Teorema lui Pitagora (teorie)
279 vizualizări · 11 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
Teorema lui Pitagora - ce trebuie să știi
Istoric
Ce este o teoremă
Enunțul teoremei lui Pitagora
Un exemplu practic
Reprezentarea geometrică a teoremei lui Pitagora
La școală
Vezi și
Istoric
Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din Matematică. Teorema este atribuită lui Pitagora, un matematician din Grecia Antică (c. 570 – c. 495 î.Hr.) deși există unele izvoare istorice care sugerează că aceste lucruri erau cunoscute dinainte de Pitagora. Teorema lui Pitagora este foarte importantă pentru omenire. În timpuri străvechi, teorema lui Pitagora le-a permis strămoșilor noștri să navigheze. Ulterior, pe baza teoremei lui Pitagora oamenii de știință au făcut descoperiri importante în domenii precum cartografia (= știința de a face hărți) și trigonometria (= ramură a matematicii care studiază relația dintre laturile și unghiurile unui triunghi).
Ce este o teoremă
Este posibil să nu fi auzit cuvântul teoremă foarte des înainte de a învăța despre teorema lui Pitagora. Înainte să discutăm despre teorema lui Pitagora e bine să știm în general ce este o teoremă. O explicație pe înțelesul tuturor este că o teoremă este o afirmație cu conținut matematic. Dar asta nu e tot. Afirmația conținută în teoremă s-a demonstrat prin mijloace matematice că este adevărată. Teoremele sunt importante pentru că ne ajută să înțelegem lucruri noi și să rezolvăm probleme. De aceea trebuie să le înțelegem și să le memorăm.
Enunțul teoremei lui Pitagora
Teorema lui Pitagora stabilește o relație între cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic și sună în felul următor: într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Dacă nu știți ce este o catetă și ce este o ipotenuza explicăm pe scurt. Un triunghi dreptunghic conține un unghi de 90 de grade. Cele două laturi alăturate unghiului de 90 de grade se numesc catete în timp ce latura opusă unghiului de 90 de grade se numește ipotenuză.
În mod frecvent, catetele și ipotenuza se notează cu litere mici ca în exemplul de mai jos.
Acest exemplu ne permite să scriem următoarea concluzie:
\(\newline \bigtriangleup ABC, m(\measuredangle A) = 90\degree \newline \newline => AB^2 + AC^2=BC^2 \newline \newline sau \newline \newline \bigtriangleup ABC, m(\measuredangle A) = 90\degree \newline \newline => b^2+c^2=a^2\)
Pe scurt:
Un exemplu practic
Să presupunem că avem o casă ca în desenul de mai jos și că vrem să tragem un fir electric de la priza din stânga la priza din dreapta imaginii. Deși nu am desenat ne putem închipui că avem pereți interiori și mobilă care nu ne permit să măsurăm direct lungimea acestui fir. Cum altfel am putea face? Evident, putem afla lungimea firului nostru cu ajutorul teoremei lui Pitagora.
Observăm că muchia casei reprezentată cu albastru are 6 metri și cea reprezentată cu verde are 8 metri și că unghiul format de cele două muchii figurat cu violet este de 90 de grade. Firul nostru va fi reprezentat de segmentul de culoare roșie care reprezintă în același timp ipotenuza. Am reprezentat mai jos aceeași podeau casei și trinunghiul dreptunghic format de cele trei segmente.
Notăm lungimea firului nostru cu x și aplicând teorema lui Pitagora obținem că:
\(\newline \newline 8^2 + 6^2=x^2 \newline 64 + 36= x^2 \newline 100 =x^2\newline => x =\sqrt{100} \newline => x = 10\)
Prin urmare, lungimea firului nostru este de 10 metri. Nu trebuie să uităm unitatea de măsura. De asemenea, nu uitați că lungimile segmentelor în teorema lui Pitagora sunt la puterea a doua sau la pătrat. Ca să afli de ce lungimile segmentelor din teorema lui Pitagora sunt la puterea a doua și care este legătura cu figura geometrică reprezentată de pătrat citește mai jos.
Reprezentarea geometrică a teoremei lui Pitagora
Se pare că atunci când Pitagora încerca să găsească o demonstrație pentru observațiile sale despre laturile triunghiului dreptunghic, el a văzut o legătură între ariile pătratelor care se pot construi pe baza laturilor unui triunghi dreptunghic. În figura de mai jos am reprezentat la scară aceleași dimensiuni ale triunghiului din problema de mai sus (6 și 8 metri pentru catete și respectiv 10 metri pentru ipotenuză) dar de data aceasta am reprezentat și cele trei pătrate care se pot construi plecând de la acest triunghi dreptunghic.
Stim că un pătrat este o figură geometrică, mai bine zis un poligon, în care toate laturile sunt egale (= congruente) și paralele două câte două. Aria unui pătrat se obține înmulțind două laturi între ele sau altfel sus, ridicând lungimea unei laturi la puterea a doua. Spre exemplu, în figura de mai sus:
Pătratul verde are aria de \(6 cm * 6 cm = 36 cm ^2\)
Pătratul albastru are aria de \(8 cm * 8 cm = 64 cm^2\)
Pătratul roșu are aria de \(10 cm * 10 cm = 100 cm^2\)
Observați: Pătratul verde + Pătratul albastru = Pătratul roșu (36cm2 + 64cm2=100cm2) sau cu alte cuvinte, suma pătratelor formate de catete este egală cu pătratul format pe baza ipotenuzei.
O altă idee interesantă este că unui segment putem să-i măsurăm lungimea dar un segment considerat de unul singur are o singură dimensiune - lungimea sa. Lungimea unui segment se poate măsura ca fiind 1 milimetru (1 mm), 1 centimetru (1cm), 1 metru ș.a.m.d. Ei bine, spre deosebire de lungimea unui segment care este unidimensională, aria unui pătrat este bidimensională. Adică aria unui pătrat se obține prin înmulțirea a două laturi și de aceea unitate de măsură a ariei este la puterea a doua (1 mm2, 1 cm2, 1 m2 ș.a.m.d) sau se mai spune și la pătrat.
La școală
În general, la școală vi se vor da probleme în care fie se cunoaște lungimea catetelor și se cere să se calculeze lungimea ipotenuzei, fie se cunoaște lungimea unei catete și a ipotenuzei și se cere să se calculeze lungimea celeilalte catete. Vă invităm să faceți înlocuirile în figura de mai jos și să vedeți dacă obțineți rezultatele corecte. În primul triunghi se cere calcularea ipotenuzei - deja am rezolvat mai sus pe pagină acest caz. Vă invităm să faceți înlocuirile în celelalte două exemple și să vedeți dacă puteți calcula corect lungimea catetei mari (cu verde) și a catetei mici (cu albastru).
Vezi și
Teorema lui Pitagora - lecție video
Teorema lui Pitagora - exerciții rezolvate
Teorema lui Pitagora
Pitagora s-a născut pe insula grecească Samos în jurul anului 580 înainte de Cristos.
A fost filozof și matematician.
Există dovezi că această teoremă era cunoscută cu mult timp înainte de nașterea lui Pitagora,
însă se consideră că el a fost primul care a demonstrat-o, de aceea i s-a atribuit lui.
Vechile popoare, indienii, babilonienii și egiptenii antici,
cunoșteau această teoremă cu o mie de ani înainte de nașterea lui Pitagora.
Indiferent care-i sunt originile, teorema și consecințele ei au avut un impact uriaș asupra omenirii.
Teorema lui Pitagora se aplică în triunghiul dreptunghic.
Triunghiul dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept.
Laturile care formează unghiul drept se numesc catete,
iar latura care se opune unghiului drept se numește ipotenuză.
Trebuie să recunoașteți catetele și ipotenuza în orice triunghi dreptunghic,
indiferent de poziția sa sau de notațiile acestuia.
În a doua figură geometrică, catetele triunghiului sunt A și B,
iar ipotenuza este dreapta notată cu C.
Iar în ultima figură, catetele triunghiului sunt M și N,
iar ipotenuza este dreapta notată cu P.
Și acum să dăm enunțul teoremei lui Pitagora.
Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor
este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
În acest triunghi dreptunghic, catetele sunt A și B,
iar ipotenuza este dreapta C.
Astfel, conform teoremei lui Pitagora, avem următoarea relație
A pătrat plus B pătrat va fi egal cu C pătrat.
Această teoremă este una dintre cele mai importante teoreme din geometria plană
și ea are peste 300 de demonstrații.
O să prezint în continuare două demonstrații.
Prima demonstrație.
Avem un triunghi dreptunghic ABC.
Am dus și înălțimea în acest triunghi pe care am notat-o cu AD.
Trebuie să arătăm că AB pătrat plus AC pătrat este egal cu BC pătrat.
Pentru această demonstrație voi aplica de două ori teorema catetei.
Știm din teorema catetei că AB la pătrat este egal cu BD ori BC.
Acum aplicăm teorema catetei pentru cealaltă catetă AC.
AC la pătrat este egal cu DC ori BC.
Însumăm cele două relații
și obținem că AB pătrat plus AC pătrat este egal cu BD ori BC plus DC ori BC.
Observăm că putem să dăm factor comun BC și obținem BC pe lângă BD plus DC.
Dacă ne uităm pe figură, BD plus DC formează lungimea segmentului BC.
Deci putem scrie egal cu BC ori BC.
Însă BC ori BC este egal cu BC la pătrat.
Am demonstrat așadar teorema lui Pitagora folosind teorema catetei.
Și o să mai fac o demonstrație.
Considerăm că avem un pătrat a cărui latură s-a notat cu litera C mic.
Este vorba de pătratul alb din mijloc.
În exteriorul acestui pătrat construim patru triunghiuri dreptunghice congruente.
Catetele acestor triunghiuri s-au notat cu A și B.
Area pătratului din centru este egală cu C la a doua.
Știm că area unui pătrat este latura la puterea a doua.
Latura pătratului mare este A plus B.
Voi scrie acest lucru. Latura pătratului din exterior este A plus B.
Voi exprima area pătratului mare în două moduri.
Mai întâi area este latura la a doua, adică A plus B, totul la pătrat.
Dar area pătratului mare se poate calcula însumând area pătratului alb și cele patru ari ale triunghiurilor dreptunghice.
Așadar, area se mai poate scrie egal cu C pătrat plus de patru ori area unui triunghi dreptunghic.
Dar area triunghiului dreptunghic este produsul catetelor supra doi.
Catetele acestor triunghiuri sunt A și B.
Deci voi scrie patru ori AB supra doi.
Egal, se simplifică patru și doi și obținem C pătrat plus doi AB.
Egalăm cele două ari și obținem următoarea relație, A plus B totul la pătrat, egal cu C pătrat plus doi AB.
Pentru a calcula pătratul acestei sume folosim formule de calcul prescurtat învățate la algebră.
Astfel, A plus B totul la a doua este egal cu A la a doua plus doi AB plus B la a doua.
Egal în continuare cu C pătrat plus doi AB.
Termenul doi AB se reduce pentru că are același semn și este situat în membrii diferiți și obținem că A pătrat plus B pătrat este egal cu C pătrat.
Ținând cont de faptul că A, B și C erau laturile unui triunghi dreptunghic, rezultă că teorema lui Pitagora este demonstrată.
Observăm astfel că teorema lui Pitagora realizează o legătură interesantă între geometrie și algebră.
Să vedem în continuare unde vom aplica această teoremă.
Teorema lui Pitagora se poate aplica în cazul în care dorim să calculăm înălțimea într-un triunghi isoscel
sau atunci când ne propunem să calculăm latura unui romb, atunci când se cunosc diagonalele sale.
În clasa A8 o să aplicăm teorema lui Pitagora atunci când vom calcula diferite elemente ale unei piramide, cum ar fi înălțimea sau apotema.
Vechii egipteni au folosit teorema lui Pitagora atunci când au construit piramidele din Egipt.
Teorema lui Pitagora a făcut posibilă apariția unei ramuri importante a matematicii, numită trigonometrie.
Aceasta se ocupă cu studiul relațiilor dintre laturile și unghiurile unui triunghi.
Multe dintre triunghiurile din viața reală nu sunt dreptunghice, însă orice triunghi poate fi împărțit în două triunghiuri dreptunghice
și orice formă poligonală poate fi împărțită în triunghiuri.
Astfel, triunghiul dreptunghic este fundamental în trigonometrie.
Aplicarea teoremei lui Pitagora este posibilă și în cazul triunghiurilor oarecare, prin folosirea formei generalizate a acesteia.
În liceu veți învăța și teorema lui Pitagora generalizată pentru triunghiuri oarecare.
Teorema lui Pitagora a dezvăluit forma planetei noastre și locul ei în Univers.
Ea a fost un pas vital către tehnicile geometrice necesare pentru cartografiere, navigație și topografie.
Având la dispoziție ecuații trigonometrice și instrumente adecvate de măsură, a fost posibilă realizarea hărților precise.
S-a dezvoltat astfel topografia, adică știința care se ocupă cu tehnica măsurătorilor unei porțiuni de teren în scopul întocmirii hărților.
În anul 1615, un matematician olandez a folosit pentru întocmirea unei hărți un procedeu numit triangulație.
Suprafața topografiată era acoperită cu o rețea de triunghiuri și cu ajutorul ecuațiilor trigonometrice a fost posibilă calcularea unor distanțe și unghiuri.
Acest matematician a reușit astfel să calculeze mărimea Pământului.
Triangulația a făcut posibilă și calcularea înălțimii muntelui Everest.
În secolul nostru, întocmirea hărților se realizează folosindu-se fotografii din satelit și sistemul de poziționare globală, așa numitul GPS.
Nu se mai folosește triangulația explicită, însă ea continuă să existe în metodele folosite pentru aflarea localizărilor din datele primite de la satelit.
Pitagora l-a inspirat și pe Einstein, acesta folosind geometria triunghiului în teoria generală a relativității.
Extinderea teoremei la triunghiuri oarecare ne-a permis să cartografiem continentele și să ne măsurăm planeta.
Astfel, teorema lui Pitagora nu ne ajută doar să calculăm diagonala unui televizor, ea ne permite să măsurăm forma Universului.
Pitagora l-a inspirat și pe Einstein, acesta folosind geometria triunghiului în teoria generală a relativității.
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.
