Triunghiul isoscel (teorie)

Proprietățile triunghiului isoscel. Triunghiul care are două laturi congruente se numește triunghi isoscel.

În figura de mai jos, triunghiul ABC este isoscel, deoarece acesta are laturile AB și AC congruente.

Cea de-a treia latură, BC, care nu este egală cu celelalte două, se va numi baza triunghiului,

iar unghiul A, adică unghiul opus bazei, se va numi mai simplu unghiul de la vârf.

Avem următoarea teoremă. Dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilor congruente sunt congruente.

Unghiul opus laturii AC este unghiul B, iar unghiul opus laturii AB este unghiul C.

Va trebui să demonstrăm că unghiurile B și C sunt congruente.

Pentru a demonstra congruența acestor două unghiuri, o să le încadrăm în două triunghiuri,

vom face o construcție ajutătoare, o să fixăm mijlocul laturii BC, pe care o să-l notez cu D,

și o să construim mediana AD.

Știm din ipoteze că AB este congruent cu AC și trebuie să demonstrăm că unghiul B este congruent cu unghiul C.

Vom demonstra că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul ACD.

Să anunțăm mai întâi construcția făcută, fie D, un punct care aparține segmentului BC, astfel încât BD să fie congruent cu CD.

Știm din ipoteze că AB este congruent cu AC, deoarece triunghiul este isoscel.

Știm că BD este congruent cu CD din construcția pe care am făcut-o.

Am găsit până acum două laturi respectiv congruente. Mai trebuie să găsim o latură sau un unghi.

Având în vedere că despre unghiuri nu avem nicio informație, vom exclude cazurile de congruență care fac referire la unghiuri.

Observăm că cele două triunghiuri au o latură comună. Aceasta este latura AD.

Voi scrie că AD este congruent cu AD, fiind o latură comună.

Din cele trei relații va rezulta, conform cazului de congruență latură-latură-latură, că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul ACD,

iar din această relație de congruență va rezulta că unghiul B este congruent cu unghiul C.

Rețineți că dacă un triunghi este isoscel, acesta are unghiurile alăturate bazei congruente.

Este valabilă și reciproca acestei teoreme, teorema numărul 2.

Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci laturile opuse acestora vor fi congruente, adică triunghiul este isoscel.

Presupunem că avem un triunghi oarecare ABC în care unghiul B este congruent cu unghiul C și ne propunem să arătăm că acest triunghi este isoscel.

Mai exact va trebui să arătăm că AB este congruent cu AC.

Vom face din nou o construcție ajutătoare.

Vom duce înălțimea din A.

Am construit AD perpendiculară pe BC, iar pentru a demonstra că laturile AB și AC sunt congruente, vom arăta că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul ACD.

Anunțăm construcția făcută.

Fie AD perpendiculară pe BC.

Observăm că s-au format două triunghiuri dreptunghice.

Măsura unghiului ADB va fi egală cu măsura unghiului ADC și egală cu 90 de grade.

Observăm că aceste două triunghiuri au o catetă comună, aceasta este latura AD.

Noi scriem că AD este congruent cu AD, fiind o latură comună.

Mai știm din ipoteză că unghiul B este congruent cu unghiul C.

Din aceste două relații rezultă, conform cazului de congruență catetă-unghi, că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul ACD,

iar congruența acestor două triunghiuri implică și congruența ipotenuzelor acestora, adică AB va fi congruentă cu AC.

Înseamnă că triunghiul ABC este isoscel.

Urmează o serie de teoreme referitoare la liniile importante într-un triunghi isoscel,

dar pentru a înțelege mai bine deosebirea dintre un triunghi isoscel și un triunghi oarecare în ceea ce privește poziția liniilor importante,

haideți să facem mai întâi o comparație.

În partea stângă avem un triunghi oarecare, iar în partea dreaptă un triunghi isoscel.

Voi duce mai întâi în triunghiul oarecare câteva linii importante.

O să încep cu construcția bisectoarei, fie AM bisectoarea unghiului A.

Știm că o bisectoare împarte un unghi în două unghiuri congruente.

BAM va fi congruent cu unghiul MAC.

Acum voi construi înălțimea dusă din vârful A.

AN este înălțime, AN este perpendiculară pe BC.

Acum ducem mediana AD, unde D este mijlocul segmentului BC.

Și acum construim mediatoarea.

Vă reamintesc că mediatoarea este perpendiculară a ridicată din mijlocul segmentului,

adică din punctul D voi duce o perpendiculară pe BC, pe care am notat-o cu DF.

Acestea sunt liniile importante construite într-un triunghi oarecare.

Să vedem acum construcția acestor linii importante într-un triunghi isoscel.

Construim mai întâi bisectoarea dusă din vârf.

AM este bisectoare, unghiul BAM va fi congruent cu unghiul MAC.

Acum voi duce cu o altă culoare înălțimea.

Observați că înălțimea coincide cu bisectoarea unghiului A, deci aceste drepte se suprapun.

Construim cu verde mediana.

Putem observa că și mediana coincide cu înălțimea și cu bisectoarea.

Iar dacă vom construi mediatoarea laturii BC, cu galben,

observăm că aceasta coincide cu celelalte linii construite anterior.

Aceasta va fi una dintre teoremele importante ale triunghiului isoscel

și anume, bisectoarea unghiului din vârf va fi înălțime mediană și mediatoare.

Teorema 3

Dacă un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului de la vârf este și înălțime mediană și mediatoare.

În triunghiul isoscel ABC am dus bisectoarea AD.

S-au format două unghiuri congruente.

Trebuie să arătăm că AD este înălțime mediană și mediatoare.

În ipoteză, avem următoarele date.

AB este congruent cu AC.

Unghiul BAD este congruent cu unghiul CAD.

Trebuie să arătăm că AD este înălțime, adică arătăm că AD este perpendiculară pe BC.

Trebuie să arătăm că AD este mediană, adică arătăm că punctul D este mijlocul segmentului BC.

Și mai trebuie să arătăm că AD este și mediatoare.

Dar dacă reușim să demonstrăm relația de perpendicularitate dintre AD și BC,

respectiv congruența segmentelor BD și CD,

atunci va rezulta implicit că AD este și mediatoare.

Vom demonstra mai întâi relația de congruență dintre segmentele BD și CD.

Pentru a demonstra că aceste două segmente sunt congruente,

vom arăta că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul ACD.

Se știe din ipoteză că AB este congruent cu AC.

Tot din ipoteză știm că unghiul BAD este congruent cu unghiul CAD.

Și cele două triunghiuri au o latură comună. Aceasta este AD.

AD congruent cu AD, fiind o latură comună.

Din cele trei relații va rezulta, conform cazului de congruență latură-unghi-latură,

că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul ACD.

De aici va rezulta că BD este congruent cu CD.

Așadar am demonstrat că AD este mediană.

Voi nota cu 1 această relație.

Mai trebuie să demonstrăm că AD este perpendiculară pe BC.

În incongruența celor două triunghiuri mai rezultă și că unghiul ADB este congruent cu unghiul ADC.

Dar cele două unghiuri sunt suplementare deoarece ele formează împreună unghiul alungit, BDC,

care are măsura de 180 de grade.

Ele fiind unghiuri suplementare și congruente, va rezulta că fiecare dintre acestea are măsura de 90 de grade.

Adică ele vor fi unghiuri drepte.

Va rezulta atunci că AD este perpendiculară pe BC.

Din faptul că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul ACD,

rezultă că unghiul ADB este congruent cu unghiul ADC.

Adică măsura unghiului ADB este egală cu măsura unghiului ADC.

Dar acestea fiind unghiuri suplementare, putem să scriem că măsura unghiului ADB plus măsura unghiului ADC

egal 180 de grade.

Din cele două relații, va rezulta că măsura unghiului ADB este egală cu măsura unghiului ADC

și egal cu 180 de grade împărțit la doi, egal cu 90 de grade.

Având în vedere că acestea sunt unghiuri drepte, va rezulta așadar că AD este perpendiculară pe BC.

Notăm această relație cu 2.

Așadar, am arătat că AD este mediană conform relației 1.

Am arătat că AD este înălțime conform relației pe care am notat-o cu 2.

Iar din relația 1 și 2, va rezulta că AD este și mediatoare.

Urmează teorema numărul 4.

Dacă în triunghi este isoscel, atunci mediana corespunzătoare bazei este și bisectoarea unghiului de la vârf.

În triunghiul isoscel ABC am construit AD mediană.

Pentru a demonstra că aceasta este și bisectoarea unghiului A, se folosește metoda triunghiurilor congruente.

Se demonstrează congruența triunghiurilor ABD și ADC.

O să vă las pe voi să vă gândiți cum putem face această demonstrație.

Teorema numărul 5.

Dacă într-un triunghi o bisectoare este și mediană, atunci triunghiul este isoscel.

Așadar, teorema 5 este reciproca teoremei numărul 4 și se demonstrează folosind metoda triunghiurilor congruente.

Teorema numărul 6.

Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana corespunzătoare bazei este și înălțime.

Este valabilă și reciproca teoremei 6.

Și anume, dacă într-un triunghi înălțimea corespunzătoare unei laturi este și mediană, atunci triunghiul este isoscel.

Teorema numărul 8.

Dacă un triunghi este isoscel, atunci înălțimea corespunzătoare bazei este și bisectoarea unghiului de la vârf.

Și reciproca teoremei 8 este teorema numărul 9.

Dacă într-un triunghi bisectoarea unui unghi este și înălțime, atunci triunghiul este isoscel.

Toate aceste teoreme se demonstrează folosind metoda triunghiurilor congruente.

O să vă las pe voi să faceți aceste demonstrații.

Urmează teorema numărul 10.

Un triunghi isoscel are două înălțimi congruente.

În triunghiul isoscel ABC se știe că AB este congruent cu AC.

Am construit înălțimile duse din vârfurile alăturate bazei.

BM perpendiculară pe AC și CN perpendiculară pe AB.

Trebuie să demonstrăm că aceste două înălțimi sunt congruente.

Mai întâi scriem ipoteza. Avem un triunghi ABC,

astfel încât AB este congruent cu AC.

Am dus BM perpendiculară pe AC și CN perpendiculară pe AB.

Trebuie să demonstrăm că aceste înălțimi sunt congruente.

BM este congruentă cu CN.

Pentru a demonstra congruența acestor două înălțimile încadrăm în două triunghiuri.

Aceste triunghiuri sunt dreptunghice. Este vorba despre triunghiul ABM și triunghiul ACN.

Mai întâi vom scrie că acestea sunt triunghiuri dreptunghice.

În triunghiul ABM, măsura unghiului AMB este egală cu 90 de grade

pentru că BM este perpendiculară pe AC,

iar în triunghiul ACN, măsura unghiului ANC este egală cu 90 de grade.

Având în vedere că trebuie să demonstrăm congruența două triunghiuri dreptunghice,

este suficient să găsim două elemente congruente.

Știm din ipoteză că AB este congruentă cu AC.

AB și AC fiind ipotenuze în aceste două triunghiuri.

Și observăm că acestea mai au un unghi comun. Este vorba de unghiul A.

Unghiul BAM este congruent cu unghiul CAN, fiind un unghi comun.

Din aceste două relații va rezulta, conform cazului de congruență ipotenuză unghi,

că triunghiul ABM este congruent cu triunghiul ACN,

iar această relație de congruență implică congruența segmentelor BM și CAN.

Rețineți că un triunghi isoscel are două înălțimi congruente.

Este vorba despre înălțimile duse din vârfurile alăturate bazei.

Este valabilă și reciprocă acestei teoreme.

Teorema numărul 11.

Dacă într-un triunghi două înălțimi sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Următoarea teoremă, teorema 12.

Într-un triunghi isoscel, bisectoarele interioare ale unghiurilor congruente sunt congruente.

Am dus BM, bisectoarea unghiului B, și CN, bisectoarea unghiului C.

Pentru a demonstra congruența acestor bisectoare, se demonstrează congruența triunghiurilor ABM și ACN.

Va fi cazul unghi-latură-unghi. Puteți să faceți voi această demonstrație.

Teorema numărul 13.

Într-un triunghi isoscel, medianele corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.

Am dus BE, mediana corespunzătoare laturii AC, și CF, mediana corespunzătoare laturii AB.

Așadar, E și F sunt mijloacele segmentelor AC și AB.

Pentru a demonstra congruența medianelor BE și CF, se demonstrează că triunghiul ABE este congruent cu triunghiul ACF.

O formă cazului de congruență latură-unghi-latură.

Și o ultimă teoremă.

Într-un triunghi isoscel, mediatoarea corespunzătoare bazei este axă de simetrie.

Am dus AD, mediatoarea laturii BC.

Vă reamintesc că o axă de simetrie este o dreaptă care împarte o figură în două jumătăți care se pot suprapune.

Observăm că triunghiul ABD este congruent cu triunghiul ADC, așadar AD va fi axă de simetrie.