Legea atracţiei gravitaţionale. Câmpul gravitaţional terestru.

571 vizualizări · 19 voturi

Concepte: Principiile lui Newton Forța

Test: Test de evaluare pentru legea atracţiei...

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

Legea atracției universale

Legea atracției universale a fost enunțată de Sir Isaac Newton.

Legea afirmă că oricare două corpuri se atrag cu o forță proporțională cu masele corpurilor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre corpuri.

Scalar legea atracției universale se scrie:

$F = k \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$

unde k este constanta atracției universale și are valoarea:

$k = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m^{2}}{k g^{2}}$

Vectorial, dacă considerăm punctul de referință în centrul de masă al primului corp și definim versorul unitate cu direcția și sensul vectoruli de poziție al centrului de masă al celui de-al doilea corp:

$\vec{u} = \frac{\vec{O A}}{|O A|}$

cele două forțe de atracție se scriu:

$\vec{F_{21}} = - \vec{F_{12}} = - k \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \vec{u}$

Valoarea constantei atracției universale determină valori foarte mici al e forțelor de atracție universale. Cu toate acestea forța gravitațională guvernează interacțiunile dintre corpurile cerești, dintre planete și stele, dintre stele, galaxii, etc.

Câmpul gravitațional

În încercarea de a explica faptul că interacțiunea gravitațională este o interacțiune la distanță, a fost introdusă noțiunea de câmp gravitațional.

Orice corp cu masă schimbă proprietățile spațiului din jurul său, lucru ce poate fi constatat prin apariția unor forțe de atracție ce acționează asupra corpurilor aduse în câmp. În fiecare punct al câmpului se manifestă forța de atracție gravitațională.

Linia de câmp este curba în lungul căreia se va mișca un corp lăsat liber în câmp.

În jurul unui corp sferic cum este Pământul liniile de câmp vor avea o simetrie radială sau sferică fiind orientate spre centrul Pământului.

De asemenea câmpul gravitațional este descris de o mârime vectorială numită intensitae a câmpului gravitațional.

$\vec{Γ} = \frac{\vec{F}}{m}$

Dacă ținem cont de faptul că greutatea unui corp, de masă m, poate fi descrisă de două relații:

$\vec{G} = m \vec{g} \vec{G} = - k \frac{M_{P} m}{r^{2}} \vec{u}$

unde

$r = R_{P} + h$

În vecinătatea Pământului, intensitatea câmpului gravitațional, la înălțimea h deasupra Pământului, este:

$\vec{Γ} = \vec{g} = - k \frac{M_{P}}{r^{2}} \vec{u}$

Dacă determinăm experimental raza Pământului și accelerația gravitațională la nivelul mării, putem calcula masa Pământului:

$M_{P} = \frac{g_{0} {R_{P}}^{2}}{k} ≃ 5, 9 \cdot 10^{24} k g$

De asemenea putem calcula dependența accelerației gravitaționale de înălțime:

$g = g_{0} {(\frac{h}{R_{P} + h})}^{2}$

unde $g_{0}$ este accelerația gravitațională la nivelul mării.

În imediata vecinătate a Pământului pe distanțe mici putem considera câmpul gravitațional ca fiind uniform, cu linii de câmp paralele și echidistante.

Deschide pagina de teorie: Legea atracţiei gravitaţionale. Câmpul gravitaţion... →

În cea de-a noua lecție de mecanică newtoniană

vom discuta despre legea atracției gravitaționale

și despre câmpul gravitațional terestru.

Legea atracției gravitaționale se referă la

două corpuri punctiforme de masă M1 și M2.

Să considerăm două puncte A și B,

în care se află cele două corpuri de masă M1 și M2

la distanța R între ele.

Atunci, legea atracției gravitaționale spune că

două corpuri punctiforme aflate în punctele A și B

de masă M1 și M2

exercită, unul asupra celuilalt, forțe de atracție,

numite forțe de interacțiune gravitațională,

notate aici cu F1-2 și F2-1,

care au sensuri opuse,

direcția de-a lungul dreptei AB

și al căror modul este proporțional cu produsul

celor două mase și invers proporțional cu pătratul distanței dintre ele.

Versorul U

are următoarea definiție,

deci U este definit ca

vectorul AB împărțit la propria

magnitudine a vectorului AB

și se numește versor, versorul fiind un vector de magnitudine 1

și are utilitatea

sau utilizarea de a indica o direcție.

În acest caz, U, versorul U,

are direcția și sensul vectorului AB,

dar magnitudinea 1.

Pentru a-l desena, el va fi un vector

de magnitudine 1 pe dreapta AB.

Constanta de proporționalitate K

se numește constantă gravitațională universală

și are această valoare.

Pentru a discuta despre consecințele

legii de atracție universală,

să considerăm două corpuri

cu masă în principiu mare de o tonă,

deci am două corpuri cu masă de o tonă fiecare,

aflată la un metru între ele.

Atunci, forța de atracție gravitațională

dintre ele va fi K, care este 6,67x10-11,

îmulțită cu produsul maselor,

o tonă este 1000 kg, deci 1000x1000,

împărțit la distanța la pătrat,

deci un metru la pătrat.

Această forță este imediat rezultă

că este 6,67x10-5 N,

care este o forță foarte mică.

Dacă vrem să o și comparăm,

putem să calculăm greutatea echivalentă pentru ea,

deci greutatea este masa ori g,

pentru simplificare considerăm g

aproximativ egal cu 10 m pe secundă la pătrat,

deci este 10m,

deci rezultă că masa echivalentă

acestei forțe de atracție

este de 6,7 mg.

Deci două corpuri de câte o tonă în fiecare

aflate la un metru între ele

se atrag cu o forță gravitațională foarte mică

echivalentă cu greutatea unui corp de masă

de aproape 7 mg,

deci cât un fir de nisip.

În consecință ce am vrut să arătăm

este că forța de atracție este universală,

oricare două corpuri din acest univers

se atrag între ele,

dar este foarte mică,

numai corpurile cu mase foarte mari

au forțe gravitaționale semnificative.

Există multe consecințe al acestei

lege a atracției universale,

spre exemplu mișcarea corpurilor astronomice

este guvernată de această forță.

Tot universul, stelele, galaxiile, planetele

se mișcă datorită sau sub influență

acestei forțe.

Alte aplicații sunt, spre exemplu,

alte aplicații cunoscute

este formarea mareilor

care se datorează gravitației lunii.

Ce vedem în această imagine este pământul

și oceanele, masa de apă de la suprafața pământului

care simte această atracție gravitațională a lunii.

În consecință se vor forma marele.

Dorind să explice mecanismele

prin care apar interacțiile între corpuri,

Faraday a introdus noțiunea de câmp.

Câmpul este regiunea din jurul unui corp

ale cărei proprietăți sunt schimbate

datorită prezenței acelui corp.

În particular să considerăm un corp de masă M.

Zona din spațiu din jurul acestui corp

se va numi o zonă de câmp gravitațional

a corpului M deoarece în interiorul ei

își face simțită prezența o interacțiune gravitațională.

Câmpul este definit de două proprietăți,

de două componente.

Una este sursa care generează câmpul,

în cazul acesta corpul de masă M

și cea de-a doua este tipul interacției

care se poate dezvolta,

se poate fi generat în acest câmp

datorită sursei.

În funcție de sursa și proprietățile ei

tipul interacției poate fi diferit.

Dacă sursa este un corp cu o anumită masă M

atunci timpul interacției din câmp

va fi gravitațional.

Dar sursa poate fi un corp cu o anumită sarcină electrică.

Atunci tipul interacției ce poate fi generată în câmp

este electric sau electrostatic.

Și atunci câmpul se va numi electric sau electrostatic.

Evident, același corp poate fi sursă

pentru mai multe câmpuri de tipuri diferite

în jurul său.

Dacă corpul are, spre exemplu, atât masă

cât și sarcină electrică,

atunci vom avea două câmpuri generate

în jurul aceluiași corp.

Proprietatea esențială a unui câmp este, bineînțeles,

aceea de a genera o forță de interacțiune

imediat ce un alt corp intră în el.

Deci, dacă într-un anumit punct P

din câmp, spre exemplu,

introducem un alt corp de masă M

evident, atunci se va dezvolta

o forță de interacție

dintre cele două corpuri.

Raportul dintre forța dezvoltată

și masa corpului

probă introdus

se numește intensitatea câmpului.

Deci, intensitatea câmpului

se notează cu gamma, este un vector

și este forța exercitată

asupra unității de masă

în cazul câmpului gravitațional.

Deci, acest vector de intensitate

va avea această direcție

deoarece forța gravitațională

este de atracție.

Bineînțeles, dacă câmpul este de alt tip,

spre exemplu, electric sau electrostatic,

vom avea o intensitate a câmpului electric

care va fi raportul dintre forța

electrostatică și sarcina electrică.

Și așa mai departe.

Câmpul gravitațional terestru.

Pentru a putea aplica legea gravitației

sau legea atracției gravitaționale,

trebuie să facem următoarele aproximații

simplificatoare apropo de

forța gravitațională

exercitată de pământ.

Prima este că pământul este o sferă

de rază R și masa M concentrată în centru.

Aceasta deoarece forța gravitațională

așa cum a fost definită de Newton

sau introdusă de Newton

se referă la corpuri punctiforme.

De aceea masa M trebuie să fie concentrată

în centrul pământului.

A doua aproximație este că neglijăm rotațiile

din jurul axei proprii

și rotația din jurul soarelui.

Deci cele două mișcări de rotație

ale pământului sunt neglijate.

Reamintesc că aproximație înseamnă

considerarea unui caz particular

pentru o valoare sau pentru o mărime

a teoriei care simplifică calculurile

fără a le distorsiona.

În cazul acesta putem calcula

intensitatea câmpului gravitațional

considerând că masa este concentrată

în centru și neglijând mișcările de rotație.

Acestea fiind spuse

câmpul gravitațional terestru

pentru o poziție

într-o poziție R

mai mare decât raza pământului

deci ne referim la punctele

deasupra suprafeței pământului

va fi egală cu K

ori M pe R pătrată mulțit cu versorul U

care are direcția verticală către centru pământului.

Aceasta este simpla împărțire

a forței la masa

unui eventual corp

care s-ar afla în poziția R.

În această aproximație

forța gravitațională terestră

este aceeași ca și forța de greutate

a unui corp.

Aceasta înseamnă

matematică F

forța de interacție gravitațională

este egală cu G

ceea ce se poate scrie imediat

ca faptul că masa mulțită cu

intensitatea câmpului gravitațional

terestru trebuie să fie egală cu

masa mulțită cu accelerația gravitațională

de unde rezultă că

accelerația gravitațională este egală

cu intensitatea câmpului gravitațional

terestru și egal cu

constanta gravitațională universală

multită cu masa pământului

împărțită la R pătrat

unde R este distanța dintre

poziția corpului nostru de masă M

și centrul pământului

multit cu versorul U

care are direcția verticală

la suprafața pământului

orientat către centrul pământului.

Deci am obținut o ecuație

pentru accelerația gravitațională.

Putem calcula imediat din această ecuație

accelerația gravitațională la suprafața pământului

sau, așa cum se spune, la nivelul mării

pentru că

suprafața pământului are

denivelări, spre exemplu munți.

Deci g₀, cum se notează acest g

în această poziție la nivelul mării

va fi valoarea lui g

pentru R egal cu raza pământului.

Deci pur și simplu locuim R cu raza pământului

și atunci accelerația gravitațională

pe care am folosit-o de atâtea ori

în calcule de probleme dinamice

va fi egal cu K

ori M, masa pământului, împărțit la raza pământului

la pătrat.

Introducând valori aproximative pentru această rază

și masa pământului, obținem acest g₀

care este 9,8 m pe secundă la pătrat

pe care, din nou, l-am folosit deseori

în aplicații practice.

Pentru a calcula variația cu altitudinea

H față de nivelul mării,

deci cu înălțimea față de suprafața pământului

la care se află un corp,

calculăm raportul dintre G

accelerația gravitațională la această altitudine

împărțit la g₀, adică accelerația gravitațională

la nivelul mării.

Acesta va fi raportul dintre valorile lui G

pentru R egal cu R plus H

adică raza pământului plus altitudinea

împărțită la valoarea lui G

pentru R egal cu raza pământului.

Și observăm că G împărțit la g₀ va fi

R pătrat împărțit la R plus H

și deci G, accelerația gravitațională

la o anumită altitudine H

va fi dată de această ecuație, unde g₀ este

9,8 m pe secundă la pătrat.

Pentru a obține variații semnificative

trebuie să ne aflăm la altitudini de mulți kilometri

eventual chiar 10 de kilometri

datorită faptului că R este

de ordinul a 6.000 de kilometri.

În fine, deoarece pământul nu este

o sferă, mai exact

el este turtit la poli, avem o variație

a accelerației gravitaționale

cu latitudinea, adică cu

poziția față de

ecuator. Mai exact,

accelerația gravitațională la poli este

un pic mai mare decât accelerația

gravitațională la ecuator, mai exact

cu 0,6% mai mare.

Deschide transcriptul lecției: Legea atracţiei gravitaţionale. Câmpul gravitaţion... →

Continuă cu testul

Test de evaluare pentru legea atracţiei gravitaţionale.

Comentarii (0)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

Niciun comentariu încă.