Tabla unei legi de compoziție (tabla lui Cayley)

Dacă avem o lege de compoziție definită pe o mulțime finită, atunci putem realiza tabla legii de compoziție sau tabla lui Cayley.

Cayley a fost un matematician britanic care a adus contribuții importante la dezvoltarea geometriei descriptive, algebrei, a teoriei funcțiilor, a teoriei matricelor și determinanților lor.

Ați mai auzit de el când ați discutat despre teorema lui Hamilton Cayley la matrici.

Tabla unei legi de compoziție este utilă în verificarea unor proprietăți ale legii de compoziție.

În acest videoclip voi prezenta cum realizăm o astfel de tablă și pentru aceasta voi începe cu un exemplu.

Considerăm operația de adunare pe Z4

Z4 înseamnă mulțimea formată din clasa de resturi 0 modul 4, clasa de resturi 1 modul 4, clasa de resturi 2 modul 4 și clasa de resturi 3 modul 4.

Și realizăm tablă

Aici vom scrie operația cu care lucrăm, e vorba de operația de adunare

și pe orizontală și pe verticală vom trece elementele din Z4, adică clasa lui 0, clasa lui 1, clasa lui 2 și clasa lui 3

respectiv clasa lui 0, clasa lui 1, clasa lui 2 și clasa lui 3

Interiorul tablei îl privim ca pe o matrice

Elementul de aici va fi elementul de pe linia 1, coloana 1

Elementul de aici va fi elementul de pe linia 1, coloana 2 și așa mai departe

În interiorul tablei vom scrie rezultatele operației de adunare dintre elementele lui Z4

Elementul de pe linia 1, coloana 1 va fi rezultatul operației dintre clasa lui 0 modul 4 și clasa lui 0 modul 4

adică 0 plus 0 modul 4 este clasa lui 0

Elementul de pe linia 1, coloana 2 va fi rezultatul operației de adunare dintre clasa lui 0 modul 4 cu clasa lui 1 modul 4

0 plus 1 modul 4 este clasa lui 1

și așa mai departe vom obține aici clasa lui 0 plus clasa lui 2 este clasa lui 2

clasa lui 0 plus clasa lui 3 este clasa lui 3

Pe linia a doua vom completa cu rezultatele operației

clasa lui 1 modul 4 plus clasa lui 0 modul 4 este clasa lui 1 modul 4

clasa lui 1 plus clasa lui 1 este clasa lui 2

clasa lui 1 plus clasa lui 2 este clasa lui 3

și clasa lui 1 plus clasa lui 3 este clasa lui 4

care în Z4 este egală cu clasa lui 0

restul împărțirii lui 4 la 4 este 0

apoi completăm elementele de pe linia a treia

clasa lui 2 plus clasa lui 0 ne dă clasa lui 2

clasa lui 2 plus clasa lui 1 ne dă clasa lui 3

clasa lui 2 plus clasa lui 2 este clasa lui 4

care în Z4 este egală cu clasa lui 0

clasa lui 2 plus clasa lui 3 este clasa lui 5

în Z4 adică clasa lui 1

și acum elementele de pe ultima linie

clasa lui 3 plus clasa lui 0 este clasa lui 3

clasa lui 3 plus clasa lui 1 este clasa lui 4 modul 4

adică clasa lui 0

clasa lui 3 plus clasa lui 2 este clasa lui 5 modul 4 adică clasa lui 1

și clasa lui 3 plus clasa lui 3 este clasa lui 6 modul 4 adică clasa lui 2

pe caz general, dacă avem o lege de compoziție internă

F definită pe o mulțime finită M

considerăm că mulțimea M are elementele A1, A2, AN

și legea de compoziție este definită pe M ori M cu valori în M

atunci tabla operației

va fi în mod evident de același tip

aici scriem legea de compoziție

deci în cazul nostru este vorba de F

scriem elementele lui M pe orizontală

adică A1, A2

punem un element oarecare, de exemplu AJ

și așa mai departe până la AN

și scriem elementele lui M și pe verticală

adică avem A1, A2

scriem și un element oarecare, adică scriem PAI

și așa mai departe până ajungem la AN

să prelungesc linia aceasta

elementul de pe linia I și coloana J

va fi rezultatul operației

F de

AIH

dacă în exemplu pe care l-am luat

Z4 are 4 elemente

atunci tabla legii de compoziție va avea 4x4

adică 16 elemente

pe caz general, dacă avem N elemente în mulțimea M

atunci tabla legii de compoziție va avea NxN

adică N pătrat elemente

să mai facem un exemplu

să luăm operația de înmulțire pe Z5

Z5

vă reamintesc

are elementele clasa lui 0 modul 5

clasa lui 1 modul 5

clasa lui 2 modul 5

clasa lui 3 modul 5

și clasa lui 4 modul 5

opriți înregistrarea și realizați singur tabla operației

ar fi trebuit să obțineți acest tabel

vă rog să vă verificați dacă ați lucrat corect

am să iau doar un exemplu din acest tabel

ca să vedeți cum am ajuns aici la rezultat

de exemplu

clasa lui 3 modul 5

ori clasa lui 3 modul 5

conform operației bine înțeles

și de înmulțire

între clasele de resturi

va fi egal cu clasa modul 5

alui 3

ori 3 modul 5

3 ori 3 este 9

9 împărțit la 5

are restul 4

deci este clasa lui 4 modul 5