Triunghiul isoscel (aplicații)

Proprietățile triunghiului isoscel. Aplicații.

Prima problemă. În figura alăturată, triunghiul ABC este isoscel, AB este congruent cu AC

și măsura unghiului BAE este egală cu măsura unghiului CAF.

Demonstrați că triunghiul AF este isoscel.

Ipoteză. Se dă în triunghi ABC, AB congruent cu AC

și două puncte E și F situate pe latura BC, astfel încât măsura unghiului BAE să fie egală cu măsura unghiului CAF.

Trebuie să arătăm că triunghiul AF este isoscel.

Demonstrație.

Știm că AB este congruentă cu AC pentru că triunghiul ABC este isoscel

și mai știm că unghiurile BAE și CAF sunt congruente pentru că au aceeași măsură.

Ca să arătăm că triunghiul AF este isoscel, vom arăta că acesta are două laturi congruente.

Mai exact, arătăm că segmentul AE este congruent cu segmentul AF.

Pentru a demonstra congruența acestor două segmente, o să le încadrăm în două triunghiuri.

Vom demonstra că triunghiurile ABE și ACF sunt triunghiuri congruente.

Aceste două triunghiuri au laturile AB și AC congruente.

Acest lucru se știe din ipoteză.

Mai știm din ipoteză că unghiul BAE este congruent cu unghiul CAF

și ne-ar mai trebui o latură sau un unghi.

Având în vedere că triunghiul ABC este isoscel, acesta are unghiurile de la bază congruente.

Deci unghiul B va fi congruent cu unghiul C.

Unghiul B congruent cu unghiul C pentru că triunghiul ABC este isoscel.

Așadar am găsit un unghi, o latură și un unghi.

Va rezulta, conform cazului de congruență unghi-latură-unghi,

că triunghiul ABE este congruent cu triunghiul ACF.

Iar congruența acestor triunghiuri implică congruența segmentelor AE și AF.

Iar un triunghi care are două laturi congruente se numește triunghi isoscel,

așadar am arătat că triunghiul AF este isoscel.

Și problema numărul 2.

În triunghiul ABC isoscel, AB congruent cu AC, măsura unghiului BAC este de 20 grade,

D aparține laturii AC astfel încât măsura unghiului DBC egală cu 60 grade.

Aflați măsura unghiului ACB și arătați că triunghiul ADB este isoscel.

În ipoteză, avem un triunghi ABC astfel încât AB congruent cu AC.

Se știe că măsura unghiului BAC este egală cu 20 grade.

D este un punct care aparține segmentului AC astfel încât măsura unghiului DBC este egală cu 60 grade.

Concluzie.

Trebuie să aflăm la punctul A măsura unghiului ACB,

iar la punctul B trebuie să demonstrăm că triunghiul ADB este isoscel.

Demonstrație.

Începem cu punctul A.

Trebuie să calculăm măsura unghiului ACB.

Știm că triunghiul ABC este isoscel și că măsura unghiului A este de 20 grade.

Triunghiul isoscel are unghiurile de la bază congruente,

deci unghiul C va fi congruent cu unghiul ABC.

Mai știm și că în orice triunghi suma măsurilor unghiurilor este de 180 grade.

Deci ca să aflăm măsura unghiului C și implicit măsura unghiului B,

din cele 180 grade o să scădem 20 grade și măsura obținută se împarte la 2.

Avend în vedere că triunghiul ABC este isoscel,

rezultă că măsura unghiului B este egală cu măsura unghiului C,

pentru că unghiurile alăturate bazei într-un triunghi isoscel sunt congruente.

Mai știm că măsura unghiului A plus măsura unghiului B plus măsura unghiului C

este egal cu 180 grade.

Din aceste două relații putem să scriem următoarea relație.

Măsura unghiului A plus...

În loc de măsura unghiului B putem să scriem măsura unghiului C,

pentru că aceste două unghiuri au aceeași măsură.

Deci voi scrie măsura unghiului C plus măsura unghiului C

egal cu 180 grade.

Măsura unghiului A...

Măsura unghiului C plus măsura unghiului C este egal cu 2 ori măsura unghiului C,

egal cu 180 grade.

Putem înlocui măsura unghiului A cu 20 grade.

Obținem 20 grade plus 2 ori măsura unghiului C,

egal cu 180 grade.

Din această relație scădem cele 20 grade

și obținem că 2 ori măsura unghiului C

egal cu 180 grade minus 20 grade.

2 ori măsura unghiului C este egal cu 160 grade.

Ca să aflăm măsura unghiului C, o să împărțim la 2 această egalitate.

Măsura unghiului C va fi egală cu 160 grade împărțit la 2,

egal cu 80 grade.

Așadar am aflat măsura unghiului C sau măsura unghiului A, C, B.

Aceasta este egală cu 80 grade.

Am rezolvat prima cerință a problemei.

Acum trebuie să arătăm că triunghiul A, D, B este isoscel.

Pentru a arăta că triunghiul A, D, B este isoscel,

vom demonstra că acesta are două unghiuri congruente.

Știm că măsura unghiului C este egală cu 80 grade.

Înseamnă că și măsura unghiului B va fi egală tot cu 80 grade.

Va rezulta că măsura unghiului A, B, D este egală cu 80 grade minus 60 grade și egal cu 20 grade.

Observăm că unghiul A, B, D este congruent cu unghiul B, A, D.

Așadar acest triunghi are două unghiuri congruente,

deci el va fi un triunghi isoscel.

La punctul B se știe că măsura unghiului D, B, C este 60 grade.

Acest lucru este dat în ipoteză.

Măsura unghiului A, B, D va fi egală cu măsura unghiului A, B, C minus măsura unghiului D, B, C.

Dar măsura unghiului A, B, C este egală cu 80 grade

pentru că unghiul B este congruent cu unghiul C.

Din aceste trei relații va rezulta că măsura unghiului A, B, D este egală cu 80 grade minus 60 grade și egal cu 20 grade.

Având în vedere că și măsura unghiului B, A, D este tot 20 grade din ipoteză,

va rezulta din aceste două relații că triunghiul A, B, D este isoscel.

Rezultă că unghiul A, B, D este congruent cu unghiul B, A, D,

de unde rezulta că triunghiul A, B, D este isoscel.