Teoreme de paralelism

În această secvență vrem să prezentăm câteva teoreme de paralelism pe care e foarte bine să le reținem pentru că le vom folosi apoi în probleme.

Ce înțelegem prin plane paralele? Două plane sunt paralele dacă nu au niciun punct în comun. Alpha intersectat cu beta este mulțimea vidă.

Cum arătăm însă că două plane sunt paralele?

Avem următoarea teoremă. Dacă un plan conține două drepte concurente paralele cu un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele.

Deci dacă într-un plan alpha avem două drepte A și B, deci A și B sunt incluse în planul alpha, iar aceste două drepte sunt concurente A intersectat cu B.

Avem aici punctul A. Deci sunt concurente în acest punct.

Și dacă dreptele A și B sunt paralele cu un alt plan, deci dacă dreapta A mic este paralelă cu planul beta și dreapta B mic este paralelă și ea la rândul ei cu planul beta,

atunci conform acestei teoreme ce rezultă? Că cele două plane sunt paralele. Alpha paralel cu beta.

Deci ca să arătăm că două plane sunt paralele, trebuie să arătăm că într-un plan există două drepte concurente care sunt paralele cu celălalt plan.

Și atunci cele două plane sunt paralele. Avem și o altă teoremă. Această teoremă nu ne spune cum să arătăm că două plane sunt paralele, dar ne spune următorul lucru.

Dacă o dreaptă A este paralelă cu un plan alpha și dreapta A este inclusă într-un plan beta, beta secant cu alpha, atunci dreapta A este paralelă cu dreapta B intersectea planelor alpha și beta.

Bun. Să reluăm. Dacă o dreaptă A, adică dreapta A, este paralelă cu un plan alpha, iată aici planul alpha, deci ne și notăm A paralelă cu alpha și dreapta A este inclusă într-un plan beta,

dreapta A este inclusă în acest plan beta, A inclusă în beta. Acest plan beta este secant cu alpha, deci alpha și beta sunt plane secante. Ce înseamnă asta? Că intersecția lor este o dreaptă.

Haideți să o trasăm. Trecem aici dreapta D, dreapta D intersecția planelor alpha și beta. Bun. Atunci dreapta A, adică aceasta, este paralelă cu dreapta D intersecția planelor alpha și beta.

Deci din aceste relații, conform acestei teoreme, rezultă că dreapta A este paralelă cu dreapta D. A paralelă cu D. O altă teoremă se numește teorema fierăstrăului, care ne spune că dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan,

atunci dreptele de intersecție sunt paralele. Prin urmare, dacă două plane paralele, alpha și beta, sunt plane paralele, alpha paralel cu beta, dacă ele sunt intersectate de un al treilea plan, planul gamma intersectează fiecare din cele două plane.

Planul gamma intersectat cu planul alpha, să trecem aici că avem dreapta C mic și o și reprezentăm, iar planul gamma intersectat cu planul beta, să trecem că avem dreapta D mic și o reprezentăm și pe desen.

Deci aici avem dreapta C mic și aici dreapta D mic. Atunci, conform acestei teoreme, ce se spune? Că dreptele de intersecție, adică dreptele C și D, sunt drepte paralele. Se vede acest lucru și pe desen.

Deci venim aici și trecem, rezultă că dreapta C este paralelă cu dreapta D. Numele este destul de sugestiv pentru că dacă ne imaginăm că planul gamma este un fierăstrău, atunci putem să citim că dacă două plane paralele, alpha și beta, sunt tăiate de un al treilea plan,

gama taie cele două plane, atunci dreptele de intersecție, C și D, sunt paralele. E o teoremă foarte ușor de reținut. Următoarea teoremă are și ea un nume și se numește teorema acoperișului.

Observăm că și figura arată ca un acoperiș, deci iată de unde și numele, și ne spune că dacă dreptele paralele A și B sunt incluse în planele secante alpha și beta, atunci dreptele A și B sunt paralele cu dreapta de intersecție a celor două plane.

Prin urmare, avem două drepte paralele A și B, dreapta A paralelă cu dreapta B, dreapta A este paralelă cu dreapta B și știm că dreptele A și B sunt incluse în planele secante alpha și beta. Planul alpha și planul beta sunt plane secante. Alpha intersectat cu beta, dreapta de intersecție este notată, iată, de mic.

Și știm că dreapta A mic este inclusă în planul alpha, deci A mic inclusă în alpha și dreapta B mic este inclusă în planul beta. Să trecem aici dreapta B inclusă în beta.

Atunci, dacă toate aceste condiții sunt îndeplinite, dreptele A și B sunt paralele cu dreapta de intersecție a celor două plane, adică cu dreapta D.

Rezultă din această teoremă că dreapta A este paralelă cu dreapta D, paralelă la rândul ei cu dreapta B mic. Altă teoremă este teorema lui Thales în spațiu, care ne spune că mai multe plane paralele determină pe două secante segmente proporționale.

Deci, dacă avem planul alpha paralel cu beta și la rândul său paralel și cu gama, deci planele alpha, beta și gama sunt plane paralele și avem dreptele AC și A'C' sau putem să le denumim AB și A'B' ca în figură, atunci vom avea segmente proporționale.

Cu alte cuvinte, AB, segmentul AB, lungimea segmentului AB supra lungimea segmentului A'B' este egală cu lungimea segmentului BC supra lungimea segmentului B'C'.

Și ultima teoremă care este foarte simplă, teorema de tranzitivitate a relației de paralelism. Două plane paralele cu un al treilea plan distinct de primele două sunt paralele între ele.

Deci, dacă planul alpha este paralel cu planul beta și planul beta la rândul său este paralel cu planul gama, atunci rezultă că planele alpha și gama sunt paralele.

Toate aceste teoreme sunt câteva dintre teoremele de paralelism și eu zic că sunt destul de importante pentru că le vom aplica și în probleme.