Modelul Bohr: condiţia de cuantificare, cuantificarea razelor.

În ceea de-a cincia lecție de fizică atomică,

dezvoltăm modelul atomic Bohr.

Într-o primă lecție, urmând ca lecția următoare să termine

dezvoltarea modelului atomic al lui Bohr.

Vă reamintesc că în lecția precedentă am stabilit

cele două postulate ale lui Bohr

ce stau la baza acestui model.

Noi, urmând acum, să le aplicăm

pentru a dezvolta acest model.

Deci, la baza formalismului matematic al modelului Bohr

stă așa-numita condiție de cuantificare

care rezultă din două idei fundamental.

Prima dintre ele este primul postulat Bohr.

Vă reamintesc, simplificat un pic spus, primul postulat Bohr

spune că electronii se află în atom în jurul nucleului

pe orbite staționare, ceea ce, după cum am spus,

încalcă electromagnetismul clasic

dând acest caracter pur cuantic al modelului lui Bohr.

Deci, esențial, în primul postulat, este că

electronii se află pe orbite staționare.

A doua idee fundamentală

de la care Bohr a pornit

este că electronii, fiind particule

sau sisteme fizice de tip cuantic

vor respecta dualismul undă-corpuscul

tipic fizicii cuantice

introdus de către De Broglie în ipoteza sa.

Asta înseamnă că electronii

vor avea, electronii care sunt corpusculi,

adică particule microscopice

vor avea o undă asociată.

În aceste două idei,

în aceste două enunțuri,

se află, în cuvinte scrise,

punctul de plecare pentru o condiție de cuantificare.

Deci, ar trebui ca dumneavoastră

să vă puteți uita

la aceste două enunțuri

și să vedeți cuvintele cheie

de la care puteți stabili

o condiție de cuantificare.

Deci, poate că ar fi o idee bună

să puneți pauză videoului pentru un minut

și să vă gândiți un pic

de unde ar putea rezulta, ca și cuvinte cheie

din cele două propoziții care le vedeți,

o condiție de cuantificare, adică

o condiție prin care două mărimi

ale electronului sunt legate

printr-un multiplu întreg, un număr întreg.

O mărime A este egală cu un număr întreg

înmulțită cu o mărime B.

De unde ar putea să rezulte de aici?

Ok. În continuare,

haideți să stabilim care sunt

cele două cuvinte cheie.

O să le subliniez. Primul cuvânt cheie este

cuvântul staționar.

Și cel de-al doilea cuvânt cheie este

cel de undă asociată electronului.

Deoarece aceasta implică

că unda asociată electronului

trebuie să fie o undă staționar.

Și deja ar trebui să vă gândiți imediat

la studiul pe care l-am făcut

în cazul undelor mecanice,

spre exemplu, studiul interferenței staționare,

care ducea la unde mecanice staționare

într-o coardă. În coarda unei chitări,

de exemplu, obținem unde staționare

dacă avem o anumită condiție îndeplinită.

Acea condiție era ca lungimea

corzii, în cazul acela, al orbitei electronului

în cazul nostru, să fie un multiplu

al lungimii de undă.

În cazul nostru, condiția

de cuantificare, adică ecuația

de bază de la care pornesc toate

ecuațiile modelului Bohr

este aceea că lungimea orbitei

trebuie să fie un multiplu întreg

de lungimea de undă

a undei asociate electronului.

Vom vedea imediat ce rezultă

din această ecuație, dar aș

sublinea încă o dată că

ca întotdeauna în fizică, esența nu

stă în formule, ci esența stă în cuvinte.

Mulți elevi se străduie foarte mult

să rețină și să înțeleagă legăturile dintre

formule, dar nu neapărat se străduie

să înțeleagă care sunt ideile din spatele

formulelor matematice.

Întotdeauna ideile sunt mai importante pentru că

ele conțin proprietățile de bază

fundamentale ale teoriei respective,

bineînțeles și formule, având importanța lor pentru că

ne permit descrierea sistemului proprietăților lor.

Revenind în cazul acesta,

faptul că Bohr

a stabilit două lucruri, și anume că orbitele

sunt staționare și că trebuie

folosit dualismul undă-corpuscul

deoarece electronii sunt sisteme

cuantice, modelul

lui Bohr este un model de tip cuantic, după cum am stabilit

în lecția trecută, aceste două idei împreună de fapt

sunt totul. Pentru că imediat rezultă această

ecuație și vom vedea în două lecții

cum anume dezvoltăm o serie întreagă de ecuații

împrecând numai de aici. Bun.

Deci să continuăm. Păi, după cum știm

ipoteza de Broglie ne spune exact cât este lungimea

de undă asociată

unei particule, și anume că lambda

este h, constanta lui Planck împărțit

la p. Deci, putem

scrie mai exact această

ecuație ca circunferința orbitei

electronice, adică 2πr, este

n, un număr întreg, îmulțit cu h împărțit

la p. Iarăși, subliniez,

această ecuație este o ecuație tipică

pentru fizica cuantică datorită apariție

acestui n, n fiind un multiplu întreg.

Scriem desplicit valoarea

nu, deocamdată nu scriem desplicit valoarea lui p, de aici

rezultă imediat condiția de cuantificare.

Deci, de aici rezultă că produsul

dintre raza electronului

pe orbita lui staționară și impulsul lui

trebuie să fie un multiplu întreg de așa numită

constantă Planck redusă, deci

h bar este pur și simplu o notație.

h bar e o notație pentru constanta lui

Planck împărțită la 2π și o introducem

pentru că, de foarte multe ori, constanta

lui Planck apare în ecuație împărțită la 2π și pentru a simplifica

ecuațiile notăm h împărțit la 2π

cu h bar. Deci, obținem

că r or p trebuie să fie

un multiplu întreg de o constantă. Aceasta

este, în mod evident, o ecuație de tip

cuantic. În stânga avem un multiplu

întreg de o constantă și în dreapta avem

produsul rază ori

impuls. Aceasta este ecuația

de bază de la care pornește

modelul lui Bohr. Se numește condiția

de cuantificare.

Ce spune ea?

Este foarte simplu de reprezentat vizual

conținutul fizic al acestei

ecuații. Spune că dacă un electron

se află în rotație

în jurul nucleului

deci acesta este electronul nostru

atunci

orbita pe care se

deplasează descrie

o traiectorie staționară, deci stabilă

dacă unda asociată

este o multiplu de lambda. Asta înseamnă

reprezentând vizual că această undă

trebuie să se

termine așa, să se termine complet.

Deci dacă unda asociată

electronului pe această orbită

este în acest fel

atunci această undă este staționară

este stabilă și electronul va sta

pe ea un timp indefinit.

Ce se întâmplă cu altă orbită? Deci să zicem că

luăm altă orbită la altă poziție

a acelui ași electron

și bineînțeles modificând

r, raza lui, atunci

lungimea acestei orbite nu va

mai fi o multiplu de lambda.

Ce se va întâmpla, evident, este că

ea se va termina ceva de genul acesta, unda asociată.

Nu se va mai închide.

În această situație electronul

s-ar afla pe o

orbită instabilă și

deci această

stare a atomului nu va putea exista.

În concluzie, condiția de cuantificare

ne spune care sunt orbitele

electronilor care sunt staționare, stabile

și deci în care atomul

poate sta un timp indefinit.

Celelalte orbite sunt cele care dispar imediat

pentru că nu îndeplinesc această

condiție de staționaritate.

Continuând, putem

deduce

că prima lege de cuantificare și cea mai

imediată ecuație

din condiția de cuantificare este cea pentru momentul

cinetic al unei particule. Momentul cinetic

al unei particule sau unui corp și în mecanica

clasică este un vector, se notează cu el

și este produsul vectorial dintre

vectorul poziție și vectorul impuls.

În cazul particular în care

R și P sunt perpendiculare, care este

cazul nostru, deci R

provine din nucleu, acesta este vectorul

R, vectorul P este

de-a lungul vectorului viteză care

este tangent la traiectorie.

Deci modulul lui L este R or P

dar aceasta este exact condiția noastră de cuantificare.

Deci, într-un fel, condiția de cuantificare

ne dă prima lege de cuantificare

și anume că magnitudinea sau modulul

momentului cinetic al unui electron

pe orbită staționară este un multiplu

de h-bar.

Deci e cuantificat.

În concluzie, cuantificarea

orbitelor electronilor atomici se bazează

pe două idei fundamental.

Staționaritatea orbitelor

deci a stărilor atomice

în care orbitele electronilor

se află în acele poziții și pe

caracterul dual undă corpuscul

ale electronilor, care înseamnă că

considerăm electronii ca fiind particule

descrise de fizica cuantică.

Și de aici am dedus condiția de cuantificare

și prima lege de cuantificare, cea pentru

momentul cinetic orbital.

Următoarea lege

folosește condiția de echilibru.

Aceste orbite al electronilor

sunt staționare, dar ca să fie

și în echilibru trebuie

după cum am spus și după cum rezultă

din modelul lui Rutherford, al atomului

trebuie ca forța de atracție electrostatică să fie egală

cu forța centrifugă. Deci

punem această condiție

suplimentară ca forța elastică să fie

forța, scuzați, electrostatică să fie egală

cu forța centrifugală.

Din mecanica clasică putem scrie

formula forței centrifugale

este mv pătrat pe R

și din electrostatică știm formula forței

electrostatice care este

e pătrat împărțit la

4 pi epsilon zero R pătrat. De ce

e pătrat? Pentru că cele două sarcini

sunt, ale electronului este

e, bineînțeles, și ale atomului

am considerat-o tot e pentru că deocamdată

dezvoltăm formalismul

pentru atomul de hidrogen care are

Z egal cu 1. În curând sau

în câteva minute voi comenta

și asupra cazului

Z mai mare decât 1, adică a tuturor celor

alți atomi decât hidrogen. Deci deocamdată considerăm

un atom de hidrogen care are un nucleu

cu Z egal cu plus 1.

Deci ecuația atunci devine

aceasta care poate fi scrisă

în felul următor m pătrat v pătrat

R pătrat este egal cu m e pătrat

ori R împărțit la 4 pi epsilon zero.

Am dus R pătrat în partea

stângă, R în partea dreaptă și am mulțit cu m.

Aplicăm condiția de cuantificare

care este R p egal cu n h bar

adică R m v egal cu n h bar

rezultă că

făcând substituțiile pentru R m v

deci această parte stângă va fi

m pătrat h bar pătrat

adică ceea ce vedem aici, egal cu m e pătrat

4 pi epsilon zero R. Simplificând

obținem legea de cuantificare

a razelor orbitelor. Deci R

va fi egal cu n pătrat

înmulțit cu o constantă pe care o notăm cu R1

și care are următoarea ecuație.

Deci R1 din această ecuație

va fi egal cu epsilon zero h pătrat

împărțit la

pi m e pătrat

și care

toate aceste mărimi sunt constante

înlocuindu-le obținem această valoare care este raza

primei orbite bor. Deci razele

orbitelor electronilor sunt

un număr întreg la pătrat înmulțit cu

R1 care este raza primei orbite

cea mai apropiată de nucleu

care se numește și prima orbită bor și are

această valoare. Celelalte vor fi

deci 2 la pătrat R1

adică 4R1, 3 la pătrat R1

adică 9R1 și așa mai departe. Aceasta este

lege de cuantificare a razelor orbitelor electronilor.

Aici am scris ceea ce

tocmai am discutat acum. În concluzie

aceste ecuații pot fi folosite

doar pentru atomul de hidrogen deoarece

în expresia forței electrostatice am ținut

cont doar de interacția electron-nucleu.

Deci, ce vreau

să spun? Vreau să spun următorul lucru.

Când scriem ecuația

forța electrostatică

ce acționează asupra electronului

este egal cu forța centrifugală, deci Mv pătrat

pe R. Am scris explicit această

ecuație ca fiind E pătrat împărțit

la 4Pε0R pătrat.

În principiu

am putea spune că dacă

nucleul are

sarcina Z, am adăuga un Z

deoarece sarcina nucleului ar fi

ZE, sarcina electronului este E, deci

produsul sarcinului este ZE pătrat.

Totuși acest lucru nu ar fi corect pentru că

ar ține cont doar de interacție

electrostatică dintre electron și

nucleu. Dar atomul nostru

dacă Z este mai mare decât 1, atunci trebuie să

aibă mai mulți electroni. Deci există

un număr egal cu Z de electroni

și există o forță de

respingere dintre electroni.

Deci această formulă a forței

electrostatice ce acționează

asupra unui electron este

incompletă. Ar trebui să adăugăm și forțele

de interacție electrostatice dintre

electroni, dintre ceilalți electroni.

Deci atomii cu Z mai mare decât 1

au mai mulți electroni și atunci trebuie să includem

în formula forți electrostatice și multitudinea

de interacții electron-electron.

Și deci formula noastră

care a conținut numai acest termen e valabilă

doar pentru atomul de hidrogen.

Ea este de asemeni valabilă

și pentru așa numiți atomi hidrogenoizi

care de fapt sunt ioni

din care s-au eliminat toți electronii

mai puțin 1. Deci dacă luăm orice atom

și eliminăm toți electronii mai puțin 1

atunci bineînțeles ne întoarcem la

situația în care avem doar un nucleu

și un electron și atunci putem

pune în formula

forței electrostatice un Z.

Deci substituim e pătrat cu Z e pătrat

și atunci ecuațiile de cuantificare

spre exemplu de cuantificare a razei electronului

rămân corecte.

În particular

ce se modifică în ecuația de

cuantificare a razei?

Substituim e pătrat cu Z e pătrat și deci

R1 pentru un atom

hidrogenoid va deveni R1 împărțit la Z

ceea ce are sens

bineînțeles pentru că dacă găștem

sarcina nucleului de la plus 1

Z egal cu 1 a hidrogenului la un anumit

valoare Z, atunci electronul

va fi atras mai puternic de către

nucleu, deoarece acesta are sarcină

mai mare și deci raza sau orbita

aflată în echilibru va fi mai aproape

de nucleu.