Transcript: Modelul Bohr: condiţia de cuantificare, cuantificarea razelor.

În ceea de-a cincia lecție de fizică atomică,
dezvoltăm modelul atomic Bohr.
Într-o primă lecție, urmând ca lecția următoare să termine
dezvoltarea modelului atomic al lui Bohr.
Vă reamintesc că în lecția precedentă am stabilit
cele două postulate ale lui Bohr
ce stau la baza acestui model.
Noi, urmând acum, să le aplicăm
pentru a dezvolta acest model.
Deci, la baza formalismului matematic al modelului Bohr
stă așa-numita condiție de cuantificare
care rezultă din două idei fundamental.
Prima dintre ele este primul postulat Bohr.
Vă reamintesc, simplificat un pic spus, primul postulat Bohr
spune că electronii se află în atom în jurul nucleului
pe orbite staționare, ceea ce, după cum am spus,
încalcă electromagnetismul clasic
dând acest caracter pur cuantic al modelului lui Bohr.
Deci, esențial, în primul postulat, este că
electronii se află pe orbite staționare.
A doua idee fundamentală
de la care Bohr a pornit
este că electronii, fiind particule
sau sisteme fizice de tip cuantic
vor respecta dualismul undă-corpuscul
tipic fizicii cuantice
introdus de către De Broglie în ipoteza sa.
Asta înseamnă că electronii
vor avea, electronii care sunt corpusculi,
adică particule microscopice
vor avea o undă asociată.
În aceste două idei,
în aceste două enunțuri,
se află, în cuvinte scrise,
punctul de plecare pentru o condiție de cuantificare.
Deci, ar trebui ca dumneavoastră
să vă puteți uita
la aceste două enunțuri
și să vedeți cuvintele cheie
de la care puteți stabili
o condiție de cuantificare.
Deci, poate că ar fi o idee bună
să puneți pauză videoului pentru un minut
și să vă gândiți un pic
de unde ar putea rezulta, ca și cuvinte cheie
din cele două propoziții care le vedeți,
o condiție de cuantificare, adică
o condiție prin care două mărimi
ale electronului sunt legate
printr-un multiplu întreg, un număr întreg.
O mărime A este egală cu un număr întreg
înmulțită cu o mărime B.
De unde ar putea să rezulte de aici?
Ok. În continuare,
haideți să stabilim care sunt
cele două cuvinte cheie.
O să le subliniez. Primul cuvânt cheie este
cuvântul staționar.
Și cel de-al doilea cuvânt cheie este
cel de undă asociată electronului.
Deoarece aceasta implică
că unda asociată electronului
trebuie să fie o undă staționar.
Și deja ar trebui să vă gândiți imediat
la studiul pe care l-am făcut
în cazul undelor mecanice,
spre exemplu, studiul interferenței staționare,
care ducea la unde mecanice staționare
într-o coardă. În coarda unei chitări,
de exemplu, obținem unde staționare
dacă avem o anumită condiție îndeplinită.
Acea condiție era ca lungimea
corzii, în cazul acela, al orbitei electronului
în cazul nostru, să fie un multiplu
al lungimii de undă.
În cazul nostru, condiția
de cuantificare, adică ecuația
de bază de la care pornesc toate
ecuațiile modelului Bohr
este aceea că lungimea orbitei
trebuie să fie un multiplu întreg
de lungimea de undă
a undei asociate electronului.
Vom vedea imediat ce rezultă
din această ecuație, dar aș
sublinea încă o dată că
ca întotdeauna în fizică, esența nu
stă în formule, ci esența stă în cuvinte.
Mulți elevi se străduie foarte mult
să rețină și să înțeleagă legăturile dintre
formule, dar nu neapărat se străduie
să înțeleagă care sunt ideile din spatele
formulelor matematice.
Întotdeauna ideile sunt mai importante pentru că
ele conțin proprietățile de bază
fundamentale ale teoriei respective,
bineînțeles și formule, având importanța lor pentru că
ne permit descrierea sistemului proprietăților lor.
Revenind în cazul acesta,
faptul că Bohr
a stabilit două lucruri, și anume că orbitele
sunt staționare și că trebuie
folosit dualismul undă-corpuscul
deoarece electronii sunt sisteme
cuantice, modelul
lui Bohr este un model de tip cuantic, după cum am stabilit
în lecția trecută, aceste două idei împreună de fapt
sunt totul. Pentru că imediat rezultă această
ecuație și vom vedea în două lecții
cum anume dezvoltăm o serie întreagă de ecuații
împrecând numai de aici. Bun.
Deci să continuăm. Păi, după cum știm
ipoteza de Broglie ne spune exact cât este lungimea
de undă asociată
unei particule, și anume că lambda
este h, constanta lui Planck împărțit
la p. Deci, putem
scrie mai exact această
ecuație ca circunferința orbitei
electronice, adică 2πr, este
n, un număr întreg, îmulțit cu h împărțit
la p. Iarăși, subliniez,
această ecuație este o ecuație tipică
pentru fizica cuantică datorită apariție
acestui n, n fiind un multiplu întreg.
Scriem desplicit valoarea
nu, deocamdată nu scriem desplicit valoarea lui p, de aici
rezultă imediat condiția de cuantificare.
Deci, de aici rezultă că produsul
dintre raza electronului
pe orbita lui staționară și impulsul lui
trebuie să fie un multiplu întreg de așa numită
constantă Planck redusă, deci
h bar este pur și simplu o notație.
h bar e o notație pentru constanta lui
Planck împărțită la 2π și o introducem
pentru că, de foarte multe ori, constanta
lui Planck apare în ecuație împărțită la 2π și pentru a simplifica
ecuațiile notăm h împărțit la 2π
cu h bar. Deci, obținem
că r or p trebuie să fie
un multiplu întreg de o constantă. Aceasta
este, în mod evident, o ecuație de tip
cuantic. În stânga avem un multiplu
întreg de o constantă și în dreapta avem
produsul rază ori
impuls. Aceasta este ecuația
de bază de la care pornește
modelul lui Bohr. Se numește condiția
de cuantificare.
Ce spune ea?
Este foarte simplu de reprezentat vizual
conținutul fizic al acestei
ecuații. Spune că dacă un electron
se află în rotație
în jurul nucleului
deci acesta este electronul nostru
atunci
orbita pe care se
deplasează descrie
o traiectorie staționară, deci stabilă
dacă unda asociată
este o multiplu de lambda. Asta înseamnă
reprezentând vizual că această undă
trebuie să se
termine așa, să se termine complet.
Deci dacă unda asociată
electronului pe această orbită
este în acest fel
atunci această undă este staționară
este stabilă și electronul va sta
pe ea un timp indefinit.
Ce se întâmplă cu altă orbită? Deci să zicem că
luăm altă orbită la altă poziție
a acelui ași electron
și bineînțeles modificând
r, raza lui, atunci
lungimea acestei orbite nu va
mai fi o multiplu de lambda.
Ce se va întâmpla, evident, este că
ea se va termina ceva de genul acesta, unda asociată.
Nu se va mai închide.
În această situație electronul
s-ar afla pe o
orbită instabilă și
deci această
stare a atomului nu va putea exista.
În concluzie, condiția de cuantificare
ne spune care sunt orbitele
electronilor care sunt staționare, stabile
și deci în care atomul
poate sta un timp indefinit.
Celelalte orbite sunt cele care dispar imediat
pentru că nu îndeplinesc această
condiție de staționaritate.
Continuând, putem
deduce
că prima lege de cuantificare și cea mai
imediată ecuație
din condiția de cuantificare este cea pentru momentul
cinetic al unei particule. Momentul cinetic
al unei particule sau unui corp și în mecanica
clasică este un vector, se notează cu el
și este produsul vectorial dintre
vectorul poziție și vectorul impuls.
În cazul particular în care
R și P sunt perpendiculare, care este
cazul nostru, deci R
provine din nucleu, acesta este vectorul
R, vectorul P este
de-a lungul vectorului viteză care
este tangent la traiectorie.
Deci modulul lui L este R or P
dar aceasta este exact condiția noastră de cuantificare.
Deci, într-un fel, condiția de cuantificare
ne dă prima lege de cuantificare
și anume că magnitudinea sau modulul
momentului cinetic al unui electron
pe orbită staționară este un multiplu
de h-bar.
Deci e cuantificat.
În concluzie, cuantificarea
orbitelor electronilor atomici se bazează
pe două idei fundamental.
Staționaritatea orbitelor
deci a stărilor atomice
în care orbitele electronilor
se află în acele poziții și pe
caracterul dual undă corpuscul
ale electronilor, care înseamnă că
considerăm electronii ca fiind particule
descrise de fizica cuantică.
Și de aici am dedus condiția de cuantificare
și prima lege de cuantificare, cea pentru
momentul cinetic orbital.
Următoarea lege
folosește condiția de echilibru.
Aceste orbite al electronilor
sunt staționare, dar ca să fie
și în echilibru trebuie
după cum am spus și după cum rezultă
din modelul lui Rutherford, al atomului
trebuie ca forța de atracție electrostatică să fie egală
cu forța centrifugă. Deci
punem această condiție
suplimentară ca forța elastică să fie
forța, scuzați, electrostatică să fie egală
cu forța centrifugală.
Din mecanica clasică putem scrie
formula forței centrifugale
este mv pătrat pe R
și din electrostatică știm formula forței
electrostatice care este
e pătrat împărțit la
4 pi epsilon zero R pătrat. De ce
e pătrat? Pentru că cele două sarcini
sunt, ale electronului este
e, bineînțeles, și ale atomului
am considerat-o tot e pentru că deocamdată
dezvoltăm formalismul
pentru atomul de hidrogen care are
Z egal cu 1. În curând sau
în câteva minute voi comenta
și asupra cazului
Z mai mare decât 1, adică a tuturor celor
alți atomi decât hidrogen. Deci deocamdată considerăm
un atom de hidrogen care are un nucleu
cu Z egal cu plus 1.
Deci ecuația atunci devine
aceasta care poate fi scrisă
în felul următor m pătrat v pătrat
R pătrat este egal cu m e pătrat
ori R împărțit la 4 pi epsilon zero.
Am dus R pătrat în partea
stângă, R în partea dreaptă și am mulțit cu m.
Aplicăm condiția de cuantificare
care este R p egal cu n h bar
adică R m v egal cu n h bar
rezultă că
făcând substituțiile pentru R m v
deci această parte stângă va fi
m pătrat h bar pătrat
adică ceea ce vedem aici, egal cu m e pătrat
4 pi epsilon zero R. Simplificând
obținem legea de cuantificare
a razelor orbitelor. Deci R
va fi egal cu n pătrat
înmulțit cu o constantă pe care o notăm cu R1
și care are următoarea ecuație.
Deci R1 din această ecuație
va fi egal cu epsilon zero h pătrat
împărțit la
pi m e pătrat
și care
toate aceste mărimi sunt constante
înlocuindu-le obținem această valoare care este raza
primei orbite bor. Deci razele
orbitelor electronilor sunt
un număr întreg la pătrat înmulțit cu
R1 care este raza primei orbite
cea mai apropiată de nucleu
care se numește și prima orbită bor și are
această valoare. Celelalte vor fi
deci 2 la pătrat R1
adică 4R1, 3 la pătrat R1
adică 9R1 și așa mai departe. Aceasta este
lege de cuantificare a razelor orbitelor electronilor.
Aici am scris ceea ce
tocmai am discutat acum. În concluzie
aceste ecuații pot fi folosite
doar pentru atomul de hidrogen deoarece
în expresia forței electrostatice am ținut
cont doar de interacția electron-nucleu.
Deci, ce vreau
să spun? Vreau să spun următorul lucru.
Când scriem ecuația
forța electrostatică
ce acționează asupra electronului
este egal cu forța centrifugală, deci Mv pătrat
pe R. Am scris explicit această
ecuație ca fiind E pătrat împărțit
la 4Pε0R pătrat.
În principiu
am putea spune că dacă
nucleul are
sarcina Z, am adăuga un Z
deoarece sarcina nucleului ar fi
ZE, sarcina electronului este E, deci
produsul sarcinului este ZE pătrat.
Totuși acest lucru nu ar fi corect pentru că
ar ține cont doar de interacție
electrostatică dintre electron și
nucleu. Dar atomul nostru
dacă Z este mai mare decât 1, atunci trebuie să
aibă mai mulți electroni. Deci există
un număr egal cu Z de electroni
și există o forță de
respingere dintre electroni.
Deci această formulă a forței
electrostatice ce acționează
asupra unui electron este
incompletă. Ar trebui să adăugăm și forțele
de interacție electrostatice dintre
electroni, dintre ceilalți electroni.
Deci atomii cu Z mai mare decât 1
au mai mulți electroni și atunci trebuie să includem
în formula forți electrostatice și multitudinea
de interacții electron-electron.
Și deci formula noastră
care a conținut numai acest termen e valabilă
doar pentru atomul de hidrogen.
Ea este de asemeni valabilă
și pentru așa numiți atomi hidrogenoizi
care de fapt sunt ioni
din care s-au eliminat toți electronii
mai puțin 1. Deci dacă luăm orice atom
și eliminăm toți electronii mai puțin 1
atunci bineînțeles ne întoarcem la
situația în care avem doar un nucleu
și un electron și atunci putem
pune în formula
forței electrostatice un Z.
Deci substituim e pătrat cu Z e pătrat
și atunci ecuațiile de cuantificare
spre exemplu de cuantificare a razei electronului
rămân corecte.
În particular
ce se modifică în ecuația de
cuantificare a razei?
Substituim e pătrat cu Z e pătrat și deci
R1 pentru un atom
hidrogenoid va deveni R1 împărțit la Z
ceea ce are sens
bineînțeles pentru că dacă găștem
sarcina nucleului de la plus 1
Z egal cu 1 a hidrogenului la un anumit
valoare Z, atunci electronul
va fi atras mai puternic de către
nucleu, deoarece acesta are sarcină
mai mare și deci raza sau orbita
aflată în echilibru va fi mai aproape
de nucleu.