Adunarea și înmulțirea claselor de resturi modulo n

Am văzut că pentru un număr natural N diferit de 0, fixat, putem defini pe Z

operațiile de adunare și înmulțire modulo N.

În acest videoclip vom defini alte două legi de compoziție cu ajutorul adunării și înmulțirii modulo E.

Îl vom considera pe N egal cu 3 și știm că dacă împărțim un număr întreg la 3,

întotdeauna vom obține un cât număr întreg unic determinat și restul 0, 1 sau 2.

Adică noi avem că pentru orice A din Z există un unic cât număr întreg și există un unic rest din mulțimea 0, 1 sau 2,

astfel încât A să fie egal cu 3 orichiu plus restul.

Vom considera acum mulțimea numerelor întregi, o scriem aici atât cât se poate scrie,

zic atât cât se poate scrie pentru că are infinitate de elemente,

puncte, puncte, puncte, minus 6, minus 5, minus 4, minus 3, minus 2, minus 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și așa mai departe.

Și ne interesează să vedem dintre numerele întregi care sunt numerele care împărțite la 3 dau restul 0,

care împărțite la 3 dau restul 1 și care împărțite la 3 dau restul 2.

Vom marca cu albastru numerele care împărțite la 3 ne dau restul 0

și atunci aici de fapt intră multiplii de 3

îl avem pe minus 6, minus 3, 0, 3 și 6

și o să îi și scriem pe aceștia într-o mulțime

minus 6, minus 3, 0, 3 și 6

și evident mai sunt și alții dar nu îi vedem, există acolo fără ca să-i chiar vedem.

Vom marca cu verde numerele întregi care împărțite la 3 ne dau restul 1

să nu uităm, restul trebuie să fie 0, 1 sau 2

deci minus 5 pe care îl putem scrie ca 3 ori minus 2 plus 1 are restul 1

minus 2 pe care îl putem scrie ca 3 ori minus 1 plus 1 are restul 1

1 pentru că este 3 ori 0 plus 1

4 pentru că este 3 ori 1 plus 1

și evident mai sunt și altele dar nu le avem scrise

și punem și aceste elemente într-o mulțime

minus 5, minus 2, 1, 4 și așa mai departe

și numerele întregi care împărțite la 3 ne dau restul 2

sunt de fapt singurele care au rămas necolorate

le marcăm cu MOV

și avem minus 4, minus 1, minus 4 are restul împărțirii la 3 egal cu 2

pentru că îl putem scrie ca 3 ori minus 2 plus 2

minus 1 pentru că îl putem scrie ca 3 ori minus 1 plus 2

2 și 5

adică aici avem elementele minus 4, minus 1, 2, 5

Aceste 3 mulțime pe care le-am scris aici

sunt de fapt clasele de resturi modulo 3

Prima clasă de resturi este clasa de resturi alui 0 modulo 3

De ce modulo 3?

Opriți înregistrarea și răspundeți la această întrebare

Este o clasă de resturi modulo 3

pentru că în acest exemplu N are valoarea 3

și contează valoarea lui N în stabilirea claselor de resturi

Pentru N egal cu 4, de exemplu, clasa de resturi 0 modulo 4

conține toți multiplii lui 4

Deci aceasta este clasa de resturi 0 modulo 3

L-am luat pe 0 pentru că 0 este un element din această mulțime

dar la fel de bine ar putea să fie și clasa lui 3

clasa lui 6

sau clasa lui minus 3

sau clasa lui minus 6

sau chiar clasa lui minus 99

Orice multiplu de a lui 3 se regăsește în această clasă

dar am notat-o cu clasa lui 0 modulo 3

pentru că 0 este un reprezentant al acestei clase

De ce este reprezentant?

1. Face parte din mulțime

2. Este restul împărțirii oricărui număr din mulțime la 3

Ca și notație, vedeți că am pus 0 cu un soi de căciulă deasupra lui 0

Aceasta este notația pentru clasele de resturi

și vedem că, de fapt, clasa de resturi este o mulțime

Folosind același raționament

a doua mulțime, pentru că 1 face parte din mulțime

și este restul împărțirii oricărui număr din mulțime la 3

o vom nota cu 1 cu căciulă

adică clasa lui 1 modulo 3

și clasa lui 1 modulo 3 este egală și cu clasa lui 4 modulo 3

sau clasa lui minus 2 modulo 3

sau clasa lui minus 5 modulo 3

și așa mai departe

Aici, de fapt, această mulțime este clasa oricărui număr care, împărțit la 3, ne dă restul 1

Și am ajuns la ultima mulțime pe care am scris-o

Ea conține pe 2 și toate numerele întregi care, împărțite la 3, au restul 2

o vom nota cu clasa lui 2 modulo 3

dar clasa lui 2 modulo 3 este egală și cu clasa lui 5 modulo 3

sau cu clasa lui minus 1 modulo 3

sau cu clasa modulo 3 a oricărui alt element din această mulțime

Constatăm că aceste 3 mulțimi

clasa lui 0, clasa lui 1 și clasa lui 2

nu au niciun element comun

deci ele sunt disjuncte și dacă le reunim, obținem mulțimea numerelor întregi

Vom nota cu Z indice 3

mulțimea claselor de resturi modulo 3

adică clasa lui 0, clasa lui 1 și clasa lui 2

Z indice 3 este o mulțime de mulțimi

pentru că clasa lui 0 este o mulțime, clasa lui 1 este o mulțime și clasa lui 2 este o mulțime

Dacă avem A, un număr întreg

atunci clasa lui A modulo 3 este fie clasa lui 0 modulo 3

dacă restul împărțirii lui A la 3 este 0

fie clasa lui 1 modulo 3 dacă restul împărțirii lui A la 3 este 1

fie clasa lui 2 modulo 3 dacă restul împărțirii lui A la 3 este 2

de exemplu clasa lui 10 modulo 3

este egală cu clasa lui 1 modulo 3

pentru că 10 împărțit la 3 ne dă restul cu 1

În ceea ce am prezentat până acum l-am considerat pe N egal cu 3

dar tot ceea ce am prezentat este valabil pentru orice N număr natural nenul

adică dacă N este un număr natural nenul fixat

atunci pentru orice A din Z are loc teorema împărțirii cu rest

dacă împărțirea se face la N

adică există un unic Q din Z

și există un unic rest din mulțimea 0, 1, 2

și până la N-1

astfel încât noi să avem că A este egal cu N or Q

plus restul

Vom include în clasa lui 0 modulo N

toate numerele întregi care împărțite la N dau restul 0

deci de fapt va fi mulțimea multiplilor lui N

NK când K este din Z

clasa lui 1 modulo N

va include mulțimea tuturor multiplilor lui N plus 1 când K este din Z

și așa mai departe clasa de resturi N-1 modulo N este egal cu NK plus N-1 când K este din Z

și notăm cu Z indice N

mulțimea claselor de resturi modulo N

adică clasa lui 0, clasa lui 1, clasa lui 2

și până la clasa lui N-1

Acum putem defini pe mulțimea claselor de resturi modulo N

cele două legi de compoziție de care spuneam la început

Prima lege de compoziție este adunarea claselor de resturi modulo N

este definită pe ZN or ZN cu valori în ZN

deci rezultatul trebuie să fie tot o clasă de resturi modulo N

și modalitatea în care o definim este următoarea

clasa lui A plus clasa lui B

este clasa lui A plus B modulo N

adică adunăm pe A și B și apoi considerăm restul împărțirii lui A plus B la N

Definit în acest mod codomeniu legal cu ZN este corect definit

pentru că vom obține tot o clasă de resturi din ZN

A doua lege de compoziție definită pe mulțimea claselor de resturi modulo N

este înmulțirea și ea este definită pe produsul cartezian ZN or ZN cu valori în ZN

Dacă înmulțim două clase de resturi modulo N

clasa lui A modulo N și clasa lui B modulo N

rezultatul va fi clasa lui A or B modulo N

adică din nou vom obține o clasă de resturi modulo N

deci înmulțirea este corect definită

Vom considera un exemplu pentru N egal cu 5

să calculăm clasa lui 2 plus clasa lui 4

Înainte de a efectua operația de adunare

scriem cine este mulțimea Z5

adică mulțimea claselor de resturi modulo 5

Elementele lui Z5 sunt clasa lui 0, clasa lui 1, clasa lui 2, clasa lui 3, clasa lui 4

cu toate clase modulo 5

Și atunci, dacă avem de adunat clasa lui 2 plus clasa lui 4

vedem că amândouă sunt elemente din Z5

Folosim definiția operației de adunare

între clasele de resturi

adică va fi clasa lui 2 plus 4 modulo 5

care este clasa restului împărțirii lui 6 la 5

adică clasa lui 1 modulo 5

Să vedem acum cum efectuăm o înmulțire

suntem tot pentru N egal cu 5

avem de efectuat clasa lui 3 modulo 5

ori clasa lui 4 modulo 5

care este egal cu clasa lui 3 ori 4 modulo 5

3 ori 4 este 12

3 ori 4 modulo 5 este restul împărțirii lui 12 la 5

adică rezultatul va fi clasa lui 2 modulo 5