Legea seriilor spectrale în modelul Bohr.

În cea de-a opta lecție de fizică atomică vom discuta despre spectrele atomului de hidrogen.

În lecțiile trecute am dezvoltat modelul atomic al lui Bohr și am început să discutăm despre primele aplicații practice ale lui,

spre exemplu în calculul energiei de ionizare a atomului de hidrogen.

Dorim să vedem în această lecție dacă modelul Bohr poate explica rezultatele experimentale obținute în studiile asupra spectrelor atomului de hidrogen.

Deci primul lucru pe care dorim să-l reamintim rapid este ceea ce am discutat în prima lecție de fizică atomică,

și anume rezultatele experimentale în legătură cu spectrele de emisie atomice,

care sunt spectre de linii ce respectă așa-numita lege a seriilor spectrale, care este următoare.

1 pe lambda, deci inversul lungimii de undă a radiației emise de un atom, în cazul acesta de hidrogen,

este egal cu constanta Rydberg, care are această valoare, înmulțită cu 1 pe N1 la pătrat, unde N1 este numărul seriei spectrale,

minus 1 pe N2 la pătrat, unde N2 este numărul liniei din seria spectrală respectivă.

Deci N2 trebuie să fie mai mare decât N1 și atunci această mărime este pozitiv definită.

Am discutat despre toate aceste lucruri și despre seriile spectrale particulare ce se pot obține în prima lecție de fizică atomică.

Un comentariu acestă mărime, și anume inversul lungimii de undă, se mai numește și număr de undă și se notează cu nu tilde.

Vom introduce în curând această notație.

Deci ne propunem în această lecție să vedem dacă putem explica aceste rezultate experimentale folosind modelul Bohr.

În primul rând să reamintim postulatul al doilea al lui Bohr, care spune că o linie din spectrul de emisie de linii al atomului de hidrogen

corespunde unei frecvențe de tranziție între două stări staționare.

Am modificat un pic formularea, dar esența postulatului Bohr este aceasta.

Scrisă matematic, asta înseamnă că frecvența radiației emise, vorbim despre spectrul de emisie în cazul acesta,

deci frecvența radiației de emisie, va fi egală cu diferența dintre energia stării staționare inițiale și cea a stării staționare finale,

împărțită la constanta Planck-H.

Folosind legătura dintre lungimea de undă și frecvență, și anume lungimea de undă a unei radiații este prin definiție egală cu viteza de propagare,

care este viteza luminii în vid, mulțită cu perioada unde-i, deci avem λ egal cu c împărțit la frecvență.

Deci înlocuind frecvența cu lungimea de undă din această formulă, obținem că inversul lungimei de undă emise de către un atom de hidrogen

în tranziția între o stare inițială și o stare finală are această valoare, Ei-Ef împărțit la hc,

unde, din nou, Ei este energia stării staționare inițiale și Ef este energia stării staționare finale,

iar hνiuf este energia fotonului emis în această tranziție atomului.

Modelul Bohr care este dezvoltat plecând la postulatele Bohr, modelul Bohr ne dă o valoare precisă a acestei energii,

și anume, în cazul acesta, cele două stări staționare corespund la două nivele energetice cu numerele cuantice principale Ni și Nf în acest caz.

Deci, mai exact, putem scrie formulele pentru aceste două energii și ele sunt următoarele.

Energia stării staționare inițiale este E1 împărțit la Ni², unde Ni este numărul cuantic principal al stării inițiale,

și, respectiv, energia stării staționare finale, Ef, va fi E1 împărțit la Nf².

E1 este energia stării fundamentale, care corespunde numărul cuantic principal N1 și are această valoare, după cum am discutat în lecțiile trecute.

De așa putem vedea că obținem o coincidență a formulei pentru numărul de undă obținut experimental.

Deci, se vede că, experimental, obținem un număr de undă egal cu o constantă,

înmulțită cu diferența dintre două inverse de pătrate de numere întregi.

Deci, acest 1Pn1 la pătrat minus 1Pn2 la pătrat, acesta este rezultatul experimental,

iar modelul Bohr, deci teoria, ne spune că acest invers de lungime de undă va fi, într-adevăr, egal cu o constantă,

care vom vedea imediat cât este, dar înmulțită cu diferența dintre două inverse de pătrate de numere întregi.

Deci, într-adevăr, putem vedea de așa că modelul Bohr descrie foarte bine rezultatul experimental.

Haideți să vedem mai concret ce rezultă în această comparație între teorie și experiment.

Deci, după cum am spus, introducem așa numitul număr de undă, care este frecvența nu cu tilde deasupra

și este egală cu raportul dintre frecvență și viteza luminii în vid,

care este, de asemenea, egal, după cum am arătat, cu inversul lungimii de undă.

Deci, modelul Bohr dă următoarea lege, că numărul de undă este egal cu valoarea absolută a lui E1,

care este energia stării fundamentale împărțită la H or C,

constanta Planck îmulțită cu viteza luminii în vid,

îmulțită cu această diferență între două inverse de numere cuantice principale la pătrat.

Mai exact, dacă tranziția ce duce la emisia fotonului are loc între nivelul energetic Ni și nivelul energetic Nf,

Ni și Nf fiind numele cuantice principale,

ce corespund, bineînțeles, energiilor Ei și Ef,

și deci această tranziție rezultă în emisia fotonului cu energia hνiuf,

atunci avem această legătură dintre numărul de undă și numerele cuantice principale ale celor două energii,

celor două nivele cu aceste două energii, în care, bineînțeles, Ni este mai mare decât Nf pentru a avea o emisie.

Dacă Ni ar fi mai mic decât Nf, am avea o absorție de un anumit foton.

Deci, într-adevăr, modelul Bohr reproduce legea seriilor spectrale observată experimental.

Coincidența între legea experimentală și legea teoretică s-ar întâmpla

dacă numărul sau constanta Rydberg, care e măsurată experimental,

ar coincide cu acest factor ce rezultă din modelul Bohr.

Deci, dacă R ar fi egal cu modul din E1 împărțit la hc,

atunci am avea o coincidență, o corespondență perfectă

între legea experimentală și legea teoretică.

Deci am putea conclude că seriile spectrale ale atomului de hidrogen sunt foarte bine descrise de către modelul Bohr.

Și, într-adevăr, valoarea experimentală pentru R

coincide sau are o valoare foarte apropiată,

ținând cont de erorile experimentale,

de valoarea lui R calculată cu ajutorul modului lui Bohr prin această formulă, modul din E1 împărțit la hc.

Împreună cu energia de ionizare a atomului de hidrogen, despre care am discutat în lecția trecută,

confirmarea constantei Rydberg a validat modelul cuantic al atomului propus de Bohr.

Deci, mai exact după cum am discutat în lecția trecută,

se poate măsura energia de ionizare a atomului de hidrogen

și se poate verifica dacă ea este egală cu predicția modelului Bohr, care este modul din E1.

Și, într-adevăr, această coincidență sau această corespondență

dintre valoarea măsurată experimental și valoarea calculată teoretic are loc.

De asemeni, după cum am discutat acum,

constanta Rydberg, care se poate măsura experimental și se măsoară experimental,

este egală cu modul din E1 împărțit la hc, care este valoarea prezisă teoretic de modelul Bohr.

Și, deci, aceste două rezultate au dus la confirmarea modelului lui Bohr.

Haideți să discutăm acum despre liniile din seriile spectrale observate experimental.

Deci, după cum am văzut, modelul lui Bohr propune o lege

care este într-o corespondență foarte bună cu legea seriilor spectrale

și, deci, numărul de undă este o constantă,

constanta Rydberg îmulțită cu această diferență de inverse de pătrate de numere cuantice principale.

Numărul NF stabilește seria spectrală, după cum am văzut,

iar în modelul lui Bohr, NF este numărul cuantic principal al stării finale din tranziție.

De asemenea, este important să observăm că o serie spectrală va avea o limită,

adică un număr de undă maxim, care corespunde unui valoare a lui Ni egală cu infinit.

Pentru că dacă Ni este infinit, deci tranziția are loc de pe un nivel foarte înalt aflat teoretic la infinit,

atunci acest factor este 0 și atunci obținem valoarea maximă a numărului de undă,

care va fi constanta Rydberg împărțită la numărul cuantic principal al stării finale, NF la pătrat.

Bun, haideți să vedem acum cum pot fi explicate seriile spectrale

despre care am descutat în prima lecție de fizică atomică,

și anume Lyman, Balmer, Paschen și așa mai departe,

cum pot fi ele explicate de către modelul Bohr.

Păi, deci trebuie să considerăm foarte simplu tranziții între nivelele energetice ale atomului de hidrogen.

Deci avem nivelul cu N egal cu 1, care este starea fundamentală.

Starea fundamentală.

Și apoi nivelele superioare.

Avem un nivel N egal cu 2, N egal cu 3.

Consider câteva nivele pentru a putea reprezenta apoi tranzițiile între ele.

N egal cu 4 și haideți să mai luăm și un N egal cu 5.

Bineînțeles, ele continuă în principiu până la N egal cu infinit.

În funcție de numărul de nivele pe care vrem să le considerăm.

După cum am văzut, prima serie spectrală corespunde unui NF egal cu 1.

Deci toate tranzițiile ce au loc pe starea fundamentală constituie o serie spectrală.

Iar această serie spectrală, ce corespunde lui N1 egal cu 1 și N2 egal cu 2, 3, 4 și așa mai departe, este binecunoscuta serie LIMAN.

Deci aceasta este seria LIMAN ce apare în domeniul ultraviolet.

Deci seria LIMAN din ultraviolet, care se observă experimental, este formată din toate tranzițiile de pe stările excitate cu N egal cu 2, 3, 4, 5 și așa mai departe, dar cu starea finală, toate au starea finală, N egal cu 1, adică starea fundamentală.

Apoi avem seria BALMER, care este formată din toate tranzițiile care au starea finală N egal cu 2.

Deci aceste tranziții care au N1 egal cu 2, deci numărul cuantic principal ce corespunde numărului seriei, va fi N1 egal cu 2, iar Ni sau N2 vor fi egale cu 3, 4, 5 și așa mai departe.

Toate aceste tranziții formează așa numita serie BALMER, care după cum am văzut, experimental are loc în spectrul vizibil.

Și așa mai departe, următoarea serie, PASSION, va avea loc sau va fi formată din toate tranzițiile care au ca stare finală starea N1 egal cu 3.

Deci toate tranzițiile care au loc cu finalitatea tranziției P, N1 egal cu 3, vor forma seria PASSION.

Și așa mai departe, deci vedem într-adevăr cum pot fi explicate foarte elegant toate rezultatele seriilor spectrale ale atomului de hidrogen.

Dacă vreți, putem reprezenta vizual și altfel aceste tranziții.

Deci avem atomul de hidrogen care are un nucleu în centru, nucleul cu sarcina plus 1, și în jurul lui, bineînțeles, avem orbitalii electronici care corespund niveluri energetice.

Deci să considerăm câteva.

Foarte schematic.

Deci avem în acest desen nivele energetice pentru N egal cu 1, N egal cu 2, N egal cu 3 și N egal cu 4.

Atunci seria Balmer va fi formată din toate tranzițiile electronilor de pe nivelele superioare pe starea fundamentală N egal cu 1.

Deci seria Balmer va fi formată din aceste tranziții.

Deci aceasta este seria Balmer.

Seria Liman va fi formată din toate tranzițiile cu starea finală pe prima stare excitată, adică cea cu N egal cu 2.

Deci seria Balmer va fi formată din tranziții de felul acesta.

Noi avem numai două în schema noastră.

Bineînțeles, dacă am fi folosit și alte nivele energetice cu N mai mare decât 4, N egal cu 5 și așa mai departe, am fi avut și alte tranziții în seria Balmer.

Scuzați, prima serie, am făcut o greșeală aici.

Prima serie este, bineînțeles, Liman și cea de-a doua serie este Balmer.

Liman este seria cu starea finală N egal cu 1.

Balmer este seria cu starea finală N egal cu 2.