Legi de compoziţie

În cadrul acestui video vom defini legea de compoziție pe o mulțime și vom da câteva exemple de legi de compoziție.

În primul rând, cred că merită reținut faptul că, de fapt, legile de compoziție sunt niște operații, dar nu toate operațiile sunt legi de compoziție interna.

Pornim cu un exemplu.

Considerăm mulțimea numerelor naturale și elementele 3 și 4, care sunt numere naturale.

Prin operația de adunare, noi asociem, de fapt, acestor două numere, suma lor, adică asociem elementul 3 plus 4,

care este, la rândul lui, un număr natural.

Cu alte cuvinte, am luat un element din mulțimea numerelor naturale, am luat un al doilea element din mulțimea numerelor naturale

și am asociat acestei perechi, deci perechii 3 și 4, prin operația de adunare, i-am asociat elementul 7, care este tot un număr natural.

Având în vedere că am discutat despre o asociere, asta înseamnă că, de fapt, avem o funcție.

Funcția adunare o voi nota cu plus, care va fi definită pe

și acum, pentru ca să-i stabilim domeniul de definiție, trebuie să avem în vedere că noi pornim de la o pereche,

ceea ce înseamnă produs cartezian, N ori N în cazul nostru, cu domeniul trebuie să fie tot mulțimea numerelor naturale

și legea de corespondență plus de perechea AB este egală cu A plus B.

Acest lucru pentru orice A și B număr natural.

Pornind de la acest exemplu al operației de adunare a numerelor naturale privită ca funcție,

putem defini legea de compoziție internă

Dacă M este o mulțime nevidă,

o funcție sau o aplicație definită pe M ori N,

cu valori în M,

care asociază fiecarei perechi de două elemente XY,

elementul F de XY

se numește lege de compoziție

internă

pe mulțimea M

Cuvântul internă este legat de faptul că mulțimea M apare atât în domeniul produsul cartezianălui M ori N,

cât și în codomeniul funcției.

Există și legi de compoziție externă, dar nu veți lucra cu ele pe parcursul liceului.

Elementul F de XY

se numește compusul lui X cu Y prin legea de compoziție

Aici am pus două paranteze în momentul în care l-am scris pe F de perechea XY

din simplu motiv că prima paranteză provine de la FD

iar perechea XY mai are încă o paranteză

deci o paranteză de la FD, a doua paranteză de la perechea XY

În cele ce urmează am să vă dau câteva exemple de legi de compoziție internă

Sunt, de fapt, operații pe care le-ați studiat și care sunt și legi de compoziție internă

În primul rând e vorba de operația de adunare

care poate fi definită pe oricare dintre mulțimea numerelor naturale, întregi, raționale, reale sau complexe

și dacă, de exemplu, considerăm adunarea pe mulțimea numerelor reale

ca lege de compoziție internă este definită pe produsul cartezian R or R

cu valori în mulțimea numerelor reale

și prin această lege se asociază perechii XY din R or R

suma celor două numere, care în mod evident este tot un număr real

Apoi operația de înmulțire

am notat-o aici cu un X mic pentru că punctul nu se prea vede

operația de înmulțire care poate fi pe mulțimea numerelor naturale

sau pe mulțimea numerelor întregi, raționale, reale sau complexe

și dacă am considerat operația de înmulțire definită pe mulțimea numerelor complexe

ca lege de compoziție internă, ea este definită pe C or C cu valori în C

asociind fiecarei perechi din produsul cartezian C or C

produsul celor două numere, care la rândul lui este un număr complex

Al treilea exemplu este adunarea vectorilor

am notat cu V mare de mână mulțimea vectorilor din plan

și definită ca lege de compoziție internă, această operație este definită pe V or V cu valori în V

și prin această operație noi asociăm

perechi de vectori V1, V2, suma celor doi vectori, care la rândul ei este un vector

În exemplu 4 am considerat mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțime nevide

am considerat M ca fiind o mulțime nevide

și atunci am notat cu P de M

aceasta este mulțimea părților lui M

mulțimea tuturor submulțimilor lui M

pe această mulțime se poate defini reuniunea

dar la fel de bine se poate defini și intersecția sau diferența

sau diferența simetrică, a doua, mulțimi

toate acestea sunt operații care sunt legi de compoziție internă

am să vă las pe voi să scrieți reuniunea ca lege de compoziție internă

În exemplu 5 am considerat mulțimea funcțiilor definite pe M cu valori în M

și am luat operația de compunere

această operație este la rândul ei o lege de compoziție internă

ea este definită pe produsul cartezian F de M ori F de M cu valori în F de M

și prin această operație se asociază

fiecarei perechi de funcții

funcția F compus cu G care la rândul ei va face parte din F de M

Există și alte operații pe care le-ați studiat și care sunt legi de compoziție internă

opriți acum înregistrarea video și vă rog notați-vi-le pe o faie de hârtie

Vom continua cu câteva non-exemple de legi de compoziție internă

adică vom avea în vedere niște operații pe care le-ați învățat

sunt operații

dar nu sunt legi de compoziție internă

vom considera pe mulțimea numerelor naturale

operația de scădere

și vom lua elementele 3 și 4

prin operația de scădere noi ar trebui ca acestor două numere să le asociem

numărul 3 minus 4 care este minus 1

deci noi am luat două numere din mulțimea numerelor naturale

dar rezultatul operației nu mai este din mulțimea numerelor naturale

este din z

ceea ce era extrem de important în definiția legi de compoziție internă

era că funcția care este lege de compoziție internă

e definită pe m ori m cu valori în m

în cazul scăderii noi am putea defini funcția

pe n ori n cu valori în z

pentru că z nu este aceeași mulțime cu mulțimea

a cărui produs cartezian apare în domeniu

această operație nu este o lege de compoziție internă

un al doilea non-exemplu

vom considera înmulțirea unui vector cu un scalar

dacă luăm alfa un număr real

și v un vector din mulțimea vectorilor

atunci ați definit în clasa nouă

că înmulțirea vectorului v cu scalarul alfa

va fi vectorul alfa v

dacă e să definim această operație

ca o funcție

noi ar trebui să luăm domeniul de definiție

mulțimea numărelor reale ori mulțimea vectorilor

cu valori în mulțimea vectorilor

deci noi ar trebui să asociem unei perechi

de forma alfa și v

vectorul alfa v

nici această funcție nu este o lege de compoziție internă

sau această operație nu este o lege de compoziție internă

pentru că din nou nu este verificată regula

din definiția funcției f

adică noi avem mulțimea r ori mulțimea v

sunt două mulțimi diferite

ceea ce înseamnă că această funcție

nu este o lege de compoziție internă

CÂTEVA NOTAȚII

În notație aditivă f de x,y

se notează cu x plus y

elementul x plus y se mai numește și suma lui x cu y

iar operația f se numește adunare

În notație multiplicativă f de x,y

se scrie x ori y

elementul x ori y din M

se mai numește produsul lui x cu y

iar operația se numește înmulțire

cuvântul aditiv vine de la adunare

cuvântul multiplicativ vine de la înmulțire

Deseori, dacă f este o lege de compoziție internă

pe mulțimea M

atunci f de x,y se mai notează cu

x f y sau x compus cu y

aici este un cerc mic

x stea y, x t y

sau x perpendicular pe y

acest perpendicular nu are nimic de a face cu perpendicularitatea de la geometrie

este doar un semn care poate fi folosit pentru

legea de compoziție internă

Pentru a vedea cum lucrăm cu legile de compoziție interne

vom rezolva un scurt exercițiu

Pe mulțimea numerelor întregi se definește

legea de compoziție internă compus

prin x compus cu y este egal cu

2x plus 3y minus 3 pentru orice x,y

din z

Se cere să îl determinăm pe 4 compus cu 7

Pentru aceasta vom folosi un cod de culori

în legea de compoziție dată

L-am colorat pe x cu albastru

pe y cu mof

și tot restul a rămas scris cu galben

În operația pe care trebuie să o efectuăm

4 joacă rolului x îl marcăm cu albastru

7 joacă rolului y

și îl marcăm cu mof

Operația de compunere o păstrăm cu galben

Și atunci vom obține

2 ori 4 plus 3 ori 7

4 ține locul x

7 ține locul y

minus 3 egal cu 8 plus 21 minus 3

adică 26