănare putem scrie:

$\frac{Δ v}{M M_{0}} = \frac{v}{R}$ .

Deoarece vrem să determinăm accelerația instantanee reducem intervalul de timp la unul infinetizimal.

$\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t}, u n d e d t \to 0$

În această situație si secanta devine foarte mică și putem considera că este egală cu lungimea arcului de cerc.

$M M_{0} ≃ \overset{⏜}{M M_{0}} = R Δ α$

Introducem relația în relația de asemănare și calculăm variația vitezei:

$Δ v = v Δ α$

pe care o introducem în relația de calcul a accelerației și rezultă:

$a = v \frac{Δ α}{Δ t} = v ω = ω^{2} R = \frac{v^{2}}{R}$

Vectorul viteza este perpendicular pe raza vectoare, iar variația infinitezimală a vitezei este perpendiculară pe viteză, deci are aceeași direcție cu raza vectoare dar sens opus. Cum accelerația are direcția și sensul vectorului variație a vitezei putem spune că și accelerația are direcția razei vectoare dar sens opus acesteia. Putem scrie aceelearația, pe care o numim accelerație centripetă:

$\vec{a_{c p}} = - ω^{2} \vec{R}$ .

Deschide pagina de teorie: Mişcarea circulară uniformă: mărimi caracteristice... →

În cea de-a patra lecție de mecanică newtoniană

discutăm despre mișcarea circulară uniformă.

Mișcarea circulară uniformă a unui mobil are loc atunci

când traiectoria sa este un cerc

și modulul vitezei momentane este constant,

așa cum se arată în această ecuație.

Vorbim subliniezi doar de modulul și nu de direcția vitezei.

Această schemă prezintă elementele de bază al unei mișcări circulare

Mobilul se află în poziția M0 la momentul T0

și apoi în poziția M la un anumit moment T.

Poziția, vectorul poziției este notat cu R

și vectorul viteză cu V.

Reamintesc că în lecția a doua am demonstrat

că pentru o mișcare circulară

viteza momentană este perpendiculară pe vectorul poziției,

așa cum vedem aici.

Viteza V este tangențială la traiectorie.

Într-o mișcare circulară uniformă,

mobilul descrie arce de cerchi egale în intervale de timp egale.

Asta, bineînțeles, datorită vitezei sale constante.

De asemenea, putem observa că vectorul poziției are un modul constant

și anume egal cu raza traiectoriei.

În consecință, ecuația de mișcare va fi dată de

orientarea vectorului poziție.

Acest lucru se poate face în două feluri,

și anume, precizarea legii descrise de orientarea vectorului poziție Rdt.

În primul rând, putem specifica ecuația pentru unghiul acestui vector de poziție

notat în schema noastră cu alfa Dt.

Alfa se numește și abscisa unghiulară.

Al doilea fel de a specifica orientarea vectorului poziție

este aceea de a da ecuația abscisei curbilinii Sdt.

Sdt este lungimea arcului de-a lungul traiectoriei descris de mobilul M.

Deci avem două forme alternative de specificare a ecuației de mișcare,

mai exact a orientării vectorului poziție.

Putem da ecuația pentru abscisa unghiulară sau pentru abscisa curbilinii.

Ele sunt legate printr-o relație simplă.

Abscisa curbilinii Sdt este egală cu raza traiectoriei,

care e o constantă mulțită cu abscisa unghiulară alfa Dt.

Este important de ținut minte că această ecuație este valabilă

dacă unghiul alfa este măsurat în radiani și nu în grade.

Radianul este o unitate de măsură alternativă a unghiurilor față de grad.

Pentru a stabili relația dintre cele două unități de măsură a unghiurilor,

observăm că o rotație completă

corespunde unui unghi de 360 de grade,

iar în radiani aceasta corespunde unei circunferințe complete,

deci 2pi îmulțit cu r.

Aceasta este circunferința unui cerc cu rază r împărțită la r.

Deci, din nou, alfa, care corespunde unei rotații complete de 360 de grade,

este egal cu s pentru o rotație completă,

deci 2pi r, circunferința cercului, împărțit la r, da?

Deci, în radiani, acest unghi va fi 2pi în radiani.

De aici obținem ecuația care leagă gradele de radiani.

Deci, dacă avem un unghi alfa măsurat în radiani,

trebuie să îl împărțim la 2pi.

Pentru a obține valoarea pentru același unghi, dar exprimat în grade, împărțim la 360.

Parametrii mișcării circulare uniforme sunt legați de faptul că mișcarea este periodică,

adică, după o rotație completă, mișcarea se repetă identic.

Deci, numim perioada t durata unei astfel de rotații complete,

după care mișcarea se repetă identic.

Numim frecvența a rotației,

notată cu nu, numărul de rotații complete în unitatea de timp.

Deci, frecvența este inversul perioadei t

și, în consecință, ea are ca unitate de măsură secunda la minus 1,

care este notată în Sistemul Internațional de Referință pentru Unități de Măsură cu herțul.

Deci, o secundă la minus 1 se mai numește și un herț.

Următorul parametru este viteza liniară.

Se numește viteza liniară, notată cu V, viteza medie a abscisei curbi linii S.

Din definiția vitezei medii putem scrie imediat

că viteza liniară este delta S pe delta T.

Viteza medie, vă aduc aminte, era delta X pe delta T,

scrisă în funcție de abscisa curbi linii, va fi delta S împărțit la delta T.

Ea poate fi foarte ușor calculată dacă calculăm acest raport pentru o rotație completă.

Pentru că, atunci, delta S, abscisa curbi linii pentru o rotație completă,

este circunferința cercului, ce reprezintă traiectoria,

deci este 2 pi R,

iar delta T va fi T, care este durata unei rotații complete.

Deci viteza liniară va fi 2 pi R împărțit la T sau 2 pi R mulțit cu frecvența nu.

A doua viteză care se calculează este viteza unghiulară notată cu omega.

Aceasta este viteza medie a celelalte abscise, cea unghiulară.

Deci, similar, definiția ei va fi omega, egal sau definit, cu delta alfa mulțit cu delta T.

La fel, ea poate fi ușor calculată considerând o rotație completă.

Omega pentru rotație completă va fi unghiul complet,

exprimat în radiani pentru rotație completă, care este 2 pi,

împărțit la timpul unei rotații complete, care este perioada.

Deci, omega este 2 pi împărțit la T sau 2 pi ori frecvența nu.

Relația dintre cele două viteze, cea liniară și cea unghiulară,

este imediată din aceste două ecuații,

și anume, V este egal cu omega ori R.

Vom continua cu calculul accelerației într-o mișcare circulare uniformă,

care se numește accelerație centripeta.

Ea apare datorită modificării direcției vectorului viteză în fiecare moment,

deși magnitudinea sau modulul vectorului viteză este constant.

Avem un exemplu foarte interesant de consecință a modificării direcției

numai a unui vector atunci când magnitudinea lui rămâne constantă.

În particular, viteza are modul constant,

dar direcție variabilă în acest tip de mișcare.

Considerăm aceeași schemă în care un mobil aflat la momentul T0 în poziția M0

descrie o mișcare circulară.

Avem vectorul poziției R și vectorul viteză liniară V

care este perpendicular pe vectorul poziției.

Reamintesc că faptul că viteza momentană

este perpendiculară pe vectorul poziției

a fost demonstrat în cea de-a doua lecție de mecanică newtoniană.

Mobilul se mișcă pe această traiectorie

și la momentul T se află într-o nouă poziție

desenată cu culoarea roșie în schemă noastră.

El a parcurs un unghi delta alfa,

are un nou vector de poziție

care totuși are același modul,

numai orientarea diferită,

și o nouă viteză care are aceiași modul,

dar o altă orientare.

Să calculăm unghiul dintre cei doi vectori viteză.

Deci avem primul vector viteză și cel de-al doilea.

Ne interesează să calculăm acest unghi.

Datorită faptului că vectorii poziție

sunt perpendiculari pe vectorii viteză

în ambele situații,

în ambele momente, T0 și T,

obținem că acest unghi dintre cei doi vectori viteză

este delta alfa.

Din nou, pentru că axele

sau dreptele ce delimitează unghiul vitezelor

sunt perpendiculare pe dreptele

ce delimitează unghiul pozițiilor.

Deci putem desena

cele două viteze

pornind la același punct.

Dorim să calculăm delta v,

deci folosim metoda coadă la coadă

a cei doi vectori.

Cei doi vectori v au aceeași magnitudine,

dar orientare diferită, separat de acest unghi

care am demonstrat că este delta alfa.

Iar în cazul când

delta T tinde la 0,

vorbim din nou despre aceleași variații infinitezimale,

atunci și delta alfa

tinde la 0, acest unghi tinde la 0

și deci cei doi vectori viteză

se vor apropia foarte mult în limita

delta T tinde la 0

și atunci vom obține un vector viteză perpendicular

pe delta v.

Deci în acest caz limită al variaților infinitezimale

delta v devine perpendicular

pe v.

Despre variații infinitezimale

am discutat

la sfârșitul

lecției precedente.

În concluzie, deoarece accelerația

este proporțională cu delta v

rezultă că accelerația centripetă

va fi perpendiculară pe viteză.

Deci direcția

și sensul accelerației centripete

sunt următoarele.

Direcția este aceeași

cu vectorul poziției, dar sensul este opus.

Deci accelerația centripetă

va fi de-a lungul razei

și va indica

întotdeauna ca sens centrul traiectoriei.

Pentru a calcula magnitudinea

sau modul acestei accelerații

vedem că în această limită

al variaților infinitezimale

putem scrie că delta v

este aproximativ egală cu v

mulțit cu delta alfa.

Și atunci calculăm direct accelerația centripetă

împărțind această relație cu delta t

și obținem accelerația centripetă

egală cu v mulțit cu delta alfa împărțit la delta t.

Iarăși interesant observăm

o accelerație

generată nu prin variația vitezei în modul

ci prin variația orientării vitezei.

Prin variația direcției vitezei

exprimată prin unghiul alfa.

Imediat obținem că accelerația centripetă

este v ori omega

viteza liniară ori viteza unghiulară

pentru că delta alfa împărțit la delta t

e prin definiție viteza unghiulară.

Ea mai poate fi scrisă și ca omega la pătrat

ori r sau v la pătrat împărțit la r.

Să dăm un exemplu

de situație practică

în care folosim o traiectorie

circulară uniformă.

Să calculăm viteza liniară

și accelerația centripetă pe care o aveți dumneavoastră

chiar în acest moment datorită rotației pământului

în jurul axei proprii.

Viteza liniară

este exprimată printr-o relație

care am prezentat-o de curând

iar accelerația centripetă iarăși se poate calcula

în funcție de viteza liniară prin această relație.

Această schemă deschide situația

cercul este pământul care se rotește

în jurul axei proprii

deci are o rotație

dumneavoastră sunteți punctul D

RP este raza pământului

O este centru pământului

iar dumneavoastră descrieți rotația

desenată cu roșu

în cercul roșu

de rază R

Pentru a calcula raza mișcării dumneavoastră

circulare din acest moment

aplicăm relația

R este egal cu RP

ori sinus de 90 minus latitudinea

Latitudinea este unghiul

pe care dumneavoastră îl aveți

în raport cu axa, cu ecuatorul pământului

deci acesta este latitudinea dumneavoastră

acest unghi este 90 de grade minus L

și sinus de 90 de grade minus L

este R împărțit la RP

datorită faptului că acest unghi este 90 de grade

Luând o rază aproximativă a pământului

de 640 de km

și considerând că sunteți la ora actuală

în București

atunci înseamnă că aveți o latitudine

de 44 de grade și 25 de minute

pe care o vom aproxima cu 45 de grade

caz în care putem să calculăm

raza dumneavoastră de rotație

punând valorile pentru RP și L

în ecuație aceasta

deci dacă vă aflați în București

aveți o rază aproximativă de 4525 de km

Luând pentru T

perioada de rotație a pământului

24 de ore, adică o zi

atât e aproximativ pământului să facă

o rotație completă în jurul axei proprii

putem calcula și doi parametri

viteza liniară va fi egală

după înlocuirea acestor date

cu 329 de metri pe secundă

este foarte interesant, este o viteză foarte mare

pentru comparație amintesc viteza sunetului

care este egală cu 343 de metri pe secundă

deci la momentul actual

stând pe scaun, vă rotiți în jurul pământului

cu o viteză liniară aproape de viteza sunetului

bineînțeles nu veți simți nimic

deoarece tot ce se află în jurul dumneavoastră

inclusiv aerul

se rotește cu aceeași viteză

deci important este ca stați pe loc

în raport cu toate obiectele din jurul dumneavoastră

inclusiv aerul

pământul se învârte cu toate aceste obiecte

inclusiv dumneavoastră cu această viteză

la punctul la care vă aflați

accelerația centripetă iarăși foarte interesant

iese din calcul foarte mică

este de ordinul a 2 cm pe secundă

la pătrat

reamintesc că accelerația gravitațională

care descrie greutatea dumneavoastră

datorită atracției pământului

este aproape 10 m pe secundă

deci deși viteza liniară cu care

vă rotiți dumneavoastră

este foarte mare

aproape de viteza sunetului

accelerația ce rezultă din această rotație

este foarte mică

neglijabilă în raport cu alte accelerații

la care sunteți supus

Deschide transcriptul lecției: Mişcarea circulară uniformă: mărimi caracteristice... →

Continuă cu testul

Test de evaluare pentru mişcarea circulară uniformă.

Comentarii (0)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

Niciun comentariu încă.