Modelul Bohr: cuantificarea energiei, vitezei şi frecvenţei.

În ceea de-a cincia lecție de fizică atomică

continuăm dezvoltarea formalismului matematical

modelului Atomic Board, pe care am început-o

în lecția precedentă.

Mai exact dorim să derivăm

toate ecuațiile sau legile

de cuantificare pentru

mărimile ce caracterizează

atomul de hidroghet.

Începem cu

cuantificarea energiei totale.

Energia totală este, bineînțeles,

prin definiție, suma dintre

energia cinetică și energia potențială.

Energia potențială este energia

datorată interacției electrostatice

dintre nucleu și electron.

Și deci, energia totală va fi egală cu

mv pătrat p2, energia cinetică,

plus energia potențială, care este

minus e pătrat în pățirea

4p epsilon0r.

O scurtă

discuție.

În primul rând, am folosit

pentru energia cinetică

expresia clasică

mv pătrat p2.

Vă aduc aminte că

un sistem relativist

are energia

cinetică egală cu

masa de mișcare minus

masa de repaus mulțită cu

c la pătrat. Sau dacă doriți,

aceasta poate fi

descrisă ca masa de repaus

în sistemul de referință

propriu mulțită cu gamma minus

1 c pătrat.

Deci asta ar fi forma

mai generală relativistă.

Veți vedea imediat când

vom discuta despre vitezele

electronilor pe orbitele

atomilor, că

cu o foarte bună aproximație

electronii pot fi considerate

sisteme

nerelativiste. Deci

putem folosi această formulă

clasică pentru

energia cinetică. Energiea

potențială este, după cum am spus,

energia ce provine din interacție

electrostatică și

semnul minus apare datorită

faptului că sarcina

nucleului de hidrogen

este plus 1, iar sarcina

electronului este minus 1

în termeni de

sarcină electrică elementară,

deci produsul va fi negativ.

Cuplăm această

ecuație a energiei totale

a sistemului cu condiția

de echilibru a orbitelor

despre care am discutat în lecția trecută,

care spune pur și simplu

că forța centripetă

datorită accelerației

electronului

aflat într-o mișcare

circulară, trebuie

să fie egală cu

forța electrostatică

de atracție dintre nucleu

și electron pentru ca

aceste orbite să se află în

stare de echilibru. Scrind

explicit această egalitate,

această ecuație, obținem că

mv pătrat împărțit la r,

forța centripetă, este egală

cu e pătrat împărțit

la 4pi epsilon

0 r pătrat.

Și

introducând

în prima

în primul termen

al energiei totale, respectiv

cel ce corespunde

energiei cinetice, această

ecuație, obținem următoarea

formulă pentru

energia totală. Va fi e pătrat

împărțit la 8pi

epsilon 0 r înmulțit cu 1 minus

2. 1 venind din

termenul cinetic

al energiei și 2 din termenul

potențial

al energiei. Și deci obținem

această formă a

energiei totale.

Pentru a

scrie legea de

cuantificare, adică dependența de

numărul

întreg N,

folosim

legea de cuantificare a razelor,

corbitelor, atomice

RM,

care a fost dedusă în

lecția trecută.

RM avea

raza cu orbitelor,

avea următoarea lege de

cuantificare, N pătrat împărțit cu

r1, unde r1

raza primei orbite

8bor avea această

formă. Și introducând

această ecuație

pentru r în

formula energiei totale,

obținem ecuația sau

legea de

cuantificare a energiei totale.

Și anume

EN va avea

formă următoare

o anumită energie E1

pe care o vom

scrie explicit imediat, care este

energia primului

nivel

a orbitei celei

mai apropiate de nucleul

E1 împărțit la N pătrat.

Deoarece

CR este proporțional cu

N pătrat, energia va fi invers

proporțională cu

N pătrat. Deci aceasta este legea de

cuantificare a energiei, unde

E1 din această

substituție rezultă

ca fiind egal

cu, sau definit

prin această

mărime, minus

masa electronului, orsacina

electrică elementară la a4,

împărțit la 8

E0 pătrat H pătrat.

Toate sunt constante

cum ficute, bineînțeles, înlocuind valorile

lor, obținem următoarea

valoare pentru

energia primei

orbite

electronice din jurul nucleului.

Energia aceasta este

minus 13,6

electroni volti.

Aceasta

este energia stării fundamentale,

care este energia minimă

a electronului.

Scurt comentariu,

bineînțeles, după cum vedem

în această

ecuație, pe măsură

ce N crește,

energia scade.

Deci energia

orbitelor cu

N mai mare decât 1

și deci raze mai mari

După cum vedem,

raza este proporțională cu

N pătrat, deci pe măsură ce N crește

ne deplasăm

pe orbite mai îndepărtate

de nucleu, dar aceste orbite

vor avea energie mai mică.

N se numește

număr cuantic principal.

În general,

numim număr cuantic principal

al unui sistem cuantic,

precum atomii,

numărul cuantic care descrie

stările de energie

al sistemului.

Bineînțeles, în cazul modelului Bohr,

în această formulare, N descrie

legile de cuantificare și ale

razei

orbitelor electronice, după cum vom vedea,

el descrie toate legile

de cuantificare

în această formulare. Totuși,

în lecțiile viitoare,

vom vedea cum apar

și alte numere

cuantice, în afară de N,

în descrierea sistemelor atomice.

Și deci, revenind,

în general,

se numește număr cuantic principal

numărul cuantic care apare

în legea cuantică

sau legea de cuantificare

a energiei.

Așa, după cum am spus,

datorită acestui semn minus,

prima orbită

are energie minimă.

Și

ultimul comentariu pe care

l-am făcut și îl vom face

în toate legile de cuantificare

ale

hidrogenului. Acestea sunt legile

de cuantificare pentru energie, în cazul

acesta al hidrogenului. Ele pot fi

foarte ușor extinse pentru, așa

numiții, atomi hidrogenuize.

Am spus-o la lecția trecută.

Și, anume, prin înlocuirea

oricărui termen

sarcină

electrică elementară la pătrat

cu Z

sarcină nucleului

mulțit cu E pătrat.

În cazul energiei stării fundamentale,

sarcină electrică elementară apare

în forma E la pătrat.

Deci, rezultă că

pentru a obține

legea de cuantificare

a energiei pentru atomii hidrogenuize,

pur și simplu

E1 devine egal

cu Z pătrat.

Deci, adăugăm un Z pătrat aici.

Să trecem

la legea de cuantificare

a viteză. Și plecăm

de la condiția de echilibru a orbitelor

despre care am vorbit până acum,

care explicit se scrie

în felul acesta.

Iar așa am discutat de

cea puțin două ori

în această lecție și lecția precedentă

despre aceste ecuații.

Deci, nu insist. Și

folosim legea de cuantificare

a razelor. Întâi observăm

că

R se simplifică

cu pătratului R

și avem

raza numai

în partea dreaptă a acestei ecuații.

Deci, obținem că

Mv pătrat

este egal cu E pătrat în părțile a 4

piersi la un 0, mulțit cu

această ecuație inversată.

Pentru că avem unul pe aia.

Deci, rezultă că V pătrat

după câteva

simplificări, în particular

M cu M, pi cu pi,

rezultă că

E pătrat va fi

V pătrat, scuzați. Viteza la pătrat va fi

E la a patra, împărțit la

acest produs

de constante, în particular

N pătrat, fiind numărul

principal la pătrat.

Rezultă că legea de cuantificare

a vitezei va fi

o constantă pe care o notăm cu

V1 împărțit la N.

Deci, viteza

este invers proporțională cu numărul

cuantific principal

și prin V1

din această ecuație

vedem că

am definit următoarea

mărime, E pătrat

împărțit la 2h epsilon 0.

Făcând calculul, obținem

că viteza

de deplasare

a electronului

de pe starea fundamentală

sau, dacă doriți,

de pe

orbitalul

sau orbita

cea mai apropiată de nucleu

are această valoare.

2.1

186

ori 10 la 6 metri pe secundă.

În prim comentariu

această viteză este

o viteză foarte mare, dar totuși

comparată cu viteza de propagare

a luminului vid care este

după cum vă realiziți

probabil C

este 3 ori 10 la 8

metri pe secundă.

Deci

V1 împărțit la C

este aproximativ 0.7%.

Deci,

cu o bună aproximație

electronii

de pe nivelele

atomului de hidrogen pot fi considerați

nerelativiști.

Aceasta este

adevărat rezultă

pentru

electronii de pe nivelul fundamental

N egal cu 1 de pe starea fundamentală

și cu atât mai mult

de pe stările

cu N mai mare decât 1 pentru că

atunci viteza scade.

Deci V2 împărțit la C

va fi aproximativ 0.35%.

Și așa mai departe.

Acesta este motivul pentru care

am putut scrie

energia cinetică

a electronilor

ca fiind

MV2.

Formula clasică și nu cea relativistă.

Observăm că viteza de rotație

în jurul nucleului scade

cu raza orbitei.

Vă aduc aminte că

RN

era

proporțional cu N.

Mai exact era R1 mulțit cu N.

Deci pe măsură ce

N crește,

raza crește și viteza scade.

Și în fine comentariul obișnuit

apropo de atomii hidrogenuizi.

Înlocuim

e pătrat cu Z e pătrat și rezultă

de aici că

vitezele toate cresc

cu factorul Z. Deci

V1 pentru

atom hidrogenuit va fi

Z e pătrat.

Trecând la ultima

mărime caracteristică

orbitelor electronice,

să discutăm despre

legea de cuantificare a frecvențelor.

Plecăm de la relația

dintre viteza liniară

și viteza angulară sau

pulsatia unei mișcări circulare.

După cum știm din

cinematica clasică,

V este egal cu

omega R, unde din nou V este viteza

liniară și omega este

viteza angulară, iar R este

raza orbitei.

Scriind viteza angulară

ca produsul dintre 2

pi mulțit cu frecvența,

putem deduce

relația pentru frecvență și anume

frecvența este egală cu viteza

liniară împărțită la

circunferința orbitei

2 pi R.

Scriind explicit legile

de cuantificare ale vitezei

și razei, obținem

această ecuație.

Rezultă că

frecvența depinde

invers proporțional

cu

puterea a treia a numărului

cuantic principal și avem

o frecvență a

primei orbite bor, care este

egală cu viteza primei orbite bor

împărțită la 2 pi

mulțită cu raza primei orbite bor.

Deci legea de cuantificare a frecvenței

de rotație a electronilor

este următoarea, νn

egal cu ν1 împărțit la

n la a treia, unde

ν1

este definit

din această ecuație

ca fiind

egal cu această mărime

și poate fi calculat imediat, obținem

o frecvență foarte mare

de ordinul 10 la

15 Hz, ceea ce nu ar

trebui să ne surprindă, pentru că

pe de o parte, viteza

de rotație a electronilor

este foarte mare, de

ordinul 10 la 6 m

pe secundă, iar raza

bineînțeles este

foarte mică

de ordinul 10 la minus 10 m

deci bineînțeles obținem

frecvențe mari

sau foarte mari

de notat

este că dependența

de numărul cuantic

principal este cea mai puternică

deci până acum am văzut dependențe

de ordinul

n și de ordinul n pătrat

frecvența depinde cu

n la a treia, deci o dependență

puternică a frecvenței

de rotație de

poziția

electronului

sau orbitei lui, respectiv

de numărul cuantic principal

și bineînțeles

calculul pentru atom hidrogenoiz

implică

schimbarea lui La4

într-un Z or La4

deci

frecvența nu1

se va transforma

într-un Z pătrat în muții cu nu1

ca și comentariu

din legea de cuantificare

a frecvenței de rotație

se poate imediat extrage

legea de cuantificare

a lungimei de undă

vă aduc aminte, lungimea de undă e definită

ca viteza îmulțită cu

perioada, adică

ca viteza împărțită la frecvență

deci

înlocuind formule pentru

v și nu se poate obține

legea de cuantificare

a lungimei de undă imediat