Condiția de cuantificare

Pornind de la postulatele lui Bohr și de la ipoteza lui de Broglie se ajunge la concluzia că pentru ca orbita electronului să fie staționară lungimea acesteia trebuie să fie egală cu un număr întreg de lungimi de undă asociate electronului.

$2\pi r=n\lambda$

De asemenea momentul cinetic al electronului pe orbită este egal cu un număr întreg de constante Planck reduse:

$L_n=n\frac{h}{2\pi }$

Cuantificarea razelor

Pe orbită forța electrostatică ce acționează asupra electronului este egalată de cea centrifugă. Rezultă că raza orbitei este:

$r_n=\frac{{\epsilon }_0{h}^2}{\pi m{e}^2}{n}^2$

Dacă notăm raza primei orbite Bohr:

$r_1=\frac{{\epsilon }_0{h}^2}{\pi m{e}^2}=0,529·{10}^{-10}m$

atunci:

$r_n=r_1{n}^2$

Acest model se poate aplica doar atomului de hidrogen și atomilor hidrogenoizi, deoarece la atomii cu mai mulți electroni trebuie ținut cont și de interacțiunea dintre electroni.

Cuantificarea energiei

Energia electronului pe prima orbită Bohr este:

$E_1=-\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0{h}^2}=-13,6 eV$

Energia orbitelor superioare este:

$E_n=\frac{E_1}{n^2}$

unde n se numește număr cuantic principal.

Cuantificarea vitezei

Viteza electronului pe prima orbită Bohr este:

$v_1=\frac{e^2}{2h{\epsilon }_0}\simeq 2,186·{10}^6\frac{m}{s}$

Vitezele pe orbitele superioare sunt:

$v_n=\frac{v_1}{n}$

Cuantificarea frecvenței

Frecvența de rotație a electronului pe prima orbită Bohr este:

${\nu }_1=\frac{m{e}^4}{4h^3{{\epsilon }_0}^2}=6,58·{10}^{15}Hz$

Frecvența pe orbitele superioare este:

${\nu }_n=\frac{{\nu }_1}{n^3}$.

Nivele energetice ale atomului de hidrogen

Pe o axă verticală a energiei, în zona negativă, corezpunzând stării legate a electronului în atom, avem energiile cuantificate ale electronului în atom reprezentate prin linii orizontale, iar în zona pozitivă avem starea liberă a electronului.

Nivelul energetic cu energia cea mai mică (-13,6 eV) corespunde stării fundamentale cu numărul cuantic principal n=1. Celelalte nivele au valorile:

$E_n=\frac{E_1}{n^2}$

Tranziții

Conform celui de-al doile a postulat al lui Bohr, trecerea de pe un nivel energetic pe alt nivel energetic se face cu absorbția sau cu emisia unui foton.

$h\nu =\left|E_n-E_m\right|$

Trecerea de pe un nivel inferior pe unul superior se face cu absorbția unui foton, iar trecerea de pe un nivel superior pe unul inferior se face cu emisia unuia sau mai multor fotoni.

Dacă atomul absoarbe un foton cu energia mai mare decât valoarea absolută (în modul) a energiei fundamentale, atunci electronul iese din atom, adică atomul se ionizează și electronul capătă energia:

$E_e=h\nu -\left|E_1\right|>0$

Serii spectrale ale atomului de hidrogen

Pornind de la relațiile de cuantificare ale nivelelor energetice în atomul de hidrogen se pot calcula, cu o bună aproximație, valorile numerelor de undă pentru seriile spectale ale hirogenului, folosind relația:

$\tilde{\nu }=\frac{1}{\lambda }=\frac{E_1}{hc}\left(\frac{1}{{n_f}^2}-\frac{1}{{n_i}^2}\right), unde n_i>n_f, iar E_1 este valoarea energiuei stării fundamentale$

De asemenea valoarea constantei Rydberg  este una satisfăcătoare, dacă este calculată după relația:

$R=\frac{\left|E_1\right|}{hc}=\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0{h}^{3}c}$