Legi de compoziție - Adunarea și înmulțirea modulo n

În cadrul acestui videoclip voi prezenta alte două exemple de legi de compoziție interna.

Ele sunt adunarea și înmulțirea modulu N.

Vom considera un număr natural, de exemplu luăm pe N egal cu șase,

și mulțimea numerelor întregi pe care o notăm ca de obicei cu Z.

Luăm A un număr întreg

și atunci dacă îl împărțim pe A la șase

vom obține un cât care este unic și număr întreg

și vom obține un rest.

Ce valori poate avea restul atunci când împărțim un număr întreg la șase?

Probabil că deja v-ați dat seama

restul poate să aibă valorile 0, 1, 2, 3, 4 și 5

pentru că știm că restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul

în situația noastră împărțitorul este șase.

Dacă ar fi să formulăm elegant teorema împărțirii cu rest

care ne spune de fapt acest rezultat

atunci am avea următorul nenunț

Dacă A este un număr întreg

atunci există un unic cât

îl voi nota cu Q

acum l-am notat și mai sus, număr întreg

și există un unic rest

din mulțimea 0, 1, 2, 3, 4 și 5

astfel încât A să fie egal cu

șase ori Q plus restul

Asta se numește teorema împărțirii cu rest

probabil că vă mai amintiți de ea

cred că în clasa a patra îi spuneați proba împărțirii

dar este unul și același lucru

Haideți să determinăm cât este Q și cât este restul

împărțirii la șase pentru următoarele numere

15

18

23

minus 20

minus 30

minus 10

opriți înregistrarea video și stabiliți

care este câtul și restul împărțirii

acestor numere la șase

pentru 15

pe 15 îl putem scrie ca șase ori doi

plus trei

înseamnă că avem câtul egal cu doi

și restul egal cu trei

restul face parte din mulțimea 0, 1, 2, 3, 4, 5

câtul este numărul trei

înseamnă că scrierea este corectă

pentru 18

vom avea șase ori trei

plus zero

câtul este trei

și restul este zero

din nou facem verificarea

dacă trei este din mulțimea numerelor între C și S

restul este zero și aparține mulțimii 0, 1, 2, 3, 4 și 5

23

la împărțirea cu șase

obținem câtul trei

și restul cinci

pentru că șase ori trei este 18 plus 5 este 23

deci câtul trei și restul cinci

verificăm câtul este din Z

restul din mulțimea 0, 1, 2, 3, 4, 5

când i-am întrebat pe elevii mei la clasă

care este câtul și restul împărțirii lui minus 20 la șase

am obținut două răspunsuri diferite

un elev mi-au spus că minus 20 împărțit la șase

are câtul egal cu minus 3

și restul egal cu minus 2

pentru că șase ori minus 3

plus minus 2

este egal cu minus 20

alții au spus că

dacă îl împărțim pe minus 20 la șase

obținem câtul minus 4

și restul 4

pentru că șase ori minus 4

plus 4

este minus 20

care dintre elevi aveau dreptate?

cei care au spus că obținem câtul minus 3 și restul minus 2

sau cei care au spus că obținem câtul minus 4 și restul 4

haideți să verificăm

noi trebuie să verificăm dacă restul și câtul sunt din mulțimile specificate

noi avem aici câtul minus 3, câtul trebuie să fie din Z

este în regulă

restul minus 2

dar restul trebuie să fie din mulțimea 0, 1, 2, 3, 4 și 5

înseamnă că această variantă nu este corectă

pentru că nu respectă condiția ca restul să fie un număr natural

mai mic decât 6

deci varianta aceasta cade

să vedem dacă varianta a doua este corectă

dacă avem câtul minus 4

minus 4 este din Z

înseamnă că această condiție este verificată

și dacă restul este 4

atunci restul este din mulțimea 0, 1, 2, 3, 4, 5

și rest egal 4 verifică condiția din teorema împărțirii cu rest

înseamnă că

pe minus 20

îl vom scrie

așa cum am stabilit că este corect

adică minus 20 este egal cu

6 ori minus 4

plus 4

să ștergem ce am scris aici

câtul este minus 4

și restul este 4

pe minus 30 îl putem scrie ca 6 ori minus 5

plus 0

deci vom avea câtul egal cu minus 5

și restul egal cu 0

câtul este din mulțimea numerelor întregi și restul

este un număr natural mai mic decât 6

înseamnă că verifică condițiile din teorema împărțirii cu rest

iar pe minus 10

dacă îl scriem ca 6 ori minus 1

atunci restul va fi negativ

nu este corect, va trebui să îl scriem ca 6

ori minus 2

obținem un minus 12 și atunci mai trebuie să adunăm 2

câtul va fi minus 2, este număr întreg

restul este 2, este număr natural mai mic

decât 6, înseamnă că este corect

vom nota cu

A modulo 6

restul împărțirii lui A la 6

și el se mai și numește

redusul modul 6 al numărului A

pentru exemplele pe care le-am luat aici

vom putea nota

15 modulo 6

este egal cu 3

18 modulo 6

este egal cu 0

23 modulo 6

este egal cu 5

minus 20 modulo 6

este egal cu 4

minus 30 modulo 6

este egal cu 0

și minus 10 modulo 6

este egal cu 2

este egal cu 3

dacă A este negativ

este cel mai simplu să încadrăm numărul A

între 2 multipli de 6

consecutiv

noi îl avem pe minus 10

de exemplu pentru ultimul număr

pe minus 10 îl putem încadra

între minus 12

care este un multiplu de 6

și minus 6

minus 6 și minus 12

sunt 2 multipli de 6

consecutiv

dacă numărul este negativ

cum este în situația noastră

minus 10

vom lua multiplul de 6

din stânga numărului

în cazul nostru luăm pe minus 12

adică 6 ori minus 2

și atunci restul va fi egal cu 2

pentru că la minus 12

trebuie să adunăm 2

ca să obținem minus 10

în exemplu pe care l-am luat

l-am considerat pe n

egal cu 6

un număr natural diferit de 0

dacă avem

că n este un număr natural

diferit de 0

atunci a modulo n

este restul

împărțirii lui a la n

acum putem defini

cele 2 legi de compoziție

din titlu

dacă n este un număr natural nenul

pe mulțimea numerelor întregi

putem defini operația de adunare modulo n

o notăm cu plus într-un cerc

care are

domeniul de definiție z or z

codomeniul este z

și a plus b este egal cu

a plus b modulo n

a plus b se mai numește și

suma modulo n alui a cu b

înmulțirea modulo n este

definită tot pe z or z cu valori în z

a or b este

ab modulo n

și a or b se mai numește

produsul modulo n alui a cu b

Vom lua un exemplu

în cazul în care

n este egal cu 9

6 plus 11

va fi egal cu 17 modulo 9

adică restul împărțirii lui

17 la 9

care este egal cu 8

și un al doilea exemplu

pentru n egal cu 10

minus 3 or 17

este egal cu minus 51

modulo 10

care este egal cu 9

pe minus 51 scriem ca

minus 6 or 10

plus 9

de reținut că de fiecare dată

când avem de efectuat adunare și înmulțire

n trebuie precizat

trebuie să știm cât este n