Teoreme de paralelism. Aplicații

Să facem acum câteva aplicații folosind teoremele de paralelism.

Cum am spus că demonstrăm că două plane sunt paralele?

Păi avem această teoremă, dacă un plan conține două drepte concurente,

paralele cu un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele.

Deci, dacă planul alfa conține două drepte concurente și aceste două drepte,

a și b, sunt paralele cu planul beta, înseamnă că planul alfa e paralel cu beta.

În probleme vom proceda puțin diferit, și anume, ca să arătăm că planele alfa și beta sunt paralele,

vom arăta că planul alfa are două drepte concurente, paralele cu alte două drepte concurente din planul beta.

Și de aici rezultă că alfa e paralel cu beta.

Păi haideți să vedem dacă e adevărat.

Deci, dacă avem așa, dreapta A paralelă cu dreapta D și dreapta B paralelă cu dreapta C,

rezultă oare, să scriem aici, rezultă oare că planele alfa și beta sunt plane paralele?

Păi haideți să ne gândim puțin, ca să facem și legătura cu această teoremă.

Dacă A este paralelă cu D, dreapta A paralelă cu dreapta D, dreapta D e inclusă în acest plan,

venim și trecem aici, dreapta D e inclusă în beta,

păi o dreaptă paralelă cu o altă dreaptă dintr-un plan, înseamnă că este paralelă cu planul,

deci dreapta A e paralelă cu planul beta, rezultă că A e paralelă cu beta.

Acum, dreapta B e paralelă cu dreapta C, B paralelă cu C, C este inclusă în beta,

ce vom nota? Că dreapta B este și A paralelă cu planul beta, dreapta B paralelă cu beta.

Și noi mai știm că dreaptele A și B sunt dreapte concurente, deci A intersectat cu B,

și avem aici punctul de concurență, este A.

Păi avem două dreapte A și B concurente, care sunt paralele cu planul beta,

păi exact ce scrie aici în teoremă, două dreapte concurente paralele cu un alt plan,

înseamnă că cele două plane sunt paralele.

Deci, din aceste relații, din aceste trei, aceasta și aceasta, rezultă că planele alfa și beta sunt paralele.

O să vedeți că în exerciție e mai ușor să folosim această observație decât să folosim această teoremă.

Deci vom arăta că dacă un plan are două dreapte concurente care sunt paralele cu alte două dreapte concurente dintr-un alt plan,

înseamnă că cele două plane sunt paralele.

Acum, de ce e nevoie ca cele două dreapte C și D să fie concurente?

De ce ele nu pot fi paralele sau confundate?

Păi de vreme ce vorbim de dreapte coplanare, C și D sunt în același plan,

înseamnă că avem doar aceste posibilități.

Ele sunt fie confundate,

fie sunt dreapte paralele, adică,

haide să scriu așa, paralele, adică C paralel cu D.

Asta în situația în care ele nu sunt dreapte concurente.

Deci dacă ar fi dreapte paralele, haide să vedem, avem aici C și D.

Păi ce am obține în asemenea situație?

Noi avem că A este paralelă cu D,

deci A paralelă cu D, B este paralelă cu C,

B paralelă cu C, păi și din această relație,

cum C e paralelă cu D, înseamnă că dreaptele A și B sunt dreapte paralele,

ceea ce contrazice ipoteza noastră,

cum că A și B sunt dreapte concurente.

La fel se întâmplă și dacă ele ar fi confundate.

Deci din această cauză se pune condiția ca

cele două drepte C și D să fie într-adevăr drepte concurente,

să aibă un punct de intersecție.

Și acum, haide să facem și o aplicație.

Avem cubul A, B, C, D, A prim B prim C prim D prim,

și vrem să arătăm că planul A prim D, B este paralel cu planul D prim B prim C.

Deci planul A prim D, B, îl unim apoi pe D cu B și pe A prim cu B,

nu se vede foarte clar planul, însă ne vom descurca,

și acest plan să arătăm că e paralel cu planul D prim B prim,

și mai avem punctul C.

Unim acum D prim cu C.

Cum facem să arătăm că cele două plane sunt paralele?

Păi trebuie să arătăm că două drepte concurente din acest plan

sunt paralele cu alte două drepte concurente din acest plan.

Și ca să identificăm mai ușor ce drepte să folosim,

vom folosi un alt cub ca să nu încărcăm aici notația,

oricum nu se văd foarte bine planele.

Bun, și să găsim o dreaptă din acest plan,

în care să fie paralelă cu o dreaptă din acest plan.

Păi dreapta D prim B prim este paralelă cu ce dreaptă?

Cu dreapta D B, care face parte din primul plan.

De ce avem paralelismul acestor două drepte?

Păi D B B prim D prim este paralelogram.

De fapt, el e chiar dreptunghi,

însă e suficient să arătăm că e paralelogram

ca să arătăm că cele două drepte sunt paralele.

Cum arătăm că avem aici un paralelogram?

Păi D D prim și B B prim,

D D prim și B B prim sunt drepte paralele,

avem un cub și ele,

segmentul D D prim și segmentul B B prim

sunt segmente, au lungimile egale,

sunt segmente congruente.

Rezultă din proprietățile paralelogramului

că D B B prim D prim este paralelogram

și obținem că D B este paralelă cu D prim B prim.

Și momentan păstrăm această informație,

o subliniem pentru că mai avem nevoie

de alte două drepte paralele.

Una să facă parte din acest plan

și cealaltă din acesta.

Ce drepte să alegem?

Păi haide să șterg aici.

Iată, dreapta A D,

pardon, A prim D

este paralelă cu ce dreaptă?

Cu B prim C.

De ce are loc

această relație de paralelism

între cele două drepte?

Pentru că A prim B prim C D

este și el un paralelogram.

De fapt, și el este tot dreptunghi,

însă vom scrie direct

pentru că A prim B prim,

demonstrația este foarte asemănătoare

cu ce am făcut aici,

vom folosi segmentele A prim B prim și D C.

Deci, de vreme ce A prim B prim C D

este paralelogram,

rezultă că avem că A prim D

este paralelă cu B prim C

și avem și această relație.

Bun, am găsit aceste două relații,

deci A prim D este paralelă cu B prim C

și mai avem că D B este paralelă cu D prim B prim.

Cum sunt cele două drepte,

cele două perechi de drepte?

Sunt drepte concurente.

Haideți să trecem aici că A prim D,

deci ce avem aici?

A prim D intersectată cu D B,

iată, cu D B,

sunt două drepte concurente,

punctul de intersectie este D

și B prim C

este intersectată cu D prim B prim,

punctul de intersectie fiind punctul B prim.

Din toate aceste relații ce avem?

Avem două drepte concurente

paralele cu alte două drepte concurente

dintr-un alt plan,

deci rezultă

că cele două plane sunt paralele,

deci A prim D B paralel,

paralel cu D prim B prim C.

Ultima problemă este aceasta,

fie alfa și beta plane paralele,

deci alfa și beta sunt plane paralele

și dreptele B B prim și C C prim

intersectează planele alfa și beta ca în figură.

Dreapta B B prim intersectează planele alfa și beta

în B și B prim

și dreapta C C prim le intersectează

în punctul C și în punctul C prim.

Dacă dreptele B B prim și C C prim

se intersectează în punctul A,

iată aici e punctul lor de intersectie

și B prim C prim are 20 de centimetri,

B prim C prim, chiar o să și trasăm,

are 20 de centimetri,

trecem aici 20 centimetri

și A B supra A B prim,

A B supra A B prim,

avem raportul 2 supra 5,

trebuie să aflăm lungimea segmentului B C,

adică ne interesează lungimea acestui segment.

Cum să rezolvăm această problemă?

Vă las puțin timp să vă gândiți.

Păi dreptele B B prim și C C prim

sunt drepte concurente.

B B prim intersectat cu C C prim

avem punctul de intersectie notat în problemă A mare.

Două drepte concurente ce determină?

Determină un plan unic,

deci rezultă că există gama plan,

adică planul determinat de dreptele B B prim și C C prim.

Bun, planul gama,

deci e planul determinat de aceste două drepte,

intersectează și planul alfa și planul beta.

Păi care e dreapta de intersectie

a planelor gama și alfa?

Deci planul gama intersectat cu planul alfa.

Ce obținem?

Păi punctul C se află și în planul gama,

dar se află și în planul alfa, iată.

Punctul B la fel se află,

aparține și planului gama și planului alfa.

Asta înseamnă că dreapta de intersectie

a planelor alfa și gama,

este dreapta B C.

Absolut la fel, planul gama

intersectează planul beta,

după ce dreaptă?

Păi după dreapta B prim C prim.

Deci avem că planul gama

intersectează, deci planul gama

și beta, după dreptele B C

și B prim C prim.

Ce știm despre cele două plane,

alfa și beta?

Că sunt plane paralele.

Păi, de fapt, ce trebuie să folosim?

Folosim teorema fierăstrăului,

pentru că avem aici două plane,

care sunt tăiate de un al treilea plan.

Asta înseamnă că dreptele de intersectie

sunt drepte paralele,

deci dreapta C B,

paralela cu B prim C prim.

Rezultă, din teorema fierăstrăului,

că B C sau C B,

cum vreți să-i spunem,

este paralela cu B prim C prim.

Deci avem că C B

e paralela cu B prim C prim.

Ce facem în continuare?

Păi, cum avem acest paralelism,

ce rezultă?

Păi, folosind definiția asemănării,

deci rezultă din definiția asemănării,

prescurtez astfel,

că triunghiul C A B

este asemenea cu triunghiul C prim A B.

Deci triunghiul C A B

este asemenea cu triunghiul C prim A B prim.

Păi asta înseamnă că laturile

acestor două triunghiuri sunt proporționale

și noi avem nevoie de lungimea segmentului B C.

Ni se dă aici un raport

și mai avem lungimea segmentului B prim C prim.

Deci problema e ca și rezolvată.

Rezultă.

Haideți să scriem rapoartele.

Mai întâi putem să trecem laturile

triunghiului de sus.

A B supra va fi egal cu

avem B C și avem A C.

Bun. Și acum să vedem.

A B, latura A B este opusă unghiului C,

care e congruent cu unghiul C prim

și unghiului C prim se opune latura A B prim.

Deci avem A B supra A B prim.

B C, iată, unghiul A e de aici,

e congruent cu unghiul A de aici.

Deci avem supra B prim C prim

și ne-a mai rămas A C prim.

Și acum să înlocuim.

Noi avem nevoie de lungimea segmentului B C.

Bun. Deci avem nevoie de acest raport

și mai cunoaștem acest raport.

A B supra A B prim.

Deci luăm această egalitate de rapoarte

și trecem direct.

Rezultă 2 supra 5

egal cu B C supra B prim C prim.

Este 20 de centimetri.

Avem o proporție de unde obținem

că B C este egal cu 2 ori 20

supra 5.

Deci vom obține 8 centimetri.

8 centimetri.

Și acesta este răspunsul.

Trecem aici pe figură.

8 centimetri.